21/07/2014
Lara Martins Barbosa, Antomar Araújo Ferreira e Angela Cristina dos Santos
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Álgebra/Geometria |
Ensino Médio | Matemática | Álgebra |
Ensino Médio | Matemática | Geometria |
A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8), é proposto para esta aula o seguinte objetivo:
Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para resolver o problema proposto.
Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.
Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 jun. 2014. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 jun. 2014.
Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.
O software GeoGebra – Apresentação:
Nesta aula, a demonstração da fórmula da Lei dos Cossenos, será estudada com o auxílio do softwareGeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.
Figura 1 – Apresentação do SoftwareGeoGebra
Fonte: Arquivo da Autora
Um aspecto importante a ser evidenciado é alertado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM – (BRASIL, 1999), que afirmam que a inserção de computadores na sociedade em geral “exigirá do ensino de matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.” (p.252).
Tais orientações e sugestões levam-nos a pensar que a utilização de computadores no ensino de matemática pode desencadear uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Esse fato exige uma nova concepção e formação de professor, “que, longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional.” (BRASIL, 1998, p.44).
A LEI DOS COSSENOS...
A Lei dos Cossenos estabelece que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles, como pode ser visto na figura 2.
Figura 2 – Lei dos Cossenos
Fonte: Arquivo da Autora
DEMONSTRAÇÃO GEOMÉTRICA A PARTIR DE UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO.
Professor(a), inicialmente, solicite aos alunos que construam um triângulo obtusângulo no GeoGebra e marque seus ângulos internos. Aproveite e pergunte quais são as propriedades de um triângulo obtusângulo.
Padrão de resposta esperado:
“Triângulo obtusângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo interno maior que 90º, ou seja, que possui um ângulo obtuso (figura 3)”.
Figura 3 – Triângulo obtusângulo
Fonte: Arquivo da Autora
Comentário: Professor(a) a demonstração geométrica também pode ser feita com triângulos acutângulos.
Solicite a construção dos três quadrados sobre os lados do triângulo ABC e das retas que passam pelos pontos A, B e C respectivamente perpendiculares aos seus lados opostos (figura 4).
Figura 4 – Construção dos três quadrados sobre os lados do triângulo ABC
Fonte: Arquivo da Autora
Levante as seguintes questões:
1) O que podemos dizer dos segmentos de reta que passam pelos pontos A, B e C e são perpendiculares a cada lado do triângulo ABC respectivamente?
Padrão de resposta esperado:
“Os segmentos que passam pelos pontos A, B e C e são perpendiculares a cada lado do triângulo ABC são as alturas respectivas a cada lado desse triângulo, pois a altura de um triângulo é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto”.
Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de altura de um triângulo.
2) O que podemos dizer sobre o ponto de interseção entre as retas traçadas?
Padrão de resposta esperado:
“O ponto de interseção das retas traçadas também é o ponto de interseção do prolongamento das três alturas do triângulo, esse ponto recebe o nome de ortocentro. No triângulo obtusângulo, o ortocentro é externo ao triângulo”.
Solicite que os alunos criem a reta que passa pelos pontos B e C, a reta que passa pelos pontos F e G, a que passa pelos pontos A e B e a reta que passa pelos pontos H e I, como na figura 5.
Figura 5 – Traçando retas
Fonte: Arquivo da Autora
Peça que observem que quando foram traçadas a reta que passa pelos pontos B e C e a reta que passa pelos pontos F e G, elas se intersectaram com a reta que passa pelo ponto A. Já a reta que passa pelos pontos A e B e a reta que passa pelos pontos H e I se intersectaram com a reta que passa pelo ponto C. Solicite então que marquem esses pontos de interseção como na figura 6.
Figura 6 – Marcando as interseções
Fonte: Arquivo da Autora
Solicite que criem os retângulos BNOF e BIQP, e escondam as retas que foram criadas para marcar as interseções. Devem destacar também os dois retângulos que se formaram no quadrado de lado b quando traçada sua altura (figura 7).
Figura 7 – Construindo retângulos
Fonte: Arquivo da Autora
A próxima etapa é investigar como encontrar a medida dos lados desses retângulos.
Levante as seguintes questões:
3) Observando o triângulo BRC, o que podemos dizer sobre ele?
Padrão de resposta esperado:
“O triângulo BRC é retângulo em R”.
4) Sabendo, então, que triângulo BRC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em C e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado RC?
Padrão de resposta esperado:
“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento RC = BC.cos(γ). De fato, observe a figura 8, temos que o segmento BC mede a pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,
Figura 8 – Relações trigonométricas no triângulo BRC
Fonte: Arquivo da Autora
Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição do cosseno de um ângulo.
5) Observando o triângulo ANC, o que podemos dizer sobre ele?
Padrão de resposta esperado:
“O triângulo ANC é retângulo em N”.
6) Sabendo, então, que triângulo BNC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em C e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado RC?
Padrão de resposta esperado:
“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento NC = AC.cos(γ). De fato, observe a figura 9, temos que o segmento AC mede b pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,
Figura 9 – Relações trigonométricas no triângulo ANC
Fonte: Arquivo da Autora
7) Após analisar esses dois triângulos, o que podemos dizer da área do retângulo marrom (CDSR) e da área do retângulo CNOG (área do retângulo verde (CBFG) mais a área do retângulo rosa (BNOF))?
Padrão de resposta esperado:
“A área do retângulo CDSR é dada por b.a.cos(γ), e a área do retângulo CNOG é dada por a.b.cos(γ). Logo, os dois retângulos analisados são equivalentes, pois possuem a mesma área (figura 10)”.
