20/05/2014
Guilherme dos Santos Martins Dias, Angela Cristina dos Santos, Antomar Araújo Ferreira
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Álgebra/Geometria |
A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação, são propostos para esta aula os seguintes objetivos:
ESTRATÉGIAS E RECURSOS MATERIAIS
Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.
O Software Geogebra – Apresentação: Nesta aula, o círculo (ou ciclo) trigonométrico será estudado com o auxílio do software Geogebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por MarkusHohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.
O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.
Figura 1: Apresentação do Software Geogebra.
Fonte: Arquivo do autor.
PRIMEIRO MOMENTO: Construindo o círculo trigonométrico.
Professor(a), após instalar o software, peça aos alunos que o abram, clicando no ícone que foi criado na área de trabalho. Comece por construir a circunferência centrada na origem e raio unitário (instruções). E em seguida, nomeie as quatro partes formadas pelos eixos x e y como quadrantes da circunferência (figura 2).
1ª Etapa: Construção do Ciclo Trigonométrico e definição do ciclo trigonométrico e suas características.
Professor(a), comece por construir a circunferência centrada na origem e raio unitário. E em seguida, nomear as quatro partes formadas pelos eixos x e y como quadrantes da circunferência (figura 2).
Figura 2: circunferência centrada na origem e raio 1.
Fonte: Arquivo do autor.
Para isso, solicite aos alunos que cliquem na seta do ícone circunferência e, em seguida, selecione a opção Circunferência (Centro, Ponto) como indicado na figura 3.
Figura 3: como construir uma circunferência, dado o centro e um ponto da mesma.
Fonte: Arquivo do autor
Em seguida, os alunos devem selecionar o centro da circunferência e em seguida um ponto da mesma, assim, o próximo passo é clicar, por exemplo, no ponto (0,0) e em seguida no ponto (1,0), (figura 4).
Figura 4: como marcar os pontos.
Fonte: Arquivo do autor.
Observação: Para facilitar o estudo, é necessário ampliar a imagem, isto é feito mantendo a teclas Ctrl e + pressionadas simultaneamente. Para posicionar a circunferência no centro da tela, mantenha a tecla Ctrl pressionada e arraste a imagem para a posição desejada.
Após a construção da circunferência, peça aos alunos para apontarem as características da circunferência construída.
Espera-se que os alunos apontem para as seguintes:
1) É construída no plano cartesiano.
2) O centro coincide com a origem do plano cartesiano.
3) Tem raio unitário (1), por isso intercepta os eixos nos pontos cujas coordenadas são: (1,0), (0,1), (-1,0) e (0, -1).
4) É dividida em 4 (quatro) regiões, denominadas de quadrantes, e nomeadas no sentido anti-horário: 1º quadrante, 2º quadrante, 3º quadrante, 4º quadrante.
Observação: Caso algumas dessas características não sejam apontadas para os alunos, o professor deve estar atento e ressaltá-las.
Enfim, de posse de todas essas características, defina para os alunos que uma circunferência, com TODAS as características apresentadas pela construção é denominada de CICLO OU CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.
2ª Etapa: Construção do conceito do cosseno no ciclo trigonométrico
Para se conceituar o cosseno no ciclo trigonométrico, oriente os alunos a clicarem na opção Novo ponto (figura 5), e clique sobre a circunferência para construir um ponto sobre ela (Figura 6).
Figura 5: como construir um ponto sobre a circunferência.
Fonte: Arquivo do autor.
Figura 6: ponto (C) sobre a circunferência.
Fonte: Arquivo do autor.
Em seguida, peça aos alunos para fazerem a projeção do ponto C no eixo x (que é obtida marcando um ponto E sobre o eixo de forma que o segmento seja perpendicular a este eixo) clicando na opção Reta Perpendicular na barra de ferramentas, como indica a figura 7.
Professor(a), oriente-os, em seguida, para construirem uma reta perpendicular a este eixo, passando pelo ponto C, para isso, basta clicar primeiramente no ponto e em seguida clicar sobre o eixo.
Figura 7: como construir uma reta perpendicular.
Fonte: Arquivo do autor.
E então e obtém uma figura semelhante à figura 8.
Figura 8: construindo uma reta perpendicular ao eixo x passando pelo ponto C.
Fonte: Arquivo do autor.
O ponto D, que é a intersecção da reta perpendicular com o eixo x é obtido é marcado selecionando a opção interseção de dois objetos na barra de ferramentas (figura 9). E então, para marcar este ponto, basta clicar sobre cada um dos objetos que se interseptam, neste caso, a reta vertical e o eixo x (figura 10).
