A fim de desenvolver as competências das áreas 1, 2 e 3 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que são, respectivamente:

 

• Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
• Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
• Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

 

Mais especificamente, desenvolver as habilidades:

 

• Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas(H4).
• Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano(H9).
• Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas(H14).

 

Para isso são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• Compreender algumas das características de rodas e pneus utilizados em carros;
• Calcular o comprimento de pneus;
• Perceber relações entre o velocímetro e odômetro com o comprimento do pneu;
• Analisar possíveis resultados de velocidade e quilometragem ao efetuar a mudança de modelos de pneus ou rodas dos veículos.

2 hora/aula de 50 minutos

• Porcentagem;
• Comprimento da circunferência.

Além dos recursos geralmente presentes em sala de aula, como a lousa, serão necessárias cópias da figura 1 (ou mesmo uma projeção da figura na lousa, o que demanda um projetor e um computador). O(A) professor(a) pode optar por levar para a sala de aula um pneu, substituindo ou reforçando a imagem.

 

 

A aula

A roda é, sem dúvida, um grande invento na história da humanidade. Atualmente, a forma circular aparece em diversos contornos automobilísticos, nas rodas, nos pneus, na maioria dos volantes, em faróis, dentre outros. No entanto, nessa aula trataremos mais especificamente dos pneus e de sua influência na quantificação da velocidade do automóvel. Nesse sentido estabelecemos a questão problematizadora dessa aula:

 

“Escolher um pneu de altura diferente daquele que veio de fábrica pode influenciar a velocidade mostrada no velocímetro ou a distância marcada no odômetro?”

 

Professor(a) apresente esse questionamento aos estudantes, mas deixe em suspenso os encaminhamentos para uma possível resposta. Deixe que exponham suas opiniões e, se possível, as registre na lousa, ou ainda, contabilize a quantidade de estudantes que acreditam que existe a influência e aqueles que acreditam que essa relação não procede.

Antes de tratarmos de analisar matematicamente o problema, é preciso que entendamos como interpretar as características descritas nos pneus.  Observe a figura 1:

 

 

Figura 1: Características do pneu

Fonte: http://www.ibahia.com/a/blogs/carros/files/2013/08/como-ler-um-pneu2.png

Acesso 13 jun. 2014.

 

 

Como podemos perceber, há uma sequência de números e letras que expressa características do pneu. Para essa aula, necessitaremos da largura e da relação entre a altura e largura. Sugere-se ao professor (a) que leve uma fotografia para a aula. Caso opte por essa que acabamos de expor, torna-se interessante inicialmente que não se permita ver os significados. Nesse sentido, cria-se o espaço para a discussão e manifestação dos alunos instigados pelo(a) professor(a). Pergunte se alguém sabe quais os significados daqueles números e letras.

 

De toda a sequência de características, após a indagação, o(a) professor(a) deve convergir para aquela parte que representa largura e altura.

Observe na figura os números 195 e 55. O primeiro expressa a largura do pneu em milímetros, o segundo representa uma porcentagem da largura que, nesse caso, resulta na altura. Nesse ponto, questione:

 

Estabelecidas as características e seus significados, determine para o exemplo da figura 1 a altura do pneu.

 

Resposta esperada: nesse caso, a altura é de 55% de 195 mm. Portanto, uma altura de 107,25 mm, ou seja, aproximadamente 10,72 cm.

 

Essa, apesar de não ser o aspecto central da aula, é uma boa oportunidade de relembrar o trabalho com porcentagem (caso tenha interesse em saber sobre os demais símbolos que expressam outras características dos pneus sugerimos o link: http://economia.terra.com.br/carros-motos/meu-automovel/entenda-o-significado-da-numeracao-dos-pneus,01a7492c8a370410VgnVCM5000009ccceb0aRCRD.html. Acesso em 13 jun. 2014)

Com isso, apresente outro questionamento, dessa vez pessoal, para que instigue um pequeno debate:

 

Acoplados às rodas eles, os pneus, são a parte do carro que mantém contato direto com o solo. Você acredita que a troca para um conjunto para outro com diferentes características pode ser feita sem critério, ou seja, sem procurar um profissional capacitado para dar as instruções?

 

Ainda que discussões matemáticas não tenham sido estabelecidas com maior profundidade, espera-se que as discussões caminhem no sentido de que, até a troca de um modelo de pneu por outro, é uma situação que exige cautela, pois muda a configuração original do carro.

