A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação, são propostos para esta aula os seguintes objetivos:

 

• Conhecer o círculo trigonométrico.
• Trabalhar com ângulos no círculo trigonométrico.
• Definir a função cosseno no círculo trigonométrico.

4 horas/aula (50 minutos cada).

• Definir e reconhecer um triângulo retângulo.
• Dado um ângulo agudo de um triângulo retângulo, reconhecer os elementos: cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa.
• Definir e calcular o seno e o cosseno de um ângulo agudo no triângulo retângulo.
• Conhecer o plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.

ESTRATÉGIAS E RECURSOS MATERIAIS

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software Geogebra – Apresentação: Nesta aula, o círculo (ou ciclo) trigonométrico será estudado com o auxílio do software Geogebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por MarkusHohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software Geogebra.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

PRIMEIRO MOMENTO: Construindo o círculo trigonométrico.

 

Professor(a), após instalar o software, peça aos alunos que o abram, clicando no ícone que foi criado na área de trabalho. Comece por construir a circunferência centrada na origem e raio unitário (instruções). E em seguida, nomeie as quatro partes formadas pelos eixos x e y como quadrantes da circunferência (figura 2).

 

1ª Etapa: Construção do Ciclo Trigonométrico e definição do ciclo trigonométrico e suas características.

 

Professor(a), comece por construir a circunferência centrada na origem e raio unitário. E em seguida, nomear as quatro partes formadas pelos eixos x e y como quadrantes da circunferência (figura 2).

 

Figura 2: circunferência centrada na origem e raio 1.

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Para isso, solicite aos alunos que cliquem na seta do ícone circunferência e, em seguida, selecione a opção Circunferência (Centro, Ponto) como indicado na figura 3.

 

Figura 3: como construir uma circunferência, dado o centro e um ponto da mesma.

 

 

Fonte: Arquivo do autor

 

Em seguida, os alunos devem selecionar o centro da circunferência e em seguida um ponto da mesma, assim, o próximo passo é clicar, por exemplo, no ponto (0,0) e em seguida no ponto (1,0), (figura 4).

 

Figura 4: como marcar os pontos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

Observação: Para facilitar o estudo, é necessário ampliar a imagem, isto é feito mantendo a teclas Ctrl e + pressionadas simultaneamente. Para posicionar a circunferência no centro da tela, mantenha a tecla Ctrl pressionada e arraste a imagem para a posição desejada.

 

Após a construção da circunferência, peça aos alunos para apontarem as características da circunferência construída.

 

Espera-se que os alunos apontem para as seguintes:

 

       1) É construída no plano cartesiano.

       2) O centro coincide com a origem do plano cartesiano.

       3) Tem raio unitário (1), por isso intercepta os eixos nos pontos cujas coordenadas são: (1,0), (0,1), (-1,0) e (0, -1).

       4) É dividida em 4 (quatro) regiões, denominadas de quadrantes, e nomeadas no sentido anti-horário: 1º quadrante, 2º quadrante, 3º quadrante, 4º    quadrante.

 

Observação: Caso algumas dessas características não sejam apontadas para os alunos, o professor deve estar atento e ressaltá-las.

 

Enfim, de posse de todas essas características, defina para os alunos que uma circunferência, com TODAS as características apresentadas pela construção é denominada de CICLO OU CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.

 

2ª Etapa: Construção do conceito do cosseno no ciclo trigonométrico

 

Para se conceituar o cosseno no ciclo trigonométrico, oriente os alunos a clicarem na opção Novo ponto (figura 5), e clique sobre a circunferência para construir um ponto sobre ela (Figura 6).

 

Figura 5: como construir um ponto sobre a circunferência.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 6: ponto (C) sobre a circunferência.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Em seguida, peça aos alunos para fazerem a projeção do ponto C no eixo x (que é obtida marcando um ponto E sobre o eixo de forma que o segmento seja perpendicular a este eixo) clicando na opção Reta Perpendicular na barra de ferramentas, como indica a figura 7.

Professor(a), oriente-os, em seguida, para construirem uma reta perpendicular a este eixo, passando pelo ponto C, para isso, basta clicar primeiramente no ponto e em seguida clicar sobre o eixo.

 

Figura 7: como construir uma reta perpendicular.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

E então e obtém uma figura semelhante à figura 8.

