A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22) são propostos para esta aula os seguintes objetivos

·      Representar diferentes gráficos de variações da função logarítmica (na base 10) no plano cartesiano.

·      Estudar o valor que estas funções assumem em um dado valor.

·      Estudar o sinal da função em determinados valores.

·      Observar o comportamento do gráfico em diferentes situações.

·      Definição de função logarítmica.

·      Plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.

·      Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

·      Gráfico da função f(x)=log₁₀(x).

Esta aula é continuidade da aula Explorando o gráfico da função logarítmica com o GeoGebra – Parte 1, disponível no Portal do Professor.

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para conjecturar conceitos envolvendo variações das funções logarítmicas na base 10.

Vale ressaltar que os gráficos das variações da função logarítmica na base 10 será estudado com o auxílio do software GeoGebra.

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 nov. 2013. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 nov. 2013.

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra – Apresentação:

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

Figura 1 – Apresentação do SoftwareGeoGebra

Fonte: Arquivo da Autora

SEGUNDO MOMENTO DA AULA:

Em um novo arquivo, solicite aos alunos que exibam apenas o gráfico da função f(x) = log₁₀(x).

1)  SOMANDO VALORES A VARIÁVEL X POR UM NÚMERO: g(x) = log₁₀(x+b). 

Neste momento peça aos alunos para criarem um Controle Deslizante b, variando de -10 a 10 com incremento 1. No campo Entrada, solicite que criem a função “g(x) = log10(x+b)” e escolham a cor azul para destacar seu gráfico (figura 2). 

Figura 2 – Gráfico da função g(x) = log₁₀(x+b).  

Fonte: Arquivo da Autora

Após movimentarem o Controle Deslizante b e observarem o que acontece, proponha as seguintes questões aos alunos:

·         O que acontece com o gráfico da função g(x) quando b está entre -10 e 0?

·         O que acontece com o gráfico da função g(x) quando b está entre 0 e 10?

Padrão de resposta esperado:

“Quando b está entre -10 e 0, a função g(x) está se movimentando para direita, mais especificamente, está  deslocando o valor positivo de b  para a direita. Quando b está entre 0 e 10, a função g(x) está se movimentando para a esquerda, mais especificamente, está  deslocando o valor positivo de b para a esquerda”.

Comentário: Professor convencione com seus alunos uma maneira de representar o gráfico de funções como g(x) = log₁₀(x+b). Uma forma simples, é construir o gráfico de  f(x) = log₁₀(x) e deslocar o valor de b, para direta ou esquerda, observando quando b é negativo ou positivo respectivamente.

Comentário: Professor(a), explore exemplos e/ou exercícios que estabeleçam relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade e altura; área do círculo e raio; tempo e distância percorrida; tempo e crescimento populacional, entre outras. Também é interessante provocar os alunos para que apresentem outras relações funcionais e que, de início, esbocem qualitativamente os gráficos que representam essas relações, registrando os tipos de crescimento e decrescimento.

Nos vestibulares muitas questões exploram a função logarítmica, segue um exemplo de problema que pode ser abordado em sala de aula, podendo ser solucionado através do GeoGebra.

Ex.: (Adaptado UFSCAR-SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: q(x) = 2,5+log₁₀(x+2),com q(x) em metros e x em anos. Se uma dessas árvores foi cortada 10 anos após ser plantada, qual era a altura, em metros, do tronco da árvore quando o corte ocorreu?

Para resolver o problema no GeoGebra, devemos desenhar o gráfico de q(x), e marcar o ponto x = 10, que são os anos que se passaram até a árvore ser cortada. Assim, devemos encontrar o ponto y que corresponde a x = 10, para isso, basta traçar a perpendicular ao eixo x passando pelo ponto x = 10, e marcar o ponto de interseção com o gráfico de q(x) (figura 3). O valor da ordenada do novo ponto é a resposta do problema.

Figura 3 – Resolução do Problema

Fonte: Arquivo da Autora

Comentário: O problema pode ser resolvido rapidamente digitando apenas a função q(x) e pedindo que  GeoGebra entre o valor de q(10).

2)  MULTIPLICANDO VALORES A VARIÁVEL X POR UM NÚMERO: h(x) = log₁₀(x.c).

Peça aos alunos para criarem um Controle Deslizante c, variando de -10 a 10 com incremento 1. No campo Entrada, solicite que criem a função “h(x) = log10(x*c)”e escolham a cor verde para destacar seu gráfico (figura 4). 

Figura 4 – Gráfico da função h(x)=log₁₀(x.c) 

Fonte: Arquivo da Autora

Após movimentarem o Controle Deslizante c e observarem o que acontece, proponha as seguintes questões aos alunos:

·         O que acontece com o gráfico da função h(x) quando c está entre -10 e 0?

·         O que acontece com o gráfico da função h(x) quando c está entre 0 e 10?

·         O que acontece com o gráfico da função h(x) quando c vale zero?

Padrão de resposta esperado:

“Quando c está entre -10 e 0, ou seja, quando o valor se x é negativo, o gráfico da função h(x) está no 2º e 3º quadrante, e quando variamos o valor de c (entre -10 e 0), o gráfico se desloca para cima quando diminuímos c. Quando c está entre 0 e 10, a função h(x) se desloca para cima conforme aumentamos o valor de c. Quando c vale zero, a função h(x) não existe, pois a função logarítmica não está definida para x = 0.

Comentário: Professor, caso seja necessário retome novamente a definição algébrica de função logarítmica. Comente sobre o gráfico das funções f(x) = log₁₀(x) e h(x) = log₁₀(-x) (figura 5) que uma é a reflexão da outra em relação ao eixo y.

Figura 5 – Comparando gráficos

Fonte: Arquivo da Autora

3)        DIVIDINDO A VARIÁVEL X POR UM NÚMERO: p(x) = log₁₀(x/c).

Nessa última construção, solicite aos alunos para criarem um Controle Deslizante d, variando de -10 a 10 com incremento 1. No campo Entrada, solicite que criem a função “p(x) = log10(x/c)”, com c diferente de zero, e escolham a cor vermelho para destacar seu gráfico (figura 6). 

Figura 6 – Gráfico da função p(x) = log₁₀(x/c) 

Fonte: Arquivo da Autora

Após movimentarem o Controle Deslizante d e observarem o que acontece, proponha as seguintes questões aos alunos:

·         O que acontece com o gráfico da função p(x) quando d está entre -10 e 0?

·         O que acontece com o gráfico da função p(x) quando d está entre 0 e 10?

·         O que acontece com o gráfico da função p(x) quando d vale zero?

Padrão de resposta esperado:

“Quando d está entre -10 e 0, ou seja, quando o valor se x é negativo, o gráfico da função p(x) está no 2º e 3º quadrante, e quando variamos o valor de d (entre -10 e 0), o gráfico se desloca para baixo quando diminuímos d. Quando d está entre 0 e 10, a função p(x) se desloca para baixo, conforme aumentamos o valor de d. Quando d vale zero, a função p(x) não existe, pois não existe divisão de um x por zero”.

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 10 jun. 2014.