A fim de desenvolver competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação são propostos para esta aula os seguintes objetivos:

 

• Definir a função seno no círculo trigonométrico.
• Estudar o valor que esta função assume em um dado ângulo.
• Estudar o sinal da função seno em cada um dos quadrantes.
• Verificar em quais intervalos a função seno é crescente e em quais é decrescente.

4 horas/aula (50 minutos cada).

• Definição e reconhecimento de um triângulo retângulo.
• Dado um ângulo agudo de um triângulo retângulo, reconhecer os elementos: cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa.
• Seno e o cosseno de um ângulo agudo no triângulo retângulo.
• Plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.
• O círculo (ou ciclo) trigonométrico.

Esta aula, Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra – Parte 3: determinação do seno no ciclo trigonométrico é continuação das aulas "Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra – Parte 1: propriedade e determinação do cosseno"  e  "Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software Geogebra – Parte 2: Propriedade do cosseno em cada um dos quadrantes", disponíveis no Portal do Professor.

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento  das atividades pelos alunos.

 

O Software GeoGebra – Apresentação:

 

Nesta aula, o círculo (ou ciclo) trigonométrico será estudado com o auxílio do software GeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO SENO

 

Professor(a), inicialmente, solicite aos  alunos que construam o ciclo trigonométrico e depois um ponto C sobre o primeiro quadrante do círculo.

 

Comentário: A construção do círculo trigonométrico pode ser encontrada na aula "Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software Geogebra – Parte 1: Propriedades e determinação do cosseno", disponível no Portal do Professor.

 

Em seguida, peça para os alunos marcarem a projeção (ponto D) do ponto C sobre o eixo y.

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar o conceito de projeção como sendo o ponto D sobre o eixo y de forma que este eixo e o segmento  sejam perpendiculares.

 

 

Para fazer esta projeção, comece por traçar a reta perpendicular ao eixo passando pelo ponto C (figura 3). Então peça para os alunos selecionarem a opção Reta Perpendicular (figura 2), no menu de ferramentas, e depois clicarem sobre o ponto e sobre o eixo y.

 

Figura 2: Como construir uma reta perpendicular.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Figura 3: Reta perpendicular ao eixo y passando pelo ponto C.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Para marcar a intersecção da reta com o eixo, solicite que os alunos selecionem a opção Interseção de Dois Objetos (figura 4), na barra de ferramentas e, em seguida, para clicarem sobre cada um destes objetos, obtendo assim o ponto D (figura 5).

 

 

Figura 4: Como selecionar a intersecção de dois objetos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Figura 5: Construindo o ponto D, que é a intersecção do eixo y e a reta que passa por C e é perpendicular a este eixo.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Em seguida, solicite que os alunos marquem o segmento de reta tendo como extremidades a origem e o ponto C. Para isto, devem selecionar a opção Segmento de Reta (Dois Pontos) (figura 6), e então clicar nestes dois pontos (figura 7).

 

 

Figura 6: Como construir o segmento de reta que une dois pontos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Figura 7: Segmento de reta que possui a origem e o ponto C como extremidades.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Comentário: Para mudar a cor desse segmento, basta clicar com o botão direito sobre o mesmo e em seguida selecionar a opção Propriedades dos objetos, e escolher na barra de atalho a cor desejada. É possível também aumentar a espessura do segmento para que fique mais visível, para isto basta clicar na guia Estilo.

 

Peça agora para os alunos marcarem o ângulo formado pelo segmento    e o eixo x. Para isto, devem selecionar a opção Ângulo na barra de ferramentas (figura 8).

 

Figura 8: Como medir um ângulo.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Após selecionar a opção ângulo, para medir o ângulo BÂC, basta clicar nestes pontos nesta sequência (primeiramente no ponto B, em seguida no ponto A e por fim no ponto C) (figura 9).

 

 

Figura 9: a medida do ângulo BÂC.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Peça agora que façam a projeção do ponto C sobre o eixo dos cossenos (ponto E), utilizando procedimento análogo ao utilizado acima (figura 10). Caso seja necessário, veja a aula "Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software Geogebra – Parte 1:  propriedades e determinação do cosseno", disponível no Portal do Professor. 

 

 

Figura 10: Projeção de C no eixo dos cossenos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Questione com os alunos e, caso seja necessário, relembre-os sobre qual é a definição de seno no triângulo retângulo. Espera-se que eles se lembrem de que o valor do seno é dado pela razão entre o cateto oposto ao ângulo agudo dado, pelo valor da hipotenusa.

A partir dessa retomada, apresente as seguintes questões (peça para que registrem, no Word ou no caderno):

 

- O triângulo CAE é retângulo?

• Espera-se que os alunos percebam que como o segmento é perpendicular ao eixo  x, por construção, então o triângulo é retângulo.

 

- Dado o ângulo EÂC indicado no ciclo, qual é o segmento que representa o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa?

• Espera-se que os alunos respondam:

 

                         
    

 

- Qual é o valor da hipotenusa?

• Espera-se que os alunos percebam que como a hipotenusa coincide com um dos raios da circunferência, o valor da hipotenusa é 1 (um).

 

- Calcule então o valor do seno.

   

Calcular juntamente com eles o seno deste ângulo olhando para o triângulo retângulo ACD.

 

                        

 

Questionar:

 

- Qual é o seno de alfa?

• Espera-se que os alunos percebam que o seno de alfa é a medida do comprimento , e que por sua vez, tem a mesma medida que o segmento .

 

- Então o que é o seno de um ângulo no ciclo trigonométrico?

• Permita que os alunos discutam suas respostas e os direcione a construírem o conceito de seno no ciclo trigonométrico. Espera-se que cheguem a seguinte conclusão:

 

“O valor do seno de um ângulo representado, no ciclo trigonométrico, é dado pela medida do segmento ,

onde D é a projeção do ponto c no eixo dos y"

Para conhecer o círculo trigonométrico:

Ciclo trigonométrico. Disponível em: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/circulo-trigonometrico.htm. Acesso em 11 de maio de 2014.

Círculo Trigonométrico - Trigonometria. Disponível em: http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/matematica/circulo-trigonometrico-trigonometria-677843.shtml. Acesso em 11 de maio de 2014.

 

Para conhecer os valores do seno, cosseno e tangente  no ciclo trigonométrico:

Círculo trigométrico on line. Disponível em: http://odin.mat.ufrgs.br/usuarios/bruno/CONDIGITAL_Cruzeiro_sul/circulo_trigonometrico/.  Acesso em 16 de maio de 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também, adotar como critério para avaliação: O envolvimento do aluno com as atividades, a motivação em apresentar suas respostas para a turma e a seriedade para a correção dos exercícios.