Esta aula busca desenvolver as competências das áreas 2 e 3 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que são, respectivamente:

 

• utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e representação da realidade e agir sobre ela;
• construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

 

Mais especificamente, busca avaliar as habilidades:

 

• utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano (H9);
• avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas (H14).

 

Para isto são propostos para essa aula o seguinte objetivo:

 

• Conceituar  a área e o perímetro de um retângulo;
• Verificar que o valor do perímetro de um retângulo pode ser alterado, em função das dimensões da mesa utilizada.

2 horas/aula de 50 minutos

• Área do retângulo;
• Perímetro do retângulo.

Além dos recursos geralmente presentes em sala de aula, como a lousa, a figura 1 poderá ser utilizada, bem como folhas A4.

 

 

A aula

 

 

1º MOMENTO:

 

Professor(a), inicie a aula problematizando:

 

O que devemos considerar para distribuir uma quantidade de pessoas ao redor  uma mesa retangular: o perímetro ou a área da mesa?

 

Padrão de resposta esperada: O perímetro, pois quanto maior o comprimento ou a largura, mais gente pode se sentar ao seu redor.

 

COMENTÁRIOS:

 

1 – Alguns alunos podem apresentar dúvidas, nesse caso, apresente uma situação cotidiana ou se na sala de aula houver carteiras: separe uma mesa e questione quantas cadeiras ou pessoas (sem cadeiras) podem ser dispostas ao redor dela. Em seguida, coloque duas mesas juntas e questione se uma das dimensões aumentou (comprimento ou largura – uma delas vai se manter), se o perímetro aumentou – essa questão é perceptível visualmente – e quantas cadeiras ou pessoas podem ser dispostas nessa nova situação.

 

2 – Se necessário retome o conceito de perímetro como sendo a medida do contorno de uma figura geométrica plana.

 

Com um perímetro maior mais pessoas podem se sentar a mesa, no entanto, isso não garante que seja possível colocar mais itens sobre a mesma. Sendo assim, questione:

 

O que devemos considerar para distribuir uma quantidade de objetos sobre uma mesa retangular: o perímetro ou a área da mesa?

 

É provável que muitos(as) alunos(as) estabeleçam uma relação parecida com a que concluíram com o perímetro, isto é aumentando as dimensões de uma mesa, aumenta-se também o espaço para se colocar objetos. Para desfazer essa ideia solicite aos alunos que observem a figura 1 a seguir e que considerem as medidas em centímetros:

 

Figura 1: Esboço de mesa com aproximadamente 8 cm de largura

Fonte: arquivo do autor

 

Questione:

 

Nessa mesa cabem muitos objetos?

 

Espera-se que os alunos observem que o perímetro da mesa é de aproximadamente 935 cm, no entanto, é uma mesa na qual não se poderia apoiar tantos objetos, uma vez que sua largura é menor que 8 cm.

Professor(a), oriente as discussões com outro questionamento:

 

Agora que já perceberam que para obtermos uma mesa utilizável não podemos usar quaisquer medidas, vamos determinar qual o perímetro e área da mesa da figura 2?

 

 

Figura 2: Superfície da mesa

Fonte: Arquivo do autor

 

Perímetro: 4 . 60 = 240 cm

Área: 60 . 60 = 360 cm⊃2;

Continue instigando...

 

Nessa mesa, a área é menor que a área da mesa anterior, ela cabe mais objetos?

 

Esse é um momento de revisão, no qual os estudantes terão a oportunidade de relembrar, caso necessário, os meios para determinar perímetro e área de retângulos.

Feitas essas considerações, retome o tema central dessa aula: estabelecer uma relação entre área e perímetro do retângulo.

 

 

2º MOMENTO:

 

Parte 1: Relacionando a área e o perímetro de uma superfície retangular com suas dimensões.

 

Professor(a), inicie esse momento, apresentando a mesa dobrável por meio da figura 3 ou qualquer outra fonte que achar pertinente. 

 

Figura 3: Mesa dobrável entreaberta

Fonte: Arquivo do autor

 

Professor(a), explique aos estudantes que se trata de um tipo de mesa que oferece regulagens para a área de sua superfície.

Em seguida, apresente o vídeo disponível no endereço: http://www.youtube.com/watch?v=Ob-wxAE0Y1c (Acesso em 03 mai 2014).

A partir daí, problematize:

 

No vídeo, quando a mesa é aberta o que acontece com as suas dimensões? E em relação ao perímetro e a área?

