Esta aula busca desenvolver as competências das áreas 2 e 3 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que são respectivamente:

 

• Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
• Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

 

Mais especificamente, desenvolver as habilidades de:

 

• Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8).
• Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas (H12).

 

Para isto são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• Identificar partes de uma bicicleta;
• Calcular comprimento do conjunto roda + pneu;
• Construir relações entre configurações de marchas na bicicleta;
• Construir relações entre pedaladas e comprimento percorrido pela roda;
• Estudar algumas circunferências presentes na bicicleta.

2 horas/aula de 50 minutos

• Regra de três simples;
• Comprimento da circunferência: conceito e cálculo.

Além dos recursos geralmente presentes em sala de aula, como a lousa, serão necessárias réguas, ou trena, fita adesiva e, caso seja possível, um projetor, um computador e uma bicicleta com marchas.

 

 

 A aula

 

Professor(a), quando for planejar essa aula, considere a possibilidade de torná-la totalmente experimental em ambiente externo à sala de aula, como por exemplo, na quadra de esportes da escola. Caso opte por esse caminho, desconsidere as projeções de imagens que sugerimos e providencie um cavalete e papel adequado para que se possa substituir a lousa.

 

Professor(a) inicie a aula perguntado aos alunos(as) qual deles(as) possui uma bicicleta ou já se andou em uma. Certamente vários irão afirmar que já tiveram a experiência.

 

Questione então sobre as partes de uma bicicleta, os nomes e as utilidades de cada uma, deixe os(as) alunos(as) se manifestarem. Sugerimos que projete a imagem de uma bicicleta na lousa e solicite aos estudantes que escrevam os nomes ditos durante a discussão. Caso não seja possível, um caminho semelhante é entregar a eles(as) folhas com uma imagem de uma bicicleta e solicitar que façam as anotações durante a aula. A figura 1 pode ser usada como referência.

 

 

Figura 1: Nome das partes de uma bicicleta

Fonte: http://comerrezarepedalar.files.wordpress.com/2012/05/partes-bike.jpg. Acesso 13 jun. 2014.

 

 

Caso tenha optado pela aula em ambiente externo à sala, pode ser interessante conseguir mais de uma bicicleta - os(as) próprios alunos(as) podem ajudar nisso – para que o uso da folha seja totalmente substituído pelo olhar direto ao objeto.

O objetivo dessa aula é estudar algumas circunferências presentes na bicicleta, bem como as relações entre elas. Para tanto, se possível, leve uma bicicleta para a sala de aula e a posicione com o banco e guidão para baixo. Desta forma, questione:

 

Quais das partes da bicicleta possui formato de circunferência?

 

As respostas certamente serão imediatas mediante a discussão que iniciou a aula. Então questione sobre as rodas:

 

Alguém sabe o que é aro?

 

Deixe que os alunos formulem em conjunto sua definição.

 

COMENTÁRIO: Aro, segundo um dicionário online consultado, significa “Cada uma das peças de metal em forma de anel, ou presas pela extremidade, que formam uma corrente. Pequeno círculo de metal ou madeira. Argola. Círculo metálico que envolve uma roda de veículo. Círculo metálico a que se adapta o pneumático dos veículos automóveis”. Disponível em: http://www.dicio.com.br/aro/ (Acesso 13 jun. 2014).

 

Na prática, no caso das bicicletas, o aro é entendido enquanto a medida do diâmetro do conjunto roda + pneu, em polegadas, observe a figura 2. Vale lembrar que, cada polegada equivale a 2,54 cm.

 

 

Figura 2: Diâmetro da roda

Fonte: http://www.escoladebicicleta.com.br/georodagem.jpg. Acesso 13 jun. 2014

 

 

Professor(a), apresente mais um questionamento:

 

Quem consegue estimar qual o aro dessa bicicleta que temos aqui?

 

Deixe que os(as) alunos(as) palpitem e anote os “palpites” na lousa (ou no painel de papel) e, em seguida, peça-lhes que verifiquem as estimativas. Para isso, solicite-lhes que meçam com a régua (ou trena) o diâmetro e que concluam com a divisão: (medida do diâmetro em cm)/2,54.

