Esta aula busca desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

Mais especificamente, busca avaliar a habilidade:

• Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. (H21).

Para isto são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

• Discutir informações repassadas por e-mail com o intuito de compartilhar as mais diversas informações;
• Construir quadro a partir de suposições que encaminhem para a potenciação;
• Utilizar o computador como ferramenta para auxiliar em cálculos mais extensos;

Potenciação.

Além dos recursos geralmente presentes em sala de aula, como a lousa, torna-se importante a utilização do laboratório de informática, caso não seja possível, pode-se fazer uso de um computador e projetor para construções coletivas.

A aula

O que pretende-se com essa aula é modelar uma situação em que se faz necessário divulgar uma informação. Para tanto, buscaremos parâmetros nos comportamentos dos(as) alunos(as) e, coletivamente, serão criados argumentos para discutir o quão rápido uma informação pode ser divulgada.

Antes de iniciar a discussão, proponha que os(as) alunos(as) pesquisem sobre “quantas pessoas no mundo têm acesso à internet”. Para tanto, há algumas opções: caso seja possível utilizar o laboratório de informática, nele os(as) estudantes podem efetuar a pesquisa nos computadores, já em sala de aula sugere-se o uso de um computador com projetor e acesso a internet, ou ainda, se possível autorizar os(as) estudantes a pesquisarem utilizando os celulares.

Resposta esperada: O site http://canaltech.com.br/noticia/internet/Apenas-35-da-populacao-mundial-tem-acesso-a-internet/ (acesso 13 jul. 2014) com reportagem datada em 2013, revela que cerca de 2,45 bilhões de pessoas tinham, na época, acesso à internet no mundo.

De posse dessa informação, inicie a discussão lembrando de e-mails com as chamadas “correntes”, que se resumiam em condicionar algo bom ou ruim ao leitor(a) caso o mesmo enviasse ou não aquela correspondência eletrônica para um determinado número de pessoas. Um dos boatos famosos que percorreu a Internet anos atrás foi o da empresa Microsoft remunerar internautas para enviarem um determinado e-mail de modo a verificar quem utilizava seu navegador. Utilize essas informações e as discuta com os(as) alunos(as). Você pode levar uma cópia dessa “corrente” e encontrar mais informações no link http://www.e-farsas.com/corrente_premio_ms_aol.htm (acesso 13 jul. 2014).

No debate questione quantos estudantes já se depararam com situações semelhantes. Coloque então a seguinte situação problema:

1 – Imagine que uma corrente como essa tenha se iniciado a partir de uma pessoa e que ela tenha enviado para outras duas, de modo que cada uma dessas encaminhe o e-mail para outras duas. Se esse processo ocorre uma vez por hora, quanto tempo levaria para que, todos(as) na sala tivessem recebido o e-mail (considerando que as pessoas não enviem e-mail para quem já recebeu)?

Resposta esperada: A ideia é que os(as) alunos(as), para responderem, pensem em esquemas como o apresentado na figura 1 e, posteriormente, no quadro 1.

Figura 1: Distribuição dos e-mails nas primeiras horas

Fonte: Arquivo do autor

COMENTÁRIO: A figura 1 pode ser projetada na sala, tanto em caso de dúvida durante a resolução, quanto posteriormente, no momento de socialização dos resultados.

Quadro 1: Distribuição dos e-mails nas primeiras horas

Fonte: Arquivo do autor

Os cálculos são aproximados e dependem da quantidade de alunos(as) na sala. Solicite que os mesmos registrem-nos.

Tem-se que, certamente, entre 5 e 6 horas a informação terá sido divulgada a todos(as).

COMENTÁRIO: É importante que os(as) alunos(as) façam esses cálculos manualmente, pois para os próximos passos utilizarão o computador.

Em seguida, utilize a informação inicial para que os(as) alunos(as) possam verificar quantas horas seriam necessárias para que, nesse ritmo, os e-mails se espalhassem para todos os internautas do mundo. Para fazer esse cálculo, proponha a utilização de um método recursivo a partir de uma planilha eletrônica, que fornecerá o resultado para cada hora. Utilize o Microsoft Excel, um dos softwares do pacote Microsoft Office ou então, outras planilhas eletrônicas como o BrOffice e até o Google Drive, disponível em https://drive.google.com/ (acesso 13 jul. 2014).