 

Figura 8: construindo uma reta perpendicular ao eixo x passando pelo ponto C.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

O ponto D, que é a intersecção da reta perpendicular com o eixo x é obtido é marcado selecionando a opção interseção de dois objetos na barra de ferramentas (figura 9). E então, para marcar este ponto, basta clicar sobre cada um dos objetos que se interseptam, neste caso, a reta vertical e o eixo x (figura 10).

 

Figura 9: como selecionar a intersecção de objetos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 10: construindo o ponto D, que é a intersecção do eixo x com a reta construída anteriormente.

 

 

Fonte: Arquivo do autor

 

Solicite aos alunos que marquem, agora, o segmento de reta tendo como extremidades a origem e o ponto C. Para isto, devem selecionar a opção segmento de reta (dois pontos) na barra de ferramentas (figura 11), e então, clicar nestes dois pontos (figura 12).

 

Figura 11: como construir segmento de reta que liga dois pontos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 12: segmento de reta que possui a origem e o ponto C como extremidades.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Comentário: Para mudar a cor desse segmento, basta clicar com o botão direito sobre o segmento e em seguida em Propriedades dos objetos, e escolher na barra de atalho a cor desejada. É possível também aumentar a espessura do segmento para que fique mais visível, para isto basta clicar na guia Estilo.

 

Peça aos alunos para marcarem o ângulo formado pelo segmento e o eixo x. Para isto, devem selecionar a opção ângulo na barra de ferramentas (figura 13).

 

Figura 13: Como medir um ângulo.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Após selecionar a opção ângulo, para medir o ângulo BÂC, basta clicar nestes pontos nesta sequência (primeiramente no ponto B, em seguida no ponto A e por fim no ponto C) (figura 14).

 

Figura 14: a medida do ângulo BÂC.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Questione com os alunos e, caso seja necessário, relembre-os sobre qual é a definição de cosseno no triângulo retângulo. Espera-se que eles se lembrem que o valor do cosseno é dado pela razão entre o cateto adjacente do ângulo agudo dado pelo valor da hipotenusa.

A partir dessa retomada, apresente as seguintes questões (peça para que registrem, no Word ou no caderno):

 

O triângulo CAD é retângulo?

Espera-se que os alunos percebam que como o segmento   é perpendicular ao eixo x, por construção, então o triângulo é retângulo.

 

- Dado o ângulo α (alfa) indicado no ciclo, qual é o segmento que representa o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa?

Espera-se que os alunos respondam:

- Qual é o valor da hipotenusa?

Espera-se que os alunos percebam que como a hipotenusa coincide com um dos raios da circunferência, o valor da hipotenusa é 1 (um).

 

- Calcule então o valor do cosseno.

Calcular juntamente com eles o cosseno deste ângulo olhando para o triângulo retângulo ADC.

 

Questionar:

 

- Então o que é o cosseno de um ângulo no ciclo trigonométrico?

Permita que os alunos discutam suas respostas e os direcione a construírem o conceito de cosseno no ciclo trigonométrico. Espera-se que cheguem a seguinte conclusão:

 

“O valor do cosseno de um ângulo representado, no ciclo trigonométrico, é dado pela medida do segmento , onde D é a projeção do ponto C no eixo dos x.”

 

De posse desse conceito, nomeie então o eixo x como EIXO DOS COSSENOS.

 

SEGUNDO MOMENTO: Desenvolvendo atividades de contextualização.

 

Segue abaixo algumas atividades.

 

1- Seja C um ponto sobre o círculo trigonométrico, situado no primeiro quadrante, responda:

a)      Qual a medida do segmento de reta cujas extremidades são a origem e o ponto C?

b)     O ângulo formado pelo segmento e o eixo x é agudo, reto, obtuso ou raso?

2- Seja C um ponto sobre o círculo trigonométrico, sabendo que o ângulo formado pelo segmento e a origem, é um ângulo raso, responda:

a)      Qual a medida deste ângulo?

b)     Qual a medida do cosseno deste ângulo?

c)      Existe algum outro ângulo cujo cosseno é maior do que o cosseno deste ângulo?

3- Quais são os pontos onde o cosseno mede zero?

4- Qual é o ponto onde o cosseno assume valor máximo? E mínimo?

5- O que é o círculo trigonométrico?

Para conhecer melhor o círculo trigonométrico, o aluno pode acessar o site:

http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/circulo-trigonometrico.htm. Acesso em 11 de Maio de 2014.

 

Para conhecer melhor a função cosseno, o professor pode apresentar ao aluno o seguinte site:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/19064/ciclotrigonometricofuncaocosseno.gif.  Acesso em 11 de Maio de 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também, adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.