 

COMENTÁRIO: Espera-se que os(as) alunos(as) manifestem respostas como: as dimensões (comprimento e largura) dobram, por isso obtém-se o dobro de área e o dobro do perímetro.

Nesse momento, trabalhe com a folha de papel, dando preferência a rascunhos para evitar desperdícios, e solicite aos estudantes que dobrem a folha ao meio, simulando a mesa elástica, e que observem o que acontece, confrontando com o que acabaram de dizer.

Nesse momento, reserve um espaço para os alunos discutirem e socializarem suas considerações. Espera-se que, com as discussões, os alunos observem que, no caso o valor da área dobra, mas que o perímetro não.

 

COMENTÁRIO: Caso se dobre a área, um dos lados de cada retângulo é desconsiderado para calcular o perímetro.

 

 

Figura 4: Superfície da mesa aberta

Fonte: Arquivo do autor

 

Em seguida, peça aos alunos que calculem a área e o perímetro da mesa aberta, assim:

 

Área:

(60 + 60) . 60 = 120 . 60 = 7200 cm⊃2;.

 

Ao ilustrar que  a área dobra, pode-se, ainda, desenvolver os cálculos da seguinte maneira:

(60 + 60) . 60 =60 . 60 + 60 . 60 = 360 + 360 = 7200 cm⊃2;

 

No entanto, como podemos observar na figura 4, há um lado em comum entre os polígonos quando a mesa está aberta. Observe a figura 5:

 

 

Figura 5: Esboço da mesa aberta

Fonte: Arquivo do autor

 

 

O perímetro com a mesa fechada era de 240 cm, contudo, com a nova configuração o perímetro é de 2 . 60 + 2 . (60 + 60) = 120 + 240 = 360 cm. É possível ainda fazer a abordagem de maneira a utilizar o dobro do perímetro e subtrair o que não é necessário, portanto, 2 . 240 – (60 + 60) = 480 – 120 = 360 cm.

 

COMENTÁRIO: Questione também sobre a forma de encontrar o perímetro desconsiderando os lados em comum, ou seja, desconsiderando EF.

 

Professor(a), a situação apresentada pode ser analisada de forma genérica, para isso deve-se usar os conhecimentos algébricos.

 

Vamos generalizar?!

 

 Para estabelecer a relação genérica (algébrica) entre a área e o perímetro de uma superfície retangular com suas dimensões, deve-se atribuir a cada dimensão uma variável.

 

COMENTÁRIO: Professor(a), se achar conveniente, revise com os alunos a diferença entre incógnita e variável.

 

Agora, tente algebrizar a situação, assim:

 

Em síntese, nesse caso em particular “saímos” de uma mesa com “x” de área e “y” de perímetro para uma com “a” de área e “b” de perímetro.

 

Professor(a), mostre outra possibilidade, caso a mesa abrisse para um lado perpendicular ao mostrado na figura, ou seja, ao observar a figura, ao invés de abrir para a direita, abrisse para cima. Trabalhe o caso mais simples, em que a mesa fechada é um quadrado. Esse encaminhamento pode ser compartilhado com os estudantes, ficando a critério do(a) professor(a), uma vez que o raciocínio para os cálculos é semelhante.

A partir daí professor(a), faça a seguinte pergunta: 

 

Como poderíamos escrever essa relação para um caso geral, em que a mesa “fechada” tivesse dimensões x e y (figura 6)?

 

 

Figura 6: Mesa fechada com dimensões x e y

Fonte: Arquivo do autor

 

Espera-se que, a partir das discussões anteriores,  os alunos respondam que:

 

• Área: x . y
• Perímetro: 2x + 2y

 

Nesse momento, continue os questionamentos:

 

Sem mudar o valor das dimensões (x e y) da mesa, como podemos escrever a área e o perímetro, para um caso geral, em que a mesa “aberta?

 

 

 

Figura 7: Mesa aberta

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Desse modo, espera-se que os alunos cheguem a às respostas.

 

• Área: 2.x.y
• Perímetro: 2 . (2x + 2y) – (y + y) = 4x + 4y - 2y = 4x + 2y

 

Encerre com a seguinte pergunta:

 

                 Ao abrir a mesa, é possível colocar o dobro de panelas, com as mesmas medidas? E o dobro de pessoas poderão se sentar a mesa?

 

COMENTÁRIO: Se possível, ilustre as situações acima com fotos.

