A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8) e ainda utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano (H9) são propostos para esta aula os seguintes objetivos

·      Apresentar o problema do volume máximo na montagem de uma caixa.

·      Estudar a função dada pelo volume.

·      Observar o comportamento do gráfico da função volume.

·      Função do 2º e 3º grau.

·      Área e volume.

·      Plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.

·      Gráfico de função.

·      Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para resolver o problema proposto.

Professor (a), para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 nov. 2013. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 nov. 2013.

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra – Apresentação:

Nesta aula, o problema do volume máximo durante a montagem de uma caixa, será estudado com o auxílio do softwareGeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

Figura 1 – Apresentação do SoftwareGeoGebra

Fonte: Arquivo da Autora

A AULA

O PROBLEMA EM QUESTÃO...

A partir de uma folha de papel 10cm x 10cm, qual é o volume máximo que podemos atingir quando montarmos uma caixa (sem tampa) de base quadrada?

PRIMEIRA PARTE DA AULA

Professor (a), inicialmente, solicite aos alunos que esbocem como seria a planificação de uma caixa e como a partir de uma folha 10cmx10cm poderíamos construí-la. Aproveite e pergunte qual a área da folha de papel.

Padrão de resposta esperado:

“A área da folha de papel 10x10 é 100cm⊃2;. Para construirmos uma caixa de base quadrada a partir dela, devemos retirar quadrados de lado x de seus cantos, para que seja possível “subir suas paredes” (figura 2)”.

Figura 2 – Planificação e Montagem da caixa

Fonte: Arquivo da Autora

Comentário: Esse esboço pode ser feito a “mão livre”, para que não se perca muito tempo.  Talvez seja necessário retomar a definição de área.

Levante as seguintes questões:

1)   Como calcular do volume dessa caixa?

Padrão de resposta esperado:

“O volume da caixa a ser construída é dado pela multiplicação da área da base pela altura, mais especificamente, V = (10-2x)*(10-2x)*x, em que x é o tamanho do lado do quadradinho cortado”.

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de volume.

2)   De qual valor depende o volume dessa caixa? Esse valor pode ser qualquer?

Padrão de resposta esperado:

“O volume da caixa depende do valor de x, ou seja, do tamanho do corte dos lados dos quadrados, que retiraremos da folha de medida 10x10. Temos que x deve ser maior do que zero, pois o corte deve existir, e menor do que cinco, pois o corte não deve exceder o tamanho da folha 10x10”. 

3)   Algebricamente, qual função polinomial representa o volume da caixa?

Padrão de resposta esperado:

“O volume da caixa é representado pela função V(x) = (10-2x)*(10-2x)*x . Assim, efetuando as multiplicações o volume é V(x)= 4x⊃3; - 40x⊃2; + 100x, em que x representa o valor do corte”.

SEGUNDA PARTE DA AULA

A próxima etapa é investigar como encontrar o volume máximo dessa caixa, ou seja, para qual o valor de x (corte) teremos o maior volume possível.

Questione os alunos sobre a questão de ponto de máximo e ponto de mínimo de uma função.

Padrão de resposta esperado:

“Uma função tem ponto de máximo quando sua concavidade está voltada para baixo e ponto de mínimo quando sua concavidade está voltada para cima, e o ponto de máximo ou de mínimo chamamos de vértice, no caso das funções quadráticas”.

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de ponto de máximo e de mínimo de uma função quadrática.

Solicite aos alunos que desenhem o gráfico da função V(x) = 4x⊃3; - 40x⊃2; + 100x, que representa o volume da caixa, no Software Geogebra (figura 3) e comentem sobre seu comportamento e coordenadas.

Figura 3 – Gráfico da função V(x)

Fonte: Arquivo da Autora

Padrão de resposta esperado:

“O eixo x representa o tamanho do corte, e o eixo y representa o volume da caixa. A função tem ponto de máximo e de mínimo, ou seja, a ordenada do ponto máximo da função representa o volume máximo da caixa, que está entre 70cm⊃3; e 80cm⊃3; e a abscissa do ponto máximo representa o valor do corte x, que está entre 1cm e 2cm”.

Comentário: Para melhor visualização do gráfico, mude a escala dos eixos. Basta posicionar o mouse sobre o eixo, e ao apertar a tecla “Ctrl” aparecerá uma setinha, onde é possível movimentá-la para direita ou esquerda (no caso do eixo x) e para cima ou para baixo (no caso do eixo x). Assim, pode-se escolher a escala em que o gráfico é melhor visualizado. 

TERCEIRA PARTE DA AULA

Nesta parte da aula, aluno e professor trabalham simultaneamente, pois será realizada a construção da caixa planificada juntamente com a variação do corte e volume.

Solicite aos alunos que mudem o estilo da linha do gráfico de V(x) para tracejado (isso pode ser realizado nas propriedades do gráfico) e criem um Controle Deslizante nomeando-o de “Corte”,variando de 0 a 5 e com incremento 0.1 (figura 4).

Figura 4 –Construindo um Controle Deslizante

Fonte: Arquivo da Autora 

Figura 5 –Construindo um quadrado de lado 10

Fonte: Arquivo da Autora

Crie os pontos E = (-40 + Corte , 10), F = (-30 – Corte , 10), G = (-40 + Corte , 0), H = (-30 – Corte , 0), I = (-40 , 10 - Corte), J = (-40 , Corte), K = (-30 , 10 - Corte) e L = (-30 , Corte) (figura 6).

Comentário: Professor (a) fique atento as coordenadas do ponto em que o segmento inicial de comprimento 10 foi criado. Certifique-se que todos os alunos tenham criado no mesmo local, para que os valores a serem somados ou subtraídos nos novos pontos E, F, G, H, I, J, K e L sejam os mesmos.

Figura 6 –Criando pontos dependentes do Corte

Fonte: Arquivo da Autora

Após movimentarem o Controle Deslizante Corte peça que os alunos comentem sobre os pontos criados.

Padrão de resposta esperado:

“Quando movimentado o Controle Deslizante Corte, os pontos criados também se movimentam, ou seja, os pontos criados dependem do controle deslizante”.

Solicite aos alunos que criem os segmentos ligando esses pontos e marquem as interseções (figura 7).

Figura 7 – Marcando os segmentos e interseções

Fonte: Arquivo da Autora

Para finalizar a construção da planificação da caixa, esconda os segmentos criados e ligue os pontos de forma a figura ficar conforme figura 8 abaixo. Após essa etapa, pode-se esconder todos os pontos do programa (figura 9).

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 10 jun. 2014.

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se que o professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. As construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, posteriormente, assim, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

Referências

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

 ______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 12 ago. 2013.