A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8), são propostos para esta aula o seguinte objetivo:

 

• Demonstrar a Lei dos Cossenos via argumentos com áreas de figuras.

2 horas/aula de 50 minutos

• Características dos triângulos

• Área de quadrados e retângulos

• Definição do cosseno de um ângulo

• Relações trigonométricas em triângulos retângulos

• Lei dos Cossenos

• Noções básicas do Software GeoGebra

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para resolver o problema proposto.

 

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

 

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 jun. 2014. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 jun. 2014.

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O software GeoGebra – apresentação:

Nesta aula, a demonstração da fórmula da Lei dos Cossenos, será estudada com o auxílio do softwareGeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

 

Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra

Fonte: Arquivo da Autora

 

Um aspecto importante a ser evidenciado é alertado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM – (BRASIL, 1999), que afirmam que a inserção de computadores na sociedade em geral “exigirá do ensino de matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.” (p.252).

 

Tais orientações e sugestões levam-nos a pensar que a utilização de computadores no ensino de matemática pode desencadear uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Esse fato exige uma nova concepção e formação de professor, “que, longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional.” (BRASIL, 1998, p.44).

 

A LEI DOS COSSENOS...

 

A Lei dos Cossenos estabelece que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles, como pode ser visto na figura 2.

 

Figura 2 – Lei dos Cossenos

Fonte: Arquivo da Autora

 

DEMONSTRAÇÃO GEOMÉTRICA A PARTIR DE UM TRIÂNGULO ACUTÂNGULO.

 

Professor(a), inicialmente, solicite aos alunos que construam um triângulo acutângulo no GeoGebra e marque seus ângulos internos. Aproveite e pergunte quais são as propriedades de um triângulo acutângulo.

 

Padrão de resposta esperado:

“Triângulo acutângulo é todo triângulo que apresenta os três ângulos internos menores que 90º, ou seja, os três ângulos internos são agudos (figura 3)”.

 

Figura 3 – Triângulo acutângulo

Fonte: Arquivo da Autora

 

Comentário: Professor(a) a demonstração geométrica também pode ser feita com triângulos obtusângulos, porém optamos pelos triângulos acutângulo para facilitar a construção.

 

Solicite a construção dos três quadrados sobre os lados do triângulo ABC e das retas que passam pelos ponto A, B e C respectivamente perpendiculares aos seus lados opostos (figura 4).

 

Figura 4 – Construção dos três quadrados sobre os lados do triângulo ABC

Fonte: Arquivo da Autora

 

Levante as seguintes questões:

 

1)   O que podemos dizer se considerarmos apenas os segmentos que estão dentro do triângulo ABC?

Padrão de resposta esperado:

“Os segmentos que estão dentro do triângulo ABC são as alturas, pois a altura de um triângulo é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto”.

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de altura de um triângulo.

 

2)   O que podemos dizer sobre o ponto de interseção entre as retas traçadas?

Padrão de resposta esperado:

“O ponto de interseção das retas traçadas também é o ponto de interseção das três alturas do triângulo, esse ponto recebe o nome de ortocentro. No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo”.

 

Peça que observem que, quando foram traçadas, as retas dividiram os quadrados em dois retângulos. Solicite que destaquem os retângulos como na figura 5. Para isso, deve-se encontrar os pontos de interseção das retas com os quadrados e então construir os retângulos.

 

Figura 5 – Destacando os retângulos

Fonte: Arquivo da Autora

 

A próxima etapa é investigar como encontrar a medida dos lados desses retângulos. 

 

Levante as seguintes questões:

 

3)   Observando o triângulo AJB, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo AJB é retângulo em J”.

 

4)   Sabendo, então, que triângulo AJB é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em A e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado AJ?

Padrão de resposta esperado:

“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulos podemos concluir que o segmento AJ = AB.cos(α) . De fato, observe a figura 6, temos que o segmento AB mede c pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo, 

 

Figura 6 – Relações trigonométricas no triângulo AJB

Fonte: Arquivo da Autora

 

Comentário:Talvez seja necessário retomar a definição do cosseno de um ângulo.

 

5)   Observando o triângulo AMC, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo AMC é retângulo em M”.

 

6)   Sabendo, então, que triângulo AMC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em A e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado AM?

Padrão de resposta esperado:

“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento AM = AC.cos(α). De fato, observe a figura 7, temos que o segmento AC mede b pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,

 

 

Figura 7 – Relações trigonométricas no triângulo AMC

Fonte: Arquivo da Autora

 

7)   Após analisar esses dois triângulos, o que podemos dizer da área do retângulo rosa (AEKJ) e da área do retângulo amarelo (AHLM)?