 

COMENTÁRIO: Ao final exponha a medida exposta pelo fabricante, compare juntamente aos alunos(as) com as estimativas, para modelo, aproprie-se do resultado mais próximo à medida relatada pelo fabricante.

 

Para que possamos continuar o raciocínio nessa aula, tomaremos agora como base para nossos exemplos, um aro de 26 polegadas, no entanto, em sala, continue com as medidas verificadas.

A pergunta seguinte consiste em relacionar o aro com o comprimento, portanto questione:

 

Quando o pneu da bicicleta der uma volta completa, qual a distância percorrida?

 

Professor, na prática, com a possibilidade de estar com a bicicleta presente em sala, faça uma marca no pneu, coloque a bicicleta novamente em posição normal e com o auxílio de alguns alunos(as) a empurre até que a marca no pneu volte a posição inicial, marque no chão esses dois pontos com fita adesiva (posição inicial e final). Solicite a outro(a) estudante que meça a distância entre as marcações. Por fim deixe esse registro na lousa (ou no painel de papel) e volte a bicicleta para a posição anterior, ou seja, com banco e guidão apoiados em alguma superfície.

Nesse momento, solicite:

 

Com a medida que encontramos para p diâmetro e utilizando a fórmula para calcular o comprimento da circunferência, compare o valor que acabamos de registrar com o resultado da fórmula.

OBSERVAÇÃO: Considere π = 3,14

 

 

Como estamos considerando o diâmetro de 26 polegadas, temos um raio de 13 polegadas que equivale a 33,02 cm e, portanto, o comprimento igual a 2 x 3,14 x 33,02 cm que resulta em aproximadamente 207 cm, ou ainda, 2,07 m.

Debata as possíveis diferenças entre os resultados, ressaltando o caráter de aproximação tanto a partir do uso da fórmula, quanto na medição.

Feito isso, vamos continuar para o próximo conjunto de questionamentos, envolvendo a quantidade de pedaladas e a distância percorrida quando se utiliza uma determinada marcha. Para isso, conduza o assunto da roda para as coroas. A quantidade de coroas junto ao pedal e à roda de trás determinam a quantidade de marchas a bicicleta possui. Então pergunte sobre isso, para verificar o que os(as) alunos(as) sabem a respeito.

 

 

 

Figura 3: Coroas dianteiras

Fonte: http://www.kfbikes.com.br/imagens/produtos/pro2255.jpg . Acesso17 jun. 2014.

 

 

Como determinamos a quantidade de marchas a bicicleta possui?

 

O que se espera é que possam concluir coletivamente que basta multiplicar a quantidade de coroas junto ao pedal, com a quantidade de coroas junto à roda de trás. Dito isso, continue as indagações no sentido de entender como funcionam as marchas, qual a configuração ideal, etc.

 

Alguém poderia me explicar como funcionam as marchas? Qual a configuração que você mais utiliza?

 

Nesse momento o que se espera é que comecem a discutir entre marchas mais “pesadas” e mais “leves” apropriadas para terrenos com diferentes inclinações e que “rendem mais” ou “rendem menos” a cada pedalada.

 

COMENTÁRIO: Professor(a), toda a discussão até o momento é estruturada para que esse questionamento seja feito, pois, a relação entre as circunferências começa a ser construído com eles, portanto, dê espaço e atenção ao debate dos(as) alunos(as) nessa etapa.

 

A partir daí, chame a atenção dos alunos para a bicicleta e, com as mãos, comece a girar o pedal e discuta todo esse movimento, dos pedais, coroa, corrente, coroa da roda de trás e, finalmente a roda. Esse é o conjunto de movimentos nos quais as relações se verificam. Proponha aos estudantes um estudo sobre esse conjunto, desconsiderando a força que se faz para que ele funcione em determinada marcha.

Professor(a) continue girando os pedais e questione:

 

Como poderíamos pensar um procedimento para que possamos saber o quanto a roda gira quando damos uma pedalada em uma determinada marcha?