Solicite aos estudantes que iniciem o software, caso não seja possível estar no laboratório, crie a planilha coletivamente utilizando um projetor em sala. Nomeie duas colunas, a primeira com “Horas” e a segunda com “Quantidade de pessoas” (figura 2).

Figura 2: Nomeando as colunas

Fonte: Arquivo do autor

Inicie a numeração, como o que destacado na figura 2. As planilhas eletrônicas costumam ter um mecanismo para estender o padrão a ser seguido. No Excel basta selecionar algumas células para identificar o padrão a ser seguido, posteriormente clique no “quadrado pequeno” que faz parte da borda dessa seleção e arraste até a posição desejada.

Pergunte aos estudantes qual seria a quantidade de horas necessárias para iniciar os testes, caso prefira, sugira 1 dia, ou seja, 24 horas. Observe a figura 3 utilizando o mecanismo para preencher as células.

Figura 3: As primeiras 24 horas

Fonte: Arquivo do autor

OBSERVAÇÃO: a primeira linha foi utilizada para nomear as colunas, por isso na contagem do programa, a última linha selecionada é a de número 25.

Questione os(as) estudantes sobre o que deve ser feito na coluna “Quantidade de pessoas”. Reserve um tempo para que possam fazer algumas tentativas. A principal ideia é transformar a planilha eletrônica na extensão do quadro 1, de modo que para cada linha a base seja 2 e o expoente seja a quantidade de horas. Neste caso, utilize o símbolo “=” para que se possa entrar com uma fórmula na célula, além disso, o símbolo “^” deve separar base de expoente.

Figura 4: Potências no Excel

Fonte: Arquivo do autor

OBSERVAÇÃO: É facultativo iniciar a contagem no tempo zero. Veja que a referência foi dada à célula da primeira coluna e segunda linha (A2). Isso captura o valor 1, ou seja, 2^1 = 2¹. Fazer essa referência é primordial para que se possa estender os cálculos.

O recurso de estender o padrão pode novamente ser utilizado, basta estender a seleção até a linha 25.

Figura 5: Estendendo os cálculos para a potência

Fonte: Arquivo do autor

A figura 5 mostra as células selecionadas para estender o cálculo com base no padrão utilizado em B2. A planilha eletrônica facilita o cálculo, no entanto, observe a importância de iniciar manualmente, como o que foi feito no quadro 1 para que o(a) aluno(a) tenha domínio sobre os resultados apresentados pelo software. Veja na figura 6 o resultado.

Figura 6: Resultados das primeiras 24 horas

Fonte: Arquivo do autor

Nesse momento, os estudantes poderão perceber que um dia não será o suficiente para atingir os 2,45 bilhões de usuários, no entanto, faça questionamentos sobre as informações já obtidas. Seguem algumas sugestões:

a) Com suas palavras discuta o crescimento ocorrido nas 12 primeiras horas e nas 12 últimas.

b) Supondo que todos os habitantes de sua cidade tenham acesso a internet. Nas primeiras 24 horas seria possível que o e-mail enviado chegasse a todos? Quantas horas seriam necessárias?

Como atividade a ser avaliada, solicite que continuem o raciocínio e que definam aproximadamente quantas horas seriam necessárias para atingir todos os internautas nas configurações colocadas. Além disso, sugere-se que suponha outras configurações, como por exemplo, a situação em que a base seja três ou quatro.

Esperamos que essa aula seja uma das alternativas para o trabalho com potências, de maneira próxima à realidade de uma parcela dos(as) alunos(as). Contemplamos o uso da informática, mas esta deve ser vista como uma ferramenta a ser mesclada com os cálculos no papel, de modo que os(as) estudantes possam dominar os procedimentos práticos, bem como, visualizar o computador como um equipamento que pode ajudar e não substituir os raciocínios empregados.

Excel 2010 para iniciantes

Disponível em http://www.youtube.com/watch?v=6PxGl2flg3w (acesso 14 jul. 2014).

BrOfficeCalc

Disponível em http://www.youtube.com/watch?v=_OXjlbHpoOY (acesso 14 jul. 2014).

Feita de maneira continua ao longo da aula, a avaliação deve envolver a participação dos(as) alunos(as). O(a) professor(a) deve recolher os registros dos cálculos, sobretudo da última etapa. Considere também avaliar situações com potências de bases diferentes da apresentada na aula, no caso, base 2.