Continue com a seguinte pergunta:

 

Como a troca dos pneus pode gerar uma reconfiguração em outros dispositivos no carro?

 

Consideramos importante que o(a) professor(a) oportunize o espaço para o diálogo e verifique se algum dos(as) alunos(as) manifesta alguma experiência ocorrida com parentes ou conhecidos. O objetivo é observar se alguém já presenciou o fato de que trocar pneus ou rodas por outros com características diferentes tenha ocasionado a necessidade de fazer uma verificação e até recalibrar o velocímetro ou odômetro do carro. Caso isso ocorra, é uma ótima oportunidade para afunilar as discussões, por outro lado, se não acontecer, orientamos que o(a) docente continue a discussão citando a forma como a velocidade é exposta no velocímetro.

Segundo nossas pesquisas, os veículos podem exibir essas contagens através de um mecanismo analógico ou digital. No entanto, ambos se baseiam em componentes internos do automóvel, como engrenagens ou eixos. É possível que algum aluno(a) possa ter experiências com mecânica, nesse caso, cabe ao professor(a) criar um espaço na aula para que esse(a) estudante exponha seus conhecimentos a respeito. Se não for esse o caso, deixamos abaixo dois links que podem ser consultados previamente:

 

 

         Como funcionam os velocímetros?

Fonte: http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI123597-EI1426,00-Como+funcionam+os+velocimetros.html. Acesso 13 jun. 2014.

 

         Como funciona o velocímetro

Fonte: http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/como-funciona/8403-como-funciona-o-velocimetro-art1454. Acesso 13 jun. 2014.

 

 

Professor(a), posto que as aferições da velocidade e distância percorrida são baseadas em rotações de componentes internos do veículo, é o momento de retomar a troca dos pneus: 

 

E então, trocar os pneus por outro conjunto com diferentes características pode afetar os dados expostos pelo velocímetro ou no odômetro?

 

A resposta esperada nesse momento é que pode sim alterar, se a troca for feita para pneus com altura diferente. Se um comentário como esse surgir é um indício de que o estudante pode ter percebido uma relação da forma como o velocímetro ou o odômetro funcionam, com o comprimento da circunferência formada pelo pneu.

Independentemente do tipo de resposta obtida, sugerimos ao professor(a) que forme grupos com os alunos para simular um eixo com dois pneus. Intervenha a partir de um desenho ou exemplo prático com um carrinho de brinquedo, mostrando que um determinado número de giros do eixo ao qual um par de rodas está preso ocasiona outros giros no conjunto roda + pneu.

Professor(a), nesse momento indique a situação problema:

 

Como expor um processo lógico para verificar a velocidade do carro?

 

Instigue os(as) alunos(as) a refletirem sobre a rotação do eixo que, concêntrico com a roda, torna um giro completo da roda, também um giro completo do eixo. Esse conjunto sai de fábrica calibrado para o mecanismo interno aferir a velocidade com base na quantidade de giros do eixo. Esse pode ser o conjunto lógico para se trabalhar com os(as) estudantes.

Posto isso, vamos calcular o comprimento do pneu da figura 1, para posteriormente simular uma troca e verificar a diferença que pode ser causada durante a verificação da velocidade.

 

Considerando a imagem exposta, calcule a distância percorrida pelo veículo quando o pneu do mesmo completa uma volta.

 

O aro 16, segundo a imagem, corresponde ao diâmetro interno do pneu em polegadas. Considerando que uma polegada equivale a 2,54 cm temos o aro de 16 x 2,54 cm = 40,64 cm. Portanto, o raio da roda, ou raio interno do pneu é de (40,64 cm)/2 = 20,32 cm. No entanto, essa não é a medida final para o raio que se utiliza no cálculo do comprimento, pois é necessário considerar também a altura do pneu, calculada no início da aula, a partir da identificação do conjunto de letras e números que expõem as características do modelo de pneu. Logo, temos o raio de 20,32 cm + 10,72 cm = 31,04 cm.

Consequentemente o comprimento do pneu é  2 x π x 31,04 = 194,93 cm (considerando π  como 3,14), ou cerca de 1,94 m.

Baseados nessas considerações, isso significa que o velocímetro está calibrado para contabilizar o tempo que o eixo completa um giro ou, nesse caso, o tempo que o veículo leva para percorrer 1,94 m e expor na forma de velocidade, isto é, a variação do espaço dividida pela variação do tempo.

