A fim de desenvolver competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação são propostos para esta aula os seguintes objetivos:

 

• Estudar o sinal da função cosseno em cada um dos quadrantes.
• Estudar o valor que esta função assume em um dado ângulo.
• Verificar em quais intervalos a função cosseno é crescente e em quais é decrescente.

3 horas/aula (50 minutos cada).

• Plano cartesiano  e suas características: eixos, origem e quadrantes.
• Ângulo.
• O círculo (ou ciclo) trigonométrico.
• Definição da função cosseno.

Esta aula é continuação da aulaEstudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software Geogebra – Parte 1: determinação do cosseno no ciclo trigonométrico, disponível no Portal do Professor.

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software Geogebra – Apresentação: Nesta aula, o círculo (ou ciclo) trigonométrico será estudado com o auxílio do software Geogebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por MarkusHohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software Geogebra.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

PRIMEIRO MOMENTO: Analisar o comportamento da função cosseno enquanto variamos o ângulo central da circunferência.

 

Professor(a), inicialmente, solicite aos  alunos que construam o ciclo trigonométrico.

 

Comentário: A construção do círculo trigonométrico e a definição da função cosseno, é construída na aula Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software Geogebra – Parte 1: Propriedades e determinação do cosseno, disponível no Portal do Professor.

 

Após a construção, peça-lhes que cliquem sobre o segmento com o botão direito e que, em seguida selecionem a opção Propriedades dos Objetos. Abrirá a seguinte janela (figura 2):

 

Figura 2: Propriedades dos objetos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Na aba básico, peça para selecionarem a opção mostrar objeto e na caixa ao lado, a opção Valor e, em seguida, que fechem a janela.

 

Comentário: Observe com os alunos que o comprimento do segmento é exibido abaixo do próprio objeto.

 

Agora, peça para os alunos posicionarem o ponto C sobre o ponto (1, 0). Para isso é necessário que o aluno selecione a opção Mover na barra de ferramentas (figuras 3-4).

 

Figura 3: Como mover um objeto no Geogebra.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Figura 4: Cosseno de 0º.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Professor(a), deixe que os alunos manuseiem essa ferramenta e que discutam o que estão percebendo que ocorre quando movimento o ponto sobre a circunferência. Em seguida apresente-lhes algumas questões e peça-lhes que registrem as respostas.

 

Comentário: O registro pode ser realizado tanto no caderno, quanto em um editor de texto, como por exemplo, o Word da Microsoft.

 

QUESTÕES

 

(A) ÂNGULO NULO.

 

Peça para os alunos posicionarem o ponto C sobre o ponto (1,0). E então questione.

 

1) Qual a medida do ângulo BÂC quando o ponto C encontra-se nesta posição? Qual o valor do cosseno deste ângulo?

 

• Espera-se que os alunos, ao observarem as medidas apresentadas no ciclo, pelo programa, percebam que neste ponto o cosseno mede um(1). Caso isso não ocorra, deve-se observar que a medida do cosseno coincide com o valor do raio.

 

(B) 1º QUADRANTE.

 

Peça para os alunos moverem o ponto C lentamente no sentido anti-horário (em direção ao ponto (0,1)), mas sem que este ponto passe para o segundo quadrante (figura 5).

 

Figura 5: Cosseno no primeiro quadrante.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

2) Qual o sinal do cosseno deste ângulo, quando o ponto C está no primeiro quadrante?

• Resposta esperada: no primeiro quadrante, o sinal do cosseno é positivo.

 

3)O que está acontecendo com cosseno do ângulo?

• Espera-se que os alunos percebam que, à medida que o ângulo aumenta de 0º para 90º graus, o cosseno diminui de 1 para 0. No caso de surgir alguma dúvida, marque um segundo ponto sobre a circunferência, diferente do ponto C, e fazer a projeção (como feito anteriormente). Em seguida, peça aos alunos que comparem os valores dos cossenos atribuídos aos dois ângulos.

 

 

(C) ÂNGULO RETO.

 

Após todos compreenderem, peça para que eles posicionem o ponto C sobre o ponto (0,1) (figura 5).

 

Figura 5: Cosseno de 90º.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

4) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x?

Qual o valor do cosseno deste ângulo?

• Ao observarem o ciclo, os alunos devem perceber que o cosseno de 90º é 0, pois o ponto D estará sobre a origem. Se necessário, lembre-lhes que os valores do cosseno são determinados pela projeção da extremidade do ângulo no eixo horizontal e que, nesse caso a projeção está sobre a abscissa zero.

 

(D) 2º QUADRANTE.

 

Em seguida, peça para que os alunos moverem o ponto C lentamente ao longo do segundo quadrante, sem que o mesmo passe para o terceiro.

 

Figura 6: Cosseno no segundo quadrante.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Questione :

 

5) Qual o sinal do cosseno no segundo quadrante?

• Espera-se que os alunos percebam que o sinal é negativo, isso se deve ao fato da projeção estar à esquerda da origem. Aqui podem surgir dúvidas pelo fato de o comprimento apresentado no software estar positivo. Então explique que está positivo por representa o comprimento do segmento (em módulo), mas que, pelo valor estar à esquerda da origem, deve ser negativo.

 

6) O que está acontecendo com o cosseno do ângulo à medida que o aumentamos o ângulo de 90 a 180º ?

