A fim de desenvolver as competências das áreas 2 e 3 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que são, respectivamente:

 

• utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e representação da realidade e agir sobre ela;
• construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

 

Mais especificamente, busca avaliar as habilidades:

 

• utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano (H9);
• avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas (H14).

 

Para isso são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• Obter perímetros de retângulos ao elaborar uma sequência de áreas, em que a área de cada retângulo é obtida a partir do dobro da anterior;
• Exercitar noções de generalização de expressões a partir de padrões.

1 a 2 hora/aula de 50 minutos

• Área de retângulos;
• Perímetro de retângulos;
• Potência.

Os recursos comuns em sala de aula como lousa são suficientes para essa aula.

 

 

A aula

 

Na aula “Áreas e perímetros de mesas dobráveis” percebemos que é possível generalizar a área e o perímetro de um retângulo que se desdobra com uma determinada configuração. Observe:

 

 

Figura 1: Mesa com n desdobramentos

Fonte: Arquivo do autor

 

 

E, sintetizamos nossas conclusões por meio do quadro 1:

 

 

Quadro 1: Generalizando as áreas e perímetros

Número de polígonos	Área	Perímetro
1	x.y	2.1.x+2.y	2.x + 2.y
2	2.x.y	2.2.x+2.y	4.x + 2.y
3	3.x.y	2.3.x+2.y	6.x + 2.y
4	4.x.y	2.4.x+2.y	8.x + 2.y
...	...	...	...
n	n.x.y	2.n.x + 2.y

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Nessa aula vamos trabalhar com outra configuração, a de que a cada desdobramento a área do polígono dobre.

Professor(a) é importante que tenha observado a aula citada, uma vez que utilizaremos um raciocínio análogo nesta. É interessante também que trabalhe a primeira aula com seus alunos os passos nela expostos, a fim de que eles possam se familiarizar com os mesmos, facilitando os encaminhamentos desta aula.

 

Inicie solicitando que os(as) alunos(as) calculem a área e o perímetro de um retângulo de dimensões “x” e “y”.

 

 

Figura 2: Retângulo com dimensões x e y

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Neste momento os estudantes terão a oportunidade de recapitularem a forma de calcular o perímetro e a área. Para isto é importante que você tenha desenvolvido com eles a aula “Áreas e perímetros de mesas dobráveis”, disponível no Portal do Professor.

Professor(a), trabalhe com os alunos o caso em que se dobra a área.

 

 

Figura 3: Retângulo com o dobro de área

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Obtemos:

 

• Área: 2.x.y
• Perímetro:  2 . (2x + 2y) – (y + y) = 4x + 4y - 2y = 4x + 2y

 

Professor(a), nesse ponto sugerimos a seguinte atividade:

 

Atividade:

Baseado no que vimos até o momento, como podemos escrever o perímetro dos quatro primeiros desdobramentos de maneira que a área sempre dobre, acrescentando polígonos (retângulos) à direita?

No final sintetize as discussões por meio de um quadro.

 

 

Quadro 2: Síntese das áreas e perímetros

Momento	Número de polígonos	Área	Perímetro
1	1	x.y	2.1.x+2.y	2.x + 2.y
2	2	2.x.y	2.2.x+2.y	4.x + 2.y
3	4	4.x.y	2.4.x+2.y	8.x + 2.y
4	8	8.x.y	2.8.x+2.y	16.x + 2.y

Fonte: Arquivo do autor

 

 

E como generalizar?

 

Faça essa pergunta aos estudantes e caso necessário construa com eles a expressão observando o quadro a pouco elaborado.

 

Leve os alunos a observarem  que para n momentos podemos escrever que:

 

• a área se dá  por: 2^(n-1) .x.y
• o perímetro se dá por: 2ⁿ.x + 2.y

 

Professor(a), como atividade complementar a essa etapa proponha a generalização para uma situação semelhante, de maneira que a área dobre uma vez na horizontal e uma na vertical, ou seja, após a configuração da figura 3, tenhamos uma como a figura 4.

 

 

Figura 4: Dobrando a área verticalmente

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Observe que nessa etapa a área do polígono dobrou. O perímetro é:

 

2.2.x + 2.2.y =  4.x+4.y = 4 (x + y)

 

Dobrando na horizontal:

 

 

Figura 5: Dobrando a área horizontalmente

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Obtemos uma área de 4.x.2.y = 8.x.y e o seguinte perímetro:

 

2.2.y + 2.4.x = 4.y + 8.x = 4 . (y + 2.x)

 

Essas etapas podem ser construídas coletivamente. A partir daí, solicite aos estudantes que façam mais alguns casos e exponha as conclusões em um quadro.

 

Observação: Solicite que esse quadro seja feito em folha destacada para posteriormente servir como parte da avaliação dessa aula. Podem também ser feitos dois quadros, separadamente, um para área e outro para perímetro. Para tanto, pode-se também solicitar que os(as) alunos(as) acrescentem novas linhas ao quadro antes de tentar perceber uma possível generalização

 

 

Quadro 3: Momentos na horizontal e vertical

Momento	Posição	Área	Perímetro
1		x.y	2.x+2.y	2.(x + y)
2	Horizontal	2.x.y	4.x+2.y	2.(2.x + y)
3	Vertical	4.x.y	4.x+4.y	4.(x + y)
4	Horizontal	8.x.y	4.x+8.y	4.(2.x + y)
5	Vertical	16.x.y	8.x + 8.y	8.(x + y)
6	Horizontal	32.x.y	16.x + 8.y	8.(2.x + y)

Professor(a), abaixo seguem alguns links sobre área e perímetro de retângulos que podem ser indicados aos estudantes anteriormente a aula.

 

http://www.youtube.com/watch?v=QUezdCVQ6A0. Acesso em 04 mai. 2014.

http://pt.slideshare.net/geometras/geometras2013jul02. Acesso em 04 mai. 2014.

http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-retangulo.htm. Acesso em 04 mai. 2014.

A avaliação deve ser deita de maneira continua ao longo da aula, envolvendo a participação dos alunos. Há também a possibilidade de que o(a) professor(a) solicite que os(as) alunos(as) façam o registro da ultima atividade em folha destacada (com ou sem o desafio) para que possa ser recolhida e, com base nesses registros, concluir o processo de avaliação, verificando se os(as) estudantes compreenderam a generalização.