A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22) são propostos para esta aula os seguintes objetivos:

·         Resolver graficamente inequações.

·         Visualizar a solução de uma inequação de várias maneiras.

·         Resolução de equações e inequações.

·         Função afim.

·         Função Quadrática

·         Plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.

·         Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, encontrar a solução de inequações geometricamente.

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 nov. 2013. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 nov. 2013.

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra – Apresentação:

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra

Fonte: Arquivo da autora

A AULA

Professor (a), para essa aula, espera-se que os alunos já saibam resolver uma inequação com facilidade. Antes de iniciar, sugiro que acesse a aula Inequações do 1º grau com uma incógnita,disponível no Portal do Professor em <http://migre.me/jTGk8>. Acesso em 09 jun. 2014.

Para iniciar a aula, proponha uma discussão, sobre como seria a resolução gráfica de inequações. Ressalte que a visualização fornecida pelos gráficos facilita na observação da solução e, junto com a resolução algébrica, contribui para uma compreensão mais completa na resolução de inequações.

Comentário: Nessa proposta de aula trabalharemos alguns exemplos específicos de inequações. Porém, o professor(a) pode adaptá-las de acordo com as inequações que deseja propor aos seus alunos.

1.   RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 5 + 3x < 11

Professor (a), inicialmente, solicite aos alunos que resolvam algebricamente em uma folha de papel a inequação 5 + 3x  < 11. Eles devem concluir que sua solução é um valor x pertencente aos reais tal que x < 2.

Logo após, solicite que digitem no campo entrada do software GeoGebra, a inequação 5 + 3x < 11. Automaticamente, o software trará a solução (figura 2).

Figura 2 – Solução da inequação 5 + 3x < 11

Arquivo da autora

Proponha as seguintes questões:

·   Qual o significado da região pintada de azul pelo GeoGebra?

·   O que você observou em relação a solução algébrica que você encontrou, com a solução apresentada pelo GeoGebra?

Padrão de resposta esperado:

“A região pintada em azul pelo GeoGebra é a solução da inequação 5 + 3x < 11. Nessa inequação, x pertence aos reais tal que x < 2, que é a mesma solução encontrada quando resolvemos o problema algebricamente”.

2.   RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 5 < 2x + 7 < 13

Neste exemplo, deve-se ressaltar que são inequações simultâneas, neste caso a solução deve atender as duas ao mesmo tempo.

Solicite aos alunos que encontrem a solução algébrica dessa inequação em uma folha de papel e posteriormente a encontre no GeoGebra.

Padrão de resposta esperado:

“Nesse caso, teremos que dividir a inequação simultânea em duas novas inequações/situações, quando 5 < 2x +7 e quando 2x + 7 < 13. Algebricamente, deve-se resolver as duas inequações separadamente e encontrar o valor de x que as satisfaça simultaneamente. Assim, temos que, x > -1 e x < 3. Já no GeoGebra, deve-se desenhar graficamente essas duas situações (figura 3 e 4) e encontrar a interseção das soluções, (figura 5). Assim, a solução será -1 < x < 3”.

Figura 3 – Solução da inequação 5 < 2x + 7

Fonte: Arquivo da autora

Figura 4 – Solução da inequação 2x + 7 < 13

Fonte: Arquivo da autora

Fonte: Arquivo da autora

Comentário: O GeoGebra resolve a inequação sem precisar dividi-la em dois casos, pode-se utilizar o conectivo ∧(e) da seguinte forma: 5 < 2x + 7  ∧  2x + 7 < 13 (figura 6) ou simplesmente digitar no campo entrada a inequação completa 5 < 2x + 7 < 13.

Figura 6 – Solução direta da inequação 5 < 2x + 7 < 13

Fonte: Arquivo da autora

3.      RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 2x + 1  < 3 - x < 3x + 5

Novamente, solicite aos alunos que encontrem a solução algébrica dessa inequação em uma folha de papel e posteriormente a encontre no GeoGebra. 

Padrão de resposta esperado:

“Nesse caso, também teremos que dividir a inequação simultânea em duas novas inequações/situações, quando 2x + 1 < 3 – x, e quando 3 - x < 3x + 5. Algebricamente encontramos que x < 2/3 e x > -1/2. No GeoGebra, pode-se desenhar o gráfico dessas duas situações e encontrar a solução na interseção. Porém, é mais simples digitar a inequação completa no campo de entrada, que o software automaticamente utilizará o conectivo ∧ e apresentará a solução graficamente (Figura 7)”.

