20/06/2014
Lara Martins Barbosa, Antomar Araújo Ferreira e Angela Cristina dos Santos
Modalidad / Nivel de Enseñanza | Disciplina | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Geometria |
A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22) são propostos para esta aula os seguintes objetivos:
· Resolver graficamente inequações.
· Visualizar a solução de uma inequação de várias maneiras.
· Resolução de equações e inequações.
· Função afim.
· Função Quadrática
· Plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.
· Noções básicas da utilização do software GeoGebra.
Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, encontrar a solução de inequações geometricamente.
Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.
Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 nov. 2013. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 nov. 2013.
Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.
O software GeoGebra – Apresentação:
Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.
Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra
Fonte: Arquivo da autora
A AULA
Professor (a), para essa aula, espera-se que os alunos já saibam resolver uma inequação com facilidade. Antes de iniciar, sugiro que acesse a aula Inequações do 1º grau com uma incógnita,disponível no Portal do Professor em <http://migre.me/jTGk8>. Acesso em 09 jun. 2014.
Para iniciar a aula, proponha uma discussão, sobre como seria a resolução gráfica de inequações. Ressalte que a visualização fornecida pelos gráficos facilita na observação da solução e, junto com a resolução algébrica, contribui para uma compreensão mais completa na resolução de inequações.
Comentário: Nessa proposta de aula trabalharemos alguns exemplos específicos de inequações. Porém, o professor(a) pode adaptá-las de acordo com as inequações que deseja propor aos seus alunos.
1. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 5 + 3x < 11
Professor (a), inicialmente, solicite aos alunos que resolvam algebricamente em uma folha de papel a inequação 5 + 3x < 11. Eles devem concluir que sua solução é um valor x pertencente aos reais tal que x < 2.
Logo após, solicite que digitem no campo entrada do software GeoGebra, a inequação 5 + 3x < 11. Automaticamente, o software trará a solução (figura 2).
Figura 2 – Solução da inequação 5 + 3x < 11
Arquivo da autora
Proponha as seguintes questões:
· Qual o significado da região pintada de azul pelo GeoGebra?
· O que você observou em relação a solução algébrica que você encontrou, com a solução apresentada pelo GeoGebra?
Padrão de resposta esperado:
“A região pintada em azul pelo GeoGebra é a solução da inequação 5 + 3x < 11. Nessa inequação, x pertence aos reais tal que x < 2, que é a mesma solução encontrada quando resolvemos o problema algebricamente”.
2. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 5 < 2x + 7 < 13
Neste exemplo, deve-se ressaltar que são inequações simultâneas, neste caso a solução deve atender as duas ao mesmo tempo.
Solicite aos alunos que encontrem a solução algébrica dessa inequação em uma folha de papel e posteriormente a encontre no GeoGebra.
Padrão de resposta esperado:
“Nesse caso, teremos que dividir a inequação simultânea em duas novas inequações/situações, quando 5 < 2x +7 e quando 2x + 7 < 13. Algebricamente, deve-se resolver as duas inequações separadamente e encontrar o valor de x que as satisfaça simultaneamente. Assim, temos que, x > -1 e x < 3. Já no GeoGebra, deve-se desenhar graficamente essas duas situações (figura 3 e 4) e encontrar a interseção das soluções, (figura 5). Assim, a solução será -1 < x < 3”.
Figura 3 – Solução da inequação 5 < 2x + 7
Fonte: Arquivo da autora
Figura 4 – Solução da inequação 2x + 7 < 13
Fonte: Arquivo da autora
Figura 5 – Solução da inequação 5 < 2x + 7 < 13
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: O GeoGebra resolve a inequação sem precisar dividi-la em dois casos, pode-se utilizar o conectivo ∧(e) da seguinte forma: 5 < 2x + 7 ∧ 2x + 7 < 13 (figura 6) ou simplesmente digitar no campo entrada a inequação completa 5 < 2x + 7 < 13.
Figura 6 – Solução direta da inequação 5 < 2x + 7 < 13
Fonte: Arquivo da autora
3. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 2x + 1 < 3 - x < 3x + 5
Novamente, solicite aos alunos que encontrem a solução algébrica dessa inequação em uma folha de papel e posteriormente a encontre no GeoGebra.
Padrão de resposta esperado:
“Nesse caso, também teremos que dividir a inequação simultânea em duas novas inequações/situações, quando 2x + 1 < 3 – x, e quando 3 - x < 3x + 5. Algebricamente encontramos que x < 2/3 e x > -1/2. No GeoGebra, pode-se desenhar o gráfico dessas duas situações e encontrar a solução na interseção. Porém, é mais simples digitar a inequação completa no campo de entrada, que o software automaticamente utilizará o conectivo ∧ e apresentará a solução graficamente (Figura 7)”.
