20/05/2014
Guilherme dos Santos Martins Dias, Angela Cristina dos Santos, Antomar Araújo Ferreira
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Álgebra/Geometria |
A fim de desenvolver competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação são propostos para esta aula os seguintes objetivos:
Esta aula é continuação da aulaEstudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software Geogebra – Parte 1: determinação do cosseno no ciclo trigonométrico, disponível no Portal do Professor.
Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.
O Software Geogebra – Apresentação: Nesta aula, o círculo (ou ciclo) trigonométrico será estudado com o auxílio do software Geogebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por MarkusHohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.
O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.
Figura 1: Apresentação do Software Geogebra.
Fonte: Arquivo do autor.
PRIMEIRO MOMENTO: Analisar o comportamento da função cosseno enquanto variamos o ângulo central da circunferência.
Professor(a), inicialmente, solicite aos alunos que construam o ciclo trigonométrico.
Comentário: A construção do círculo trigonométrico e a definição da função cosseno, é construída na aula Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software Geogebra – Parte 1: Propriedades e determinação do cosseno, disponível no Portal do Professor.
Após a construção, peça-lhes que cliquem sobre o segmento com o botão direito e que, em seguida selecionem a opção Propriedades dos Objetos. Abrirá a seguinte janela (figura 2):
Figura 2: Propriedades dos objetos.
Fonte: Arquivo do autor.
Na aba básico, peça para selecionarem a opção mostrar objeto e na caixa ao lado, a opção Valor e, em seguida, que fechem a janela.
Comentário: Observe com os alunos que o comprimento do segmento é exibido abaixo do próprio objeto.
Agora, peça para os alunos posicionarem o ponto C sobre o ponto (1, 0). Para isso é necessário que o aluno selecione a opção Mover na barra de ferramentas (figuras 3-4).
Figura 3: Como mover um objeto no Geogebra.
Fonte: Arquivo do autor.
Figura 4: Cosseno de 0º.
Fonte: Arquivo do autor.
Professor(a), deixe que os alunos manuseiem essa ferramenta e que discutam o que estão percebendo que ocorre quando movimento o ponto sobre a circunferência. Em seguida apresente-lhes algumas questões e peça-lhes que registrem as respostas.
Comentário: O registro pode ser realizado tanto no caderno, quanto em um editor de texto, como por exemplo, o Word da Microsoft.
QUESTÕES
(A) ÂNGULO NULO.
Peça para os alunos posicionarem o ponto C sobre o ponto (1,0). E então questione.
1) Qual a medida do ângulo BÂC quando o ponto C encontra-se nesta posição? Qual o valor do cosseno deste ângulo?
(B) 1º QUADRANTE.
Peça para os alunos moverem o ponto C lentamente no sentido anti-horário (em direção ao ponto (0,1)), mas sem que este ponto passe para o segundo quadrante (figura 5).
Figura 5: Cosseno no primeiro quadrante.
Fonte: Arquivo do autor.
2) Qual o sinal do cosseno deste ângulo, quando o ponto C está no primeiro quadrante?
3)O que está acontecendo com cosseno do ângulo?
(C) ÂNGULO RETO.
Após todos compreenderem, peça para que eles posicionem o ponto C sobre o ponto (0,1) (figura 5).
Figura 5: Cosseno de 90º.
Fonte: Arquivo do autor.
4) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x?
Qual o valor do cosseno deste ângulo?
(D) 2º QUADRANTE.
Em seguida, peça para que os alunos moverem o ponto C lentamente ao longo do segundo quadrante, sem que o mesmo passe para o terceiro.
Figura 6: Cosseno no segundo quadrante.
Fonte: Arquivo do autor.
Questione :
5) Qual o sinal do cosseno no segundo quadrante?
6) O que está acontecendo com o cosseno do ângulo à medida que o aumentamos o ângulo de 90 a 180º ?
(E) ÂNGULO RASO.
Em seguida, peça para que os alunos posicionem o ponto C sobre o ponto (-1, 0) (figura 7).