Padrão de resposta esperado:

“A área do retângulo AEKJ é dada por b.c.cos(α), e a área do retângulo AHLM é dada por c.b.cos(α). Logo, os dois retângulos analisados são equivalentes, pois possuem a mesma área (figura 8)”. 

 

Comentário: Ressalte, nesse momento, com os alunos que a união desses dois retângulos tem como área o valor dado pela expressão: 2.b.c.cos(α).  

 

Figura 8 – Área dos retângulos AEKJ e AHLM

Fonte: Arquivo da Autora

 

Agora, devemos mostrar que o retângulo azul (CDKJ) é equivalente ao retângulo verde (CONG).

 

Levante as seguintes questões:

 

8)   Observando o triângulo BJC, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo BJC é retângulo em J”.

 

9)   Sabendo, então, que triângulo BJC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em C e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado JC?

Padrão de resposta esperado:

“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulos podemos concluir que o segmento JC = BC. cos(γ). De fato, observe a figura 9, temos que o segmento BC mede a pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo, 

 

Figura 9 – Relações trigonométricas no triângulo BJC

Fonte: Arquivo da Autora

 

10)    Observando o triângulo AOC, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo AOC é retângulo em O”.

 

11)    Sabendo, então, que triângulo AOC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em C e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado OC?

Padrão de resposta esperado:

“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento OC =  AC.cos(γ). De fato, observe a figura 10, temos que o segmento AC mede b pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo, 

 

Figura 10 – Relações trigonométricas no triângulo AOC

Fonte: Arquivo da Autora

 

12)    Após analisar esses dois triângulos, o que podemos dizer da área do retângulo azul (CDKJ) e da área do retângulo e verde (CONG)?

Padrão de resposta esperado:

“A área do retângulo CDKJ é dada por b.a.cos(γ), que equivale a área do retângulo CONG dada por c.a.cos(γ). Logo, os dois retângulos analisados são equivalentes, pois possuem a mesma área (figura 11)”.

 

Figura 11 – Área dos retângulos CDKJ e CONG

Fonte: Arquivo da Autora

 

Da mesma maneira devemos mostra que o triângulo laranja (BILM) é equivalente ao retângulo marrom (BONF)

 

Levante as seguintes questões:

 

13)    Observando o triângulo AOB, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo AOB é retângulo em O”.

 

14)    Sabendo, então, que triângulo AOB é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em B e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado OB?

Padrão de resposta esperado:

“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento OB = AB.cos(β). De fato, observe a figura 12, temos que o segmento AB mede c pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo, 

 

Figura 12 – Relações trigonométricas no triângulo AOB

Fonte: Arquivo da Autora

 

15)    Observando o triângulo BMC, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo BMC é retângulo em M”.

 

 

16)    Sabendo, então, que triângulo BMC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em B e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado BM?

Padrão de resposta esperado:

“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento BM = BC.cos(β). De fato, observe a figura 13, temos que o segmento BC mede a pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo, 

 

Figura 13 – Relações trigonométricas no triângulo AOC

Fonte: Arquivo da Autora

 

17)    Após analisar esses dois triângulos, o que podemos dizer da área do retângulo laranja (BILM) e da área do retângulo e marrom (BONF)?

Padrão de resposta esperado:

“A área do retângulo BILM é dada por c.a.cos(β), que equivale a área do retângulo BONF dada por c.a.cos(β). Logo, os dois retângulos analisados são equivalentes, pois possuem a mesma área (figura 14)”.

 

Figura 14 – Área dos retângulos BILM e BONF

Fonte: Arquivo da Autora

 

Para finalizar a aula os alunos devem deduzir a fórmula da Lei dos Cossenos geometricamente a partir da figura 15:

 

Figura 15 – Área dos retângulos

Fonte: Arquivo da Autora

 

Assim temos que para o ângulo α a área do quadrado verde é igual à soma das áreas dos quadrados azul e rosa menos duas vezes a área do retângulo amarelo.

 

 

Ou seja, 

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

 

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebra Tube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 14 jun. 2014.

 

BARBOSA, Lara Martins; BERTONE, Ana Maria Amarillo; MARCO, Fabiana Fiorezi de. GeoGebra e a lei dos cossenos sem palavras: uma nova prova cortando e pegando. In: Libro de Resúmenes del Congreso Latinoamericano de GeoGebra. Argentina, 2013. (p. 72).

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se que o (a) professor (a) considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. As construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, posteriormente, assim, o (a) professor (a) pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.