Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para resolver o problema proposto.

 

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

 

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 jun. 2014. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 jun. 2014.

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O software GeoGebra – Apresentação:

Nesta aula, a demonstração da fórmula da Lei dos Cossenos, será estudada com o auxílio do softwareGeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

 

Figura 1 – Apresentação do SoftwareGeoGebra

Fonte: Arquivo da Autora

 

Um aspecto importante a ser evidenciado é alertado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM – (BRASIL, 1999), que afirmam que a inserção de computadores na sociedade em geral “exigirá do ensino de matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.” (p.252).

 

Tais orientações e sugestões levam-nos a pensar que a utilização de computadores no ensino de matemática pode desencadear uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Esse fato exige uma nova concepção e formação de professor, “que, longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional.” (BRASIL, 1998, p.44).

 

A LEI DOS COSSENOS...

 

A Lei dos Cossenos estabelece que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles, como pode ser visto na figura 2.

 

Figura 2 – Lei dos Cossenos

Fonte: Arquivo da Autora

 

DEMONSTRAÇÃO GEOMÉTRICA A PARTIR DE UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO.

 

Professor(a), inicialmente, solicite aos alunos que construam um triângulo obtusângulo no GeoGebra e marque seus ângulos internos. Aproveite e pergunte quais são as propriedades de um triângulo obtusângulo.

 

Padrão de resposta esperado:

“Triângulo obtusângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo interno maior que 90º, ou seja, que possui um ângulo obtuso (figura 3)”.

 

Figura 3 – Triângulo obtusângulo

Fonte: Arquivo da Autora

 

Comentário: Professor(a) a demonstração geométrica também pode ser feita com triângulos acutângulos.

 

Solicite a construção dos três quadrados sobre os lados do triângulo ABC e das retas que passam pelos pontos A, B e C respectivamente perpendiculares aos seus lados opostos (figura 4).

 

Figura 4 – Construção dos três quadrados sobre os lados do triângulo ABC

Fonte: Arquivo da Autora

 

Levante as seguintes questões:

 

1)   O que podemos dizer dos segmentos de reta que passam pelos pontos A, B e C e são perpendiculares a cada lado do triângulo ABC respectivamente?

Padrão de resposta esperado:

“Os segmentos que passam pelos pontos A, B e C e são perpendiculares a cada lado do triângulo ABC são as alturas respectivas a cada lado desse triângulo, pois a altura de um triângulo é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto”.

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de altura de um triângulo.

 

2)   O que podemos dizer sobre o ponto de interseção entre as retas traçadas?

Padrão de resposta esperado:

“O ponto de interseção das retas traçadas também é o ponto de interseção do prolongamento das três alturas do triângulo, esse ponto recebe o nome de ortocentro. No triângulo obtusângulo, o ortocentro é externo ao triângulo”.

 

Solicite que os alunos criem a reta que passa pelos pontos B e C, a reta que passa pelos pontos F e G, a que passa pelos pontos A e B e a reta que passa pelos pontos H e I, como na figura 5.

 

Figura 5 – Traçando retas

Fonte: Arquivo da Autora

 

Peça que observem que quando foram traçadas a reta que passa pelos pontos B e C e a reta que passa pelos pontos F e G, elas se intersectaram com a reta que passa pelo ponto A. Já a reta que passa pelos pontos A e B e a reta que passa pelos pontos H e I se intersectaram com a reta que passa pelo ponto C. Solicite então que marquem esses pontos de interseção como na figura 6.

 

Figura 6 – Marcando as interseções

Fonte: Arquivo da Autora

 

Solicite que criem os retângulos BNOF e BIQP, e escondam as retas que foram criadas para marcar as interseções. Devem destacar também os dois retângulos que se formaram no quadrado de lado b quando traçada sua altura (figura 7).

 

Figura 7 – Construindo retângulos

Fonte: Arquivo da Autora

 

A próxima etapa é investigar como encontrar a medida dos lados desses retângulos. 

 

Levante as seguintes questões:

 

3)   Observando o triângulo BRC, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo BRC é retângulo em R”.

 

4)   Sabendo, então, que triângulo BRC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em C e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado RC?

Padrão de resposta esperado:

“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento  RC = BC.cos(γ). De fato, observe a figura 8, temos que o segmento BC mede a pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,

 

Figura 8 – Relações trigonométricas no triângulo BRC

Fonte: Arquivo da Autora

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição do cosseno de um ângulo.