Figura 7: Cosseno de 180º.
Fonte: Arquivo do autor.
7) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x?
Qual o valor do cosseno deste ângulo?
(F) 3º QUADRANTE.
Em seguida, peça os alunos para moverem o ponto C lentamente ao longo do terceiro quadrante, sem que o mesmo passe para o quarto.
Figura 8: Cosseno no terceiro quadrante.
Fonte: Arquivo do autor.
8) Qual o sinal do cosseno no terceiro quadrante?
9) À medida que aumentamos o valor de um ângulo de 180º para 270º, o que acontece com o seu cosseno?
(G) (3/4) DO CÍRCULO.
Professor (a), solicite aos alunos que posicionem o ponto C sobre o ponto (0, – 1) (figura 9).
Figura 9: Cosseno de 270º.
Fonte: Arquivo do autor.
Apresente a questão a seguir, e peça aos alunos para registrarem a resposta.
9) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x?
Qual o valor do cosseno deste ângulo?
Os alunos devem perceber que o cosseno de 270º é 0º , pois a projeção E encontra-se sobre a origem.
(H) 4º QUADRANTE.
Nesse momento, os alunos devem mover o ponto C lentamente ao longo do quarto quadrante, sem que o mesmo passe para o primeiro.
Figura 10: Cosseno no quarto quadrante.
Fonte: Arquivo do autor.
10) Qual o sinal do cosseno no quarto quadrante?
Da mesma forma que no primeiro quadrante, espera-se que os alunos percebam que o sinal é positivo, pelo fato de a projeção E estar à direita da origem.
11) O que está acontecendo com o cosseno do ângulo à medida que o aumentamos de 270º para 360º ?
Espera-se que os alunos vejam que, quando aumentamos o ângulo de 270º para 360º o cosseno também aumenta de 0 para 1. Peça para que eles observem a posição da projeção E sobre o eixo x.
Professor (a), para finalizar e após a socialização dos registros apresente as seguintes questões:
Observação: Espera-se que os alunos verifiquem que após passar do ponto (1, 0), ou seja, ao completar um giro superior a 360º, o estudo volta a se repetir. Assim, dado um ângulo superior a 360º, para estudarmos o seu cosseno, basta analisarmos seu correspondente entre 0 e 360º. Espera-se também que eles percebam que como o ciclo tem raio unitário (r = 1) e que o centro do ciclo está sobre o centro da circunferência, o valor mínimo que o cosseno pode assumir é (– 1) e o valor máximo (+1).
TERCEIRO MOMENTO: Atividades de contextualização.
Algumas sugestões de atividades:
1- Calcule o valor do cosseno de:
a) 0º b) 60º c) 120º d) 330º
2- Estabeleça uma relação para:
a) O cosseno de 60º e o cosseno de 120º.
b) O cosseno de 30º e o cosseno de 330º.
c) O cosseno de 0º e o cosseno de 180º.
3- Qual cosseno é menor?
a) O cosseno de 40º ou o cosseno de 75º.
b) O cosseno de 110º ou o cosseno de 300º.
c) O cosseno de 200º ou o cosseno de 90º.
4- Marque V para as alternativas verdadeiras e F para as alternativas falsas.
( ) Sabendo que o cosseno de um ângulo é positivo, então este ângulo está no segundo quadrante.
( ) Tanto o ângulo de 9º0, quanto o ângulo de 180º possuem cosseno iguais a zero.
( ) O cosseno de qualquer ângulo sempre está entre -1 e 1.
( ) O cosseno é positivo no terceiro e no quarto quadrante.
Para conhecer melhor o círculo trigonométrico, o aluno pode acessar o site:
http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/circulo-trigonometrico.htm. Acesso em 11 de Maio de 2014.
Para conhecer melhor a função cosseno, o professor pode apresentar ao aluno o seguinte site:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/19064/ciclotrigonometricofuncaocosseno.gif. Acesso em 11 de Maio de 2014
A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.
O professor poderá também, adotar como critério para avaliação:
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