Figura 7 – Solução direta da inequação 2x + 1 < 3 - x < 3x + 5
Fonte: Arquivo da autora
4. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: x⊃2; < 5x - 6
Esse exemplo pode ser resolvido como o anterior. Porém, proponha aos alunos que façam o processo inverso, isto é, que primeiro encontrem a solução direta no GeoGebra e depois a solução algébrica, no caderno. Além disso, ao usar o GeoGebra, peça-lhes que utilizem a entrada x⊃2; - 5x + 6 < 0 (Figura 8) para desenhar a função f(x) = x⊃2; – 5x + 6 e destacar suas raízes (Figura 9) e, em seguida, que desenhem os gráficos das funções x⊃2; e 5x - 6, separadamente, encontrando a interseção entre elas (figura 10).
Figura 8 – Solução da inequação x⊃2; - 5x + 6 < 0
Fonte: Arquivo da autora
Figura 9 – Raízes da função f(x) = x⊃2; – 5x + 6
Fonte: Arquivo da autora
Figura 10 – Solução da inequação x⊃2; < 5x – 6 separadamente
Fonte: Arquivo da autora
Promova uma conversa entre os alunos analisando qual seria a relação entre essas quatro formas de encontrar a solução de inequações desse tipo.
Padrão de resposta esperado:
“Tem-se que, quando desenhamos os gráficos de cada lado da inequação e encontramos suas interseções, estamos resolvendo a inequação geometricamente, já nos outros casos, estamos indiretamente/diretamente resolvendo algebricamente, uma vez que manipulamos a inequação. O software GeoGebra pode ser utilizado sempre que desejarmos conferir os resultados ”.
5. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: x⊃2; + 1 < 3x - 1
Como nos exemplos anteriores, proponha que os alunos encontrem a solução dessa inequação no GeoGebra e algebricamente em uma folha de papel.
Padrão de resposta esperado:
“Nesse caso, teremos apenas uma situação, x⊃2; + 1 < 3x – 1. Como trata de uma função do 2º grau sendo comparada com uma função do 1º grau, devemos encontrar o gráfico de ambas e analisar suas interseções. Assim, a solução será 1 < x < 2 (figura 11). Sobre a solução algébrica, devemos encontra um x que satisfaça a inequação do 2º grau x⊃2; - 3x + 2 < 0, que pode ser resolvida encontrando as raízes da equação x⊃2; - 3x + 2 = 0”.
Figura 11 – Solução da inequação x⊃2; + 1 < 3x - 1
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: O GeoGebra também resolve inequações desse tipo sem precisar encontrar o gráfico de ambas. Porém, mostra apenas a solução desejada, não a interpretando geometricamente (figura 12).
Figura 12 – Solução direta da inequação x⊃2; + 1 < 3x - 1
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: Professor (a), em inequações desse tipo discuta com seus alunos como seria a resolução algébrica dessa inequação. No caso, se deve resolver a inequação x⊃2; - 3x + 2 < 0, encontrando a mesma solução 1 < x < 2, veja o gráfico a seguir (figura 13):
Figura 13 – Solução da inequação x⊃2; - 3x + 2 < 0
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: Observe que o GeoGebra apresenta a solução da mesma forma como a apresentada na inequação x⊃2; + 1 < 3x – 1 (Figura 12).
DESAFIO:
Proponha aos alunos que encontrem as soluções geométricas da desigualdade ax⊃2; + bx - c < ax + b, em que os valores de a, b e c são controles deslizantes com intervalos de -3 a 3 e incremento 1. Nessas condições, deve-se alterar os valores de a, b e c e observar as diversas soluções apresentadas pelo GeoGebra. Um exemplo é apresentado na Figura 14, em que os valores de a, b e c são -1, 1 e 3, respectivamente.
Figura 14 – Solução da inequação (-x)⊃2; + x - 3 < -x + 1
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: Professor (a), peça aos alunos que registrem essas soluções separadamente e salvem as imagens em um arquivo do Word.
Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.
É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 10 jun. 2014.
O GeoGebra também resolve inequações, que não foram exemplificadas nessa aula, com expoentes maiores, explore o GeoGebra e veja a facilidade de encontrar soluções de inequações com outras características.
Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se, que o professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. É interessante que a atividade avaliativa seja aplicada na sala de informática. Além disso, as construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, assim, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.
Referências
BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.
______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.
ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 12 ago. 2013.
Quatro estrelas 2 calificaciones
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03/06/2015
Cinco estrelasMuito bom!!
24/06/2014
Três estrelasAchei bem interessante.