 

5)   Observando o triângulo ANC, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo ANC é retângulo em N”.

 

6)   Sabendo, então, que triângulo BNC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em C e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado RC?

Padrão de resposta esperado:

“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento NC = AC.cos(γ). De fato, observe a figura 9, temos que o segmento AC mede b pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,

 

Figura 9 – Relações trigonométricas no triângulo ANC

Fonte: Arquivo da Autora

 

7)   Após analisar esses dois triângulos, o que podemos dizer da área do retângulo marrom (CDSR) e da área do retângulo CNOG (área do retângulo verde (CBFG) mais a área do retângulo rosa (BNOF))?

 

Padrão de resposta esperado:

“A área do retângulo CDSR é dada por b.a.cos(γ), e a área do retângulo CNOG é dada por a.b.cos(γ). Logo, os dois retângulos analisados são equivalentes, pois possuem a mesma área (figura 10)”.

 

Figura 10 – Área dos retângulos CDSRe CNOG

Fonte: Arquivo da Autora

 

Agora, devemos mostrar que o retângulo azul (ABIH) somado com o retângulo laranja (BPQI) é equivalente ao retângulo amarelo (AESR).

 

Levante as seguintes questões:

 

8)   Observando o triângulo APC, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo APC é retângulo em P”.

 

9)   Sabendo, então, que triângulo APC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em A e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado AP?

Padrão de resposta esperado:

Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento AP = AC.cos(α). De fato, observe a figura 11, temos que o segmento AC mede b pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,

 

Figura 11 – Relações trigonométricas no triângulo APC

Fonte: Arquivo da Autora

 

10)    Observando o triângulo ARB, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo ARB é retângulo em R”.

 

11)    Sabendo, então, que triângulo ARB é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em A e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado AR?

Padrão de resposta esperado:

“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento AR = AB.cos(α). De fato, observe a figura 12, temos que o segmento AB mede c pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,

 

Figura 12 – Relações trigonométricas no triângulo ARB

Fonte: Arquivo da Autora

 

12)    Após analisar esses dois triângulos, o que podemos dizer da área do retângulo amarelo (AESR) e da área do retângulo APQH (área do retângulo azul (ABIH) mais a área do retângulo laranja (BPQI))?

Padrão de resposta esperado:

“A área do retângulo AESR é dada por b.c.cos(α), que equivale a área do retângulo APQH dada por c.b.cos(α). Logo, os dois retângulos analisados são equivalentes, pois possuem a mesma área (figura 13)”.

 

Figura 13 – Área dos retângulos AESR e APQH

Fonte: Arquivo da Autora

 

Para finalizar, devemos mostrar que área do retângulo laranja (BPQI) é equivalente à área do retângulo rosa (BNOF)

 

Levante as seguintes questões:

 

13)    Observando os triângulosANC e ANB, o que podemos dizer sobre eles?

Padrão de resposta esperado:

“Os triângulos ANC e ANB são retângulos em N.

 

14)    Sabendo, então, que triângulo ANB é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em B e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado NB?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo ANB é retângulo em N e o ângulo com vértice em B vale 180° - β. Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento NB = AB.cos(180° - β). De fato, observe a figura 14, temos que o segmento AB mede c pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,

 

Figura 14 – Relações trigonométricas no triângulo ANB

Fonte: Arquivo da Autora

 

15)  Observando o triângulo CPB, o que podemos dizer sobre ele?

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo CPB é retângulo em P”.

 

16)    Sabendo, então, que triângulo CPB é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em B e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado PB?

Padrão de resposta esperado:

“ Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento PB = CB.cos(180° - β). De fato, observe a figura 15, temos que o segmento CB mede a pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,

 

Figura 15 – Relações trigonométricas no triângulo CPB

Fonte: Arquivo da Autora

 

17)  Após analisar esses dois triângulos, o que podemos dizer da área do retângulo laranja (BPQI) e da área do retângulo e marrom (BNOF)?

Padrão de resposta esperado:

“A área do retângulo BPQI é dada por c.a.cos(180° - β), que equivale a área do retângulo BNOF dada por a.c.cos(180° - β). Logo, os dois retângulos analisados são equivalentes, pois possuem a mesma área. Assim, a união desses dois retângulos tem como área 2.a.c.cos(180° - β) (figura 16)”.

 

Figura 16 – Área dos retângulos BPQI e BNOF