 

OBSERVAÇÃO: A calibragem do sistema que afere a velocidade ou a quilometragem deixa fixo o comprimento do pneu.

 

COMENTÁRIO: Apesar de não aprofundarmos no assunto, consideramos aqui uma situação em que, o velocímetro exibe a velocidade média em um curto intervalo de tempo, o que resulta em uma velocidade instantânea.

 

Antes de continuar, leve os(as) alunos(as) a refletirem sobre o número de voltas dadas por um pneu ao percorrer uma distância de 1 km. Como 1 km é constituído por 1000 m, espera-se que os(as) estudantes considerem que o número de voltas dadas, nesse quilômetro, pelo pneu é 1000/1,94 = 515,46 voltas. Se necessário, esquematize esse raciocínio, para um valor menor como, por exemplo, 10 metros.

 

Professor(a), as considerações acima subsidiam a questão problematizadora dessa aula. Entendemos que esse é o momento para retomá-la com os estudantes, da seguinte maneira:

 

Se considerarmos outro pneu com 1 cm a menos de altura, como podemos descrever as consequências dessa diferença no velocímetro?

 

Teremos o raio de 20,32 cm + 9,72 cm = 30,04 cm e, consequentemente, o comprimento do pneu é 2 x π x 30,04 = 188,65 cm (considerando π  como 3,14) ou cerca de 1,89 m. Uma diferença de 0,05 m por volta do pneu. Considerando 1 km de distância percorrida, temos 1000/1,89 = 529,1 voltas, ou seja, uma diferença de 13,64 voltas a mais do que na configuração anterior. No entanto, para o sistema do carro, que supomos não ter sido reconfigurado, a quantidade de voltas permanece a mesma.

 

Pergunte:

 

Considerando um veículo com o pneu de 1 cm a menos de altura e que o velocímetro não foi calibrado após a troca, esse equipamento irá apresentar uma velocidade superior ou inferior a real?

 

A resposta esperada é de que a velocidade apresentada continua baseada no eixo e que, sem a nova configuração, o padrão é que ao manter a mesma quantidade de rotações e intervalo de tempo a quantidade de rotações da roda, ou ainda, a distância percorrida permaneça a mesma. No entanto, o que acontece é que a distância percorrida é menor, tornando o resultado da divisão para o cálculo da velocidade também um número menor. Portanto a velocidade real é menor do que aquela apresentada no velocímetro.

 

Quais consequências isso pode gerar?

 

No mínimo o desgaste inadequado de peças e multas por trafegar abaixo da velocidade permitida por lei. No entanto, as consequências podem ser ainda mais desastrosas, a falta de configuração adequada dos equipamentos pode contribuir para acidentes no trânsito.

 

Considerando que o motor trabalhe da mesma forma, ou seja, que o eixo gire a mesma quantidade de vezes (515,46 voltas por km). Para a segunda configuração, quantos quilômetros seriam percorridos de fato, ao trocar os pneus?

 

Temos então as 515,46 voltas multiplicadas pelo comprimento de 1,89 m (comprimento do pneu com 1 cm a menos de altura). O resultado é 974, 2 metros aproximadamente. Para encerrar, questione:

 

O que todas essas considerações podem nos levar a concluir?

 

Resposta esperada: Duas considerações são básicas: a primeira é que apenas 1 cm de diferença na altura do pneu causa diferença nos números expostos no odômetro, nesse caso, o equipamento irá mostrar um valor superior àquele da realidade. A segunda é que a diferença na altura do pneu influência também na velocidade exposta no velocímetro. Essas duas considerações concentram as ideias dessa aula.

 

Esperamos que com essas discussões os(as) estudantes possam refletir sobre a importância dos detalhes envolvendo a segurança de um veículo, bem como constatar que há importantes relações entre conteúdos matemáticos e o cotidiano.

Entenda o significado da numeração dos pneus

http://www.youtube.com/watch?v=R2WleI0H81I. Acesso 13 jun. 2014.

Feita de maneira continua ao longo da aula, a avaliação deve envolver a participação dos(as)alunos(as). Há também a possibilidade de que o(a) professor(a) solicite que os(as) alunos(as) registrem os cálculos e escrevam uma síntese das discussões. Posteriormente, uma questão com o tema pode ser parte de uma avaliação quantitativa.