• Espera-se que os alunos observem que, quando aumentamos o ângulo de 90 a 180º , o cosseno diminui de 0 para – 1. Peça para que eles observem a posição da projeção E sobre o eixo x.

 

(E) ÂNGULO RASO.

 

Em seguida, peça para que os alunos posicionem o ponto C sobre o ponto (-1, 0) (figura 7).

 

Figura 7: Cosseno de 180º.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

7) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x?

Qual o valor do cosseno deste ângulo?

• Os alunos devem perceber que o cosseno de 180 é – 1.

 

(F) 3º QUADRANTE.

 

Em seguida, peça os alunos para moverem o ponto C lentamente ao longo do terceiro quadrante, sem que o mesmo passe para o quarto.

 

Figura 8: Cosseno no terceiro quadrante.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

8) Qual o sinal do cosseno no terceiro quadrante?

• Da mesma forma que no segundo quadrante, espera-se que os alunos percebam que o sinal é negativo, pelo fato de a projeção E estar à esquerda da origem.

 

9) À medida que aumentamos o valor de um ângulo de 180º para 270º, o que acontece com o seu cosseno?

• Espera-se que os alunos vejam que, quando aumentamos o ângulo de 180º para 270º  o cosseno também aumenta de – 1 para 0, apesar do fato de o comprimento (em módulo) estar diminuindo. Peça para que eles observem a posição da projeção E sobre o eixo x.

 

(G) (3/4) DO CÍRCULO.

 

Professor (a), solicite aos alunos que posicionem o ponto C sobre o ponto (0, – 1) (figura 9).

 

Figura 9: Cosseno de 270º.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Apresente a questão a seguir, e peça aos alunos para registrarem a resposta.

 

9) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x?

Qual o valor do cosseno deste ângulo?

Os alunos devem perceber que o cosseno de 270º é 0º , pois a projeção E encontra-se sobre a origem.

 

(H) 4º QUADRANTE.

 

Nesse momento, os alunos devem mover o ponto C lentamente ao longo do quarto quadrante, sem que o mesmo passe para o primeiro.

 

Figura 10: Cosseno no quarto quadrante.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

10) Qual o sinal do cosseno no quarto quadrante?

Da mesma forma que no primeiro quadrante, espera-se que os alunos percebam que o sinal é positivo, pelo fato de a projeção E estar à direita da origem.

 

11) O que está acontecendo com o cosseno do ângulo à medida que o aumentamos de 270º para 360º ?

Espera-se que os alunos vejam que, quando aumentamos o ângulo de 270º para 360º o cosseno também aumenta de 0 para 1. Peça para que eles observem a posição da projeção E sobre o eixo x.

 

Professor (a), para finalizar e após a socialização dos registros apresente as seguintes questões:

 

• Qual é o comportamento do cosseno, quando C completa uma volta completa? Passa pelo ponto (1,0)? Se C completar um ou mais giro o que se observa em relação ao valor dos cossenos?
• O cosseno de um ângulo pode assumir valor máximo? E mínimo? Se assumir qualquer um desses valores, destaque-o e justifique a resposta?

 

Observação: Espera-se que os alunos verifiquem que após passar do ponto (1, 0), ou seja, ao completar um giro superior a 360º, o estudo volta a se repetir. Assim, dado um ângulo superior a 360º, para estudarmos o seu cosseno, basta analisarmos seu correspondente entre 0 e 360º. Espera-se também que eles percebam que como o ciclo tem raio unitário (r = 1) e que o centro do ciclo está sobre o centro da circunferência, o valor mínimo que o cosseno pode assumir é (– 1) e o valor máximo (+1).

 

TERCEIRO MOMENTO: Atividades de contextualização.

 

Algumas sugestões de atividades:

1-      Calcule o valor do cosseno de:         

a)      0º       b) 60º              c) 120º                                    d) 330º

 

2-      Estabeleça uma relação para:

a)      O cosseno de 60º e o cosseno de 120º.

b)      O cosseno de 30º e o cosseno de 330º.

c)      O cosseno de 0º e o cosseno de 180º.

 

3-      Qual cosseno é menor?

 

a) O cosseno de 40º ou o cosseno de 75º.

b) O cosseno de 110º ou o cosseno de 300º.

c) O cosseno de 200º ou o cosseno de 90º.
 

4-      Marque V para as alternativas verdadeiras e F para as alternativas falsas.

 

(     ) Sabendo que o cosseno de um ângulo é positivo, então este ângulo está no segundo quadrante.

(     ) Tanto o ângulo de 9º0, quanto o ângulo de 180º possuem cosseno iguais a zero.

(     ) O cosseno de qualquer ângulo sempre está entre -1 e 1.

(     ) O cosseno é positivo no terceiro e no quarto quadrante.

Para conhecer melhor o círculo trigonométrico, o aluno pode acessar o site:

http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/circulo-trigonometrico.htm. Acesso em 11 de Maio de 2014.

 

Para conhecer melhor a função cosseno, o professor pode apresentar ao aluno o seguinte site:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/19064/ciclotrigonometricofuncaocosseno.gif.  Acesso em 11 de Maio de 2014

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também, adotar como critério para avaliação:

 

• O envolvimento do aluno com as atividades.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.