Figura 9: como selecionar a intersecção de objetos.
Fonte: Arquivo do autor.
Figura 10: construindo o ponto D, que é a intersecção do eixo x com a reta construída anteriormente.
Fonte: Arquivo do autor
Solicite aos alunos que marquem, agora, o segmento de reta tendo como extremidades a origem e o ponto C. Para isto, devem selecionar a opção segmento de reta (dois pontos) na barra de ferramentas (figura 11), e então, clicar nestes dois pontos (figura 12).
Figura 11: como construir segmento de reta que liga dois pontos.
Fonte: Arquivo do autor.
Figura 12: segmento de reta que possui a origem e o ponto C como extremidades.
Fonte: Arquivo do autor.
Comentário: Para mudar a cor desse segmento, basta clicar com o botão direito sobre o segmento e em seguida em Propriedades dos objetos, e escolher na barra de atalho a cor desejada. É possível também aumentar a espessura do segmento para que fique mais visível, para isto basta clicar na guia Estilo.
Peça aos alunos para marcarem o ângulo formado pelo segmento e o eixo x. Para isto, devem selecionar a opção ângulo na barra de ferramentas (figura 13).
Figura 13: Como medir um ângulo.
Fonte: Arquivo do autor.
Após selecionar a opção ângulo, para medir o ângulo BÂC, basta clicar nestes pontos nesta sequência (primeiramente no ponto B, em seguida no ponto A e por fim no ponto C) (figura 14).
Figura 14: a medida do ângulo BÂC.
Fonte: Arquivo do autor.
Questione com os alunos e, caso seja necessário, relembre-os sobre qual é a definição de cosseno no triângulo retângulo. Espera-se que eles se lembrem que o valor do cosseno é dado pela razão entre o cateto adjacente do ângulo agudo dado pelo valor da hipotenusa.
A partir dessa retomada, apresente as seguintes questões (peça para que registrem, no Word ou no caderno):
O triângulo CAD é retângulo?
Espera-se que os alunos percebam que como o segmento é perpendicular ao eixo x, por construção, então o triângulo é retângulo.
- Dado o ângulo α (alfa) indicado no ciclo, qual é o segmento que representa o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa?
Espera-se que os alunos respondam:
- Qual é o valor da hipotenusa?
Espera-se que os alunos percebam que como a hipotenusa coincide com um dos raios da circunferência, o valor da hipotenusa é 1 (um).
- Calcule então o valor do cosseno.
Calcular juntamente com eles o cosseno deste ângulo olhando para o triângulo retângulo ADC.
Questionar:
- Então o que é o cosseno de um ângulo no ciclo trigonométrico?
Permita que os alunos discutam suas respostas e os direcione a construírem o conceito de cosseno no ciclo trigonométrico. Espera-se que cheguem a seguinte conclusão:
“O valor do cosseno de um ângulo representado, no ciclo trigonométrico, é dado pela medida do segmento , onde D é a projeção do ponto C no eixo dos x.”
De posse desse conceito, nomeie então o eixo x como EIXO DOS COSSENOS.
SEGUNDO MOMENTO: Desenvolvendo atividades de contextualização.
Segue abaixo algumas atividades.
1- Seja C um ponto sobre o círculo trigonométrico, situado no primeiro quadrante, responda:
a) Qual a medida do segmento de reta cujas extremidades são a origem e o ponto C?
b) O ângulo formado pelo segmento e o eixo x é agudo, reto, obtuso ou raso?
2- Seja C um ponto sobre o círculo trigonométrico, sabendo que o ângulo formado pelo segmento e a origem, é um ângulo raso, responda:
a) Qual a medida deste ângulo?
b) Qual a medida do cosseno deste ângulo?
c) Existe algum outro ângulo cujo cosseno é maior do que o cosseno deste ângulo?
3- Quais são os pontos onde o cosseno mede zero?
4- Qual é o ponto onde o cosseno assume valor máximo? E mínimo?
5- O que é o círculo trigonométrico?
Para conhecer melhor o círculo trigonométrico, o aluno pode acessar o site:
http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/circulo-trigonometrico.htm. Acesso em 11 de Maio de 2014.
Para conhecer melhor a função cosseno, o professor pode apresentar ao aluno o seguinte site:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/19064/ciclotrigonometricofuncaocosseno.gif. Acesso em 11 de Maio de 2014.
A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.
O professor poderá também, adotar como critério para avaliação:
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21/07/2014
Cinco estrelasMuito legal !