 

Nesse momento, os comentários podem ser variados. O importante é convergir para a ideia de que o movimento da coroa junto aos pedais (onde a pedalada será contabilizada) transfere, por meio da corrente, o giro para a coroa da roda de trás, que é concêntrica com a roda. No entanto, os diâmetros das coroas não são iguais, logo quando a coroa da frente faz um giro completo, a de trás poderá fazer um giro maior ou menor. Essa mesma característica não pode ser “transferida” para o conjunto coroa da roda de trás com a própria roda, pois as mesmas são concêntricas e fixas em um mesmo eixo, ou seja, quando uma efetua um giro completo, a outra também o faz.

 

COMENTÁRIO: Cada um desses dois pontos deve ser discutido e ilustrado na bicicleta simultaneamente.

 

Com esse entendimento, continue com mais uma questão.

 

Observando o tamanho das coroas, sempre que uma pedalada for dada por completo, independentemente da configuração da marcha para a coroa dianteira, a coroa da roda de trás irá girar mais ou menos que uma vez?

 

Para esse questionamento esperamos que os(as) alunos percebam que pelo fato da coroa da frente possuir comprimento maior que a de trás, uma volta da primeira implicará em mais de uma volta da segunda. No entanto, é preciso formalizar isso, para tanto, voltamos ao cálculo do comprimento da circunferência. Formalize então a situação-problema:

 

Considerando o que vimos até agora, determine quantas vezes a menor das coroas da roda de trás irá girar ao se dar uma pedalada com a marcha configurada para a maior coroa da frente.

 

É preciso medir o os diâmetros ou raios das duas coroas, calcular seus respectivos comprimentos e dividi-los. Por exemplo, caso o diâmetro da coroa dianteira for o dobro do diâmetro da coroa traseira, enquanto a coroa dianteira completa uma volta a coroa traseira completará duas voltas.

 

COMENTÁRIO: Solicite o registro desses cálculos de forma organizada, pois serão úteis para a avaliação.

 

Com os cálculos efetuados e os comentários a respeito das respostas encontradas, encaminhe para uma maneira de generalizar esse procedimento.

 

Supondo “R” como o raio da coroa da frente e “r” o raio da coroa da roda de trás, como podemos escrever a quantidade de giros da coroa de trás relacionando à quantidade de giros da coroa da frente?

 

Para isso basta dividirmos o comprimento de ambas, da maneira como sugerida no questionamento anterior.

 

 

Essa divisão resulta em quantas vezes o comprimento da circunferência da coroa menor cabe no comprimento da circunferência da coroa maior. No entanto podemos observar algumas simplificações, resultando na divisão R/r.

Professor(a), estabelecida essa ideia, retorne à bicicleta e confirme o que foi encontrado a partir de um giro com o pedal. Posteriormente relembre que a coroa de trás é concêntrica à roda e, portanto, quando uma gira completamente a outra também o faz. A partir daí estabeleça o seguinte desafio:

 

“Considerando a configuração de marchas anterior, qual a distância que a roda irá percorrer quando for dada uma pedalada?”

 

Essa é a conclusão da aula: espera-se que se com 1 giro da coroa da frente a coroa de trás faça “G” giros (relativo aos raios inicialmente medidos), esses “G” giros sejam transferidos para a roda. Portanto teremos G giros multiplicados pelo comprimento do conjunto roda + pneu, inicialmente encontrado.

 

Com isso esperamos que os(as) alunos(as) tenham aumentado seus conhecimentos sobre as relações que podem ser estabelecidas entre circunferências. Além disso, que possam ter visualizado o estreitamento entre os cálculos e fórmulas matemáticas com suas próprias realidades.

Como medir una rueda de bicileta

http://es.wikihow.com/medir-una-rueda-de-bicicleta. Acesso 13 jun. 2014.

 

Escola de bicicleta

http://www.escoladebicicleta.com.br/. Acesso 13 jun. 2014.

Avaliação

Feita de maneira continua ao longo da aula, a avaliação deve envolver a participação dos(as) alunos(as). O(a) professor(a) deve recolher os registros dos cálculos, inclusive do desafio.