Figura 7 – Solução direta da inequação 2x + 1  < 3 - x < 3x + 5

Fonte: Arquivo da autora

4.      RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: x⊃2;  < 5x - 6

Esse exemplo pode ser resolvido como o anterior. Porém, proponha aos alunos que façam o processo inverso, isto é, que primeiro encontrem a solução direta no GeoGebra e depois a solução algébrica, no caderno. Além disso, ao usar o GeoGebra, peça-lhes que utilizem a entrada x⊃2; - 5x + 6 < 0 (Figura 8) para desenhar a função f(x) = x⊃2; – 5x + 6 e destacar suas raízes (Figura 9) e, em seguida, que desenhem os gráficos das funções x⊃2; e 5x - 6, separadamente, encontrando a interseção entre elas (figura 10).

Figura 8 – Solução da inequação x⊃2; - 5x + 6 < 0

Fonte: Arquivo da autora

Figura 9 – Raízes da função f(x) = x⊃2; – 5x + 6

Fonte: Arquivo da autora

Figura 10 – Solução da inequação x⊃2;  < 5x – 6 separadamente

Fonte: Arquivo da autora

Promova uma conversa entre os alunos analisando qual seria a relação entre essas quatro formas de encontrar a solução de inequações desse tipo.

Padrão de resposta esperado:

“Tem-se que, quando desenhamos os gráficos de cada lado da inequação e encontramos suas interseções, estamos resolvendo a inequação geometricamente, já nos outros casos, estamos indiretamente/diretamente resolvendo algebricamente, uma vez que manipulamos a inequação. O software GeoGebra pode ser utilizado sempre que desejarmos conferir os resultados ”.

5.      RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: x⊃2; + 1 < 3x - 1

Como nos exemplos anteriores, proponha que os alunos encontrem a solução dessa inequação no GeoGebra e algebricamente em uma folha de papel.

Padrão de resposta esperado:

“Nesse caso, teremos apenas uma situação, x⊃2; + 1 < 3x – 1. Como trata de uma função do 2º grau sendo comparada com uma função do 1º grau, devemos encontrar o gráfico de ambas e analisar suas interseções. Assim, a solução será 1 < x < 2 (figura 11). Sobre a solução algébrica, devemos encontra um x que satisfaça a inequação do 2º grau             x⊃2; - 3x + 2 < 0, que pode ser resolvida encontrando as raízes da equação x⊃2; - 3x + 2 = 0”.

Figura 11 – Solução da inequação x⊃2; + 1 < 3x - 1

Fonte: Arquivo da autora

Comentário: O GeoGebra também resolve inequações desse tipo sem precisar encontrar o gráfico de ambas. Porém, mostra apenas a solução desejada, não a interpretando geometricamente (figura 12). 

Figura 12 – Solução direta da inequação x⊃2; + 1 < 3x - 1

Fonte: Arquivo da autora

Comentário: Professor (a), em inequações desse tipo discuta com seus alunos como seria a resolução algébrica dessa inequação. No caso, se deve resolver a inequação x⊃2; - 3x + 2 < 0, encontrando a mesma solução 1 < x < 2, veja o gráfico a seguir (figura 13):

Figura 13 – Solução da inequação x⊃2; - 3x + 2 < 0

Fonte: Arquivo da autora

Comentário: Observe que o GeoGebra apresenta a solução da mesma forma como a apresentada na inequação x⊃2; + 1 < 3x – 1 (Figura 12).

DESAFIO:

Proponha aos alunos que encontrem as soluções geométricas da desigualdade ax⊃2; + bx - c < ax + b, em que os valores de a, b e c são controles deslizantes com intervalos de -3 a 3 e incremento 1. Nessas condições, deve-se alterar os valores de a, b e c e observar as diversas soluções apresentadas pelo GeoGebra. Um exemplo é apresentado na Figura 14, em que os valores de a, b e c são -1, 1 e 3, respectivamente.

Figura 14 – Solução da inequação (-x)⊃2; + x - 3 < -x + 1

Fonte: Arquivo da autora

Comentário: Professor (a), peça aos alunos que registrem essas soluções separadamente e salvem as imagens em um arquivo do Word.

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 10 jun. 2014.

O GeoGebra também resolve inequações, que não foram exemplificadas nessa aula, com expoentes maiores, explore o GeoGebra e veja a facilidade de encontrar soluções de inequações com outras características.

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se, que o professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. É interessante que a atividade avaliativa seja aplicada na sala de informática. Além disso, as construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, assim, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

Referências

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

 ______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 12 ago. 2013.