 

Professor(a), esse questionamento é importante pois retoma o início da aula e a problematização que tange a área e o perímetro da mesa. A ideia é que ao dobrar a área seja possível colocar o dobro de panelas sobre a mesma, no entanto, quando  se abre, não é possível dobrar a quantidade de pessoas para sentar a mesa, uma vez que o perímetro não dobra. No caso da figura 5, se considerarmos que a cada 60 cm é possível “colocar” uma pessoa, conclui-se que, com a configuração original seria possível que se sentassem 4 pessoas, quando a mesa é aberta são seis.

Desta forma, é possível concluir uma importante etapa da aula. É possível levar os alunos a perceberem o que acontece com mesas dobráveis que sejam compostas por mais partes. Para isto, pergunte aos alunos como ficaria a área e o perímetro de uma mesa que se abra em três partes.

 

 

Figura 8: Mesa com três partes

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Nesse caso tem-se:

 

• Área: 3.x.y
• Perímetro: 3. (2.x +2.y) – (y + y) – (y + y) = 3.(2.x + 2.y) – 2.y – 2.y = 6.x + 6.y – 4.y = 6.x + 2.y

 

Professor(a), observe que o raciocínio foi o mesmo. Nesse momento, questione os estudantes para saber se eles conseguem observar algum padrão de regularidade.

Espera-se que eles notem,  observando a figura, que o valor de  “y” é contado apenas duas vezes.

Como atividade apresente a figura 9, uma mesa que se abre em quatro partes.

 

Atividade: Utilizando o mesmo raciocínio da aula, escreva a área e o perímetro da mesa abaixo, sabendo que a mesma possui, quando fechada, dimensões “x” e “y”.

 

 

Figura 9: Mesa dobrável em quatro partes

Fonte: Disponível em: http://www.casaancora.com.br/media/catalog/product/cache/1/image/9df78eab33525d08d6e5fb8d27136e95/g/1/g1030743.jpg . Acesso em 13 jun. 2014.

 

 

Observe que essa mesa possui quatro partes. Caso o estudante tenha percebido o padrão, terá condições de, rapidamente, responder:

 

• Área: 4.x.y
• Perímetro: 8.x + 2.y

 

Professor(a), insista no questionamento sobre o padrão. Sintetize com um quadro reunindo os quatro casos:

 

Quadro 1: Áreas e perímetros

Número de polígonos	Área	Perímetro
1	x.y	2.x + 2.y
2	2.x.y	4.x + 2.y
3	3.x.y	6.x + 2.y
4	4.x.y	8.x + 2.y

Fonte: Arquivo do autor

 

 

E, como atividade final solicite a generalização para “n” desdobramentos.

 

Atividade: Como podemos escrever a área e o perímetro de um polígono de dimensões “x” e “y” que se desdobra “n” vezes de maneira a sempre manter um lado em comum do polígono anterior com o novo desdobramento?

 

 

Figura 10: Mesa com n desdobramentos

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Padrão de resposta esperada: Podemos observar que serão n retângulos e, portanto, a área será igual a

 

n.(x.y) = n.x.y

 

No caso do perímetro observamos que o “y” é contado apenas duas vezes enquanto o “x” é contado n vezes em cada uma das bases, portanto, o perímetro é dado por

 

n.x + n.x + y + y = 2.n.x + 2.y

 

Isso se verifica no quadro 1, observe abaixo o quadro 2, a partir de uma releitura do primeiro.

 

Quadro 2:  Generalizando as áreas e perímetros

Número de polígonos	Área	Perímetro
1	x.y	2.1.x+2.y	2.x + 2.y
2	2.x.y	2.2.x+2.y	4.x + 2.y
3	3.x.y	2.3.x+2.y	6.x + 2.y
4	4.x.y	2.4.x+2.y	8.x + 2.y
...	...	...	...
n	n.x.y	2.n.x + 2.y

Fonte: Arquivo do autor

Mesas extensíveis

http://www.youtube.com/watch?v=mu15iEPU5kM . Acesso em 03 mai. 2014.

http://www.youtube.com/watch?v=gwjPmP3y6-g . Acesso em 03 mai. 2014.

http://www.youtube.com/watch?v=n_EYGx45dkg . Acesso em 03 mai. 2014.

https://www.youtube.com/watch?v=Ob-wxAE0Y1c . Acesso em 12 jun. 2014.

Feita de maneira continua ao longo da aula, a avaliação deve envolver a participação dos alunos. Há também a possibilidade de que o(a) professor(a) solicite que os(as) alunos(as) façam o registro da última atividade em folha destacada para que possa ser recolhida e, com base nesses registros, concluir o processo de avaliação, verificando se os(as) estudantes compreenderam a generalização.