Figura 10 – Área dos retângulos CDSRe CNOG
Fonte: Arquivo da Autora
Agora, devemos mostrar que o retângulo azul (ABIH) somado com o retângulo laranja (BPQI) é equivalente ao retângulo amarelo (AESR).
Levante as seguintes questões:
8) Observando o triângulo APC, o que podemos dizer sobre ele?
Padrão de resposta esperado:
“O triângulo APC é retângulo em P”.
9) Sabendo, então, que triângulo APC é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em A e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado AP?
Padrão de resposta esperado:
Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento AP = AC.cos(α). De fato, observe a figura 11, temos que o segmento AC mede b pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,
Figura 11 – Relações trigonométricas no triângulo APC
Fonte: Arquivo da Autora
10) Observando o triângulo ARB, o que podemos dizer sobre ele?
Padrão de resposta esperado:
“O triângulo ARB é retângulo em R”.
11) Sabendo, então, que triângulo ARB é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em A e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado AR?
Padrão de resposta esperado:
“Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento AR = AB.cos(α). De fato, observe a figura 12, temos que o segmento AB mede c pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,
Figura 12 – Relações trigonométricas no triângulo ARB
Fonte: Arquivo da Autora
12) Após analisar esses dois triângulos, o que podemos dizer da área do retângulo amarelo (AESR) e da área do retângulo APQH (área do retângulo azul (ABIH) mais a área do retângulo laranja (BPQI))?
Padrão de resposta esperado:
“A área do retângulo AESR é dada por b.c.cos(α), que equivale a área do retângulo APQH dada por c.b.cos(α). Logo, os dois retângulos analisados são equivalentes, pois possuem a mesma área (figura 13)”.
Figura 13 – Área dos retângulos AESR e APQH
Fonte: Arquivo da Autora
Para finalizar, devemos mostrar que área do retângulo laranja (BPQI) é equivalente à área do retângulo rosa (BNOF)
Levante as seguintes questões:
13) Observando os triângulosANC e ANB, o que podemos dizer sobre eles?
Padrão de resposta esperado:
“Os triângulos ANC e ANB são retângulos em N.
14) Sabendo, então, que triângulo ANB é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em B e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado NB?
Padrão de resposta esperado:
“O triângulo ANB é retângulo em N e o ângulo com vértice em B vale 180° - β. Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento NB = AB.cos(180° - β). De fato, observe a figura 14, temos que o segmento AB mede c pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,
Figura 14 – Relações trigonométricas no triângulo ANB
Fonte: Arquivo da Autora
15) Observando o triângulo CPB, o que podemos dizer sobre ele?
Padrão de resposta esperado:
“O triângulo CPB é retângulo em P”.
16) Sabendo, então, que triângulo CPB é retângulo como, considerando o ângulo com vértice em B e usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo e usando o ângulo, podemos encontrar a medida do lado PB?
Padrão de resposta esperado:
“ Das relações trigonométricas de um triângulo retângulo podemos concluir que o segmento PB = CB.cos(180° - β). De fato, observe a figura 15, temos que o segmento CB mede a pela construção inicial (figura 3) e sabemos que cosseno de um ângulo é cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Logo,
Figura 15 – Relações trigonométricas no triângulo CPB
Fonte: Arquivo da Autora
17) Após analisar esses dois triângulos, o que podemos dizer da área do retângulo laranja (BPQI) e da área do retângulo e marrom (BNOF)?
Padrão de resposta esperado:
“A área do retângulo BPQI é dada por c.a.cos(180° - β), que equivale a área do retângulo BNOF dada por a.c.cos(180° - β). Logo, os dois retângulos analisados são equivalentes, pois possuem a mesma área. Assim, a união desses dois retângulos tem como área 2.a.c.cos(180° - β) (figura 16)”.
Figura 16 – Área dos retângulos BPQI e BNOF
Fonte: Arquivo da Autora
Levante as seguintes questões:
18) O que podemos dizer do ângulo β? E do ângulo que mede 180°- β? Qual a relação dos cossenos desses dois ângulos?
Padrão de resposta esperado:
“O ângulo β é um ângulo obtuso, ou seja, maior que 90°, e o valor do cosseno de um ângulo que está entre 90° e 180° é negativo. Já o ângulo que mede 180° - β será um ângulo entre 0° e 90°, logo terá seu cosseno positivo. Assim, cos(180° - β) = -cos(β) ( figura 17)”.
Figura 17 – Relações entre cos(180° - β) e cos(β)
Fonte: Arquivo da Autora
Para finalizar a aula os alunos devem deduzir a fórmula da Lei dos Cossenos geometricamente a partir da figura 18:
Figura 18 – Área dos retângulos
Fonte: Arquivo da Autora
Assim temos que para o ângulo 180° - β, a área do quadrado roxo é igual à soma das áreas dos quadrados verde e azul mais duas vezes a área do retângulo laranja.
Ou seja, b⊃2; = a⊃2; + c⊃2; + 2.a.c.cos(180° - β ).
Considerando o ângulo β teremos: b⊃2; = a⊃2; + c⊃2; - 2.a.c.cos(β ).
Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.
É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 14 jun. 2014.
BARBOSA, Lara Martins; BERTONE, Ana Maria Amarillo; MARCO, Fabiana Fiorezi de. GeoGebra e a lei dos cossenos sem palavras: uma nova prova cortando e pegando. In: Libro de Resúmenes del Congreso Latinoamericano de GeoGebra. Argentina, 2013. (p. 72).
Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se que o(a) professor(a) considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. As construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, posteriormente, assim, o(a) professor(a) pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.
Referências
BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.
______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.
______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio: ciência da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Brasília, 1999.
ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 12 ago. 2013.
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