A fim de desenvolver competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22), são propostos para esta aula os seguintes objetivos:

 

• Levar o aluno a compreender o teorema de Pitágoras.
• Justificar o Teorema de Pitágoras por meio de áreas.

2 horas/aula (50 minutos cada).

 

• Triângulo retângulo e seus componentes: hipotenusa e catetos.
• Área de quadrados.

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software GeoGebra – Apresentação:

Nesta aula, o Teorema de Pitágoras será estudado com o auxílio do software GeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Professor(a), solicite aos alunos que abram o software GeoGebra. Em seguida, construa um triângulo retângulo. Para facilitar, utilize os eixos x e y para a construção do triângulo, pois são perpendiculares.

 

Para a construção, peça para que os alunos cliquem na seta ao lado do polígono, e em seguida, escolham a opção Polígono (como indicado na figura 2).

 

Figura 2: Construir um ponto no GeoGebra.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Para construir o triângulo basta clicar em três pontos, que serão os vértices do polígono, e em seguida, clicar novamente sobre o primeiro ponto, para fechar o polígono.

 

Em seguida questione com os alunos:

 

1)      Para construir um triângulo retângulo, podemos escolher os três pontos sobre um mesmo eixo (eixo x ou eixo y)?

Os alunos devem perceber que a resposta é não, pois se tomar pontos desta forma, eles não formariam um triângulo, já que são colineares.

 

2)      Como podemos então, escolher três pontos sobre os eixos x e y de forma que esses três pontos formem um triângulo retângulo?

Espera-se que os alunos percebam que esses pontos devem ser tomados de forma que um deles esteja sobre a origem e os outros dois sobre cada um dos eixos.

 

Comentário: Para que os alunos percebam que estes pontos devem ser tomados desta maneira, deixe que eles escolham alguns pontos diferentes e vejam que qualquer outra opção não formará um triângulo retângulo.

 

Observação: Ao considerar dois pontos sobre um dos eixos, o terceiro ponto deve estar sobre uma das retas perpendiculares a um destes dois pontos, para formar um triângulo retângulo. Assim, como queremos que o terceiro ponto esteja sobre o outro eixo, necessariamente um dos pontos deve estar sobre a origem.

 

Clique primeiramente sobre a origem (construindo o ponto A), em seguida em algum ponto sobre o eixo x (construindo o ponto B) e por fim, clique sobre o eixo y (construindo o ponto C). Obtemos então um triângulo semelhante ao da figura 3.

 

Figura 3: Triângulo retângulo.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Agora, para explorar o Teorema de Pitágoras, é melhor ocultar os eixos. Para isto, basta clicar com o botão direito sobre algum dos eixos e em seguida selecione a opção Eixos (figura 4).

 

Figura 4: Como ocultar os eixos cartesianos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Deixe que os alunos movimentem os pontos B e C para perceberem que o triângulo não deixará de ser retângulo.

 

Professor(a), oriente agora os alunos a construírem um quadrado a partir do lado BC (hipotenusa) do triângulo. Para isto, selecione a opção Polígono Regular (figura 5), em seguida, clique sobre dois pontos que pertencem ao quadrado desejado, neste caso B e C. Então, aparecerá uma caixa como a indicada na figura 6, pedindo o número de vértices do polígono. Como o quadrado tem quatro vértices, basta digitar “4” e clicar em “ok”.

 

Figura 5: Construindo um polígono regular.

 

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 6: Número de vértices do polígono regular.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Observação: A ordem utilizada ao clicar nos pontos B e C influencia em qual lado deste segmento o quadrado aparecerá. Como os vértices do quadrado são descritos no sentido anti-horário, para que ele apareça do lado de fora do triângulo, é preciso clicar primeiramente sobre o ponto C e depois sobre o ponto B. No caso de dúvidas, peça para os alunos construírem este quadrado de ambos os jeitos, para verem a diferença (no caso de precisar desfazer uma ação, basta pressionar as teclas Ctrl e z simultaneamente).

 

Assim, os alunos obterão a seguinte figura:

 

Figura 7:

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Observação: Note que na janela ao lado aparece um quadrilátero, que é denominado por “polígono2”. O número que aparece ao lado é uma aproximação para a área do quadrado.

 

Repita o processo utilizado para a construção do quadrado acima nos outros dois lados restantes. Os alunos chegarão a uma figura semelhante à figura 8.

 

Figura 8: Construção de quadrados a partir dos três lados do triângulo retângulo.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Em seguida, identifique com os alunos que os segmentos listados na janela ao lado (a, b e c), que representam os lados do triângulo.

 

Comentário: Peça aos alunos que passem o mouse sobre cada um desses segmentos para estabelecerem sua correspondência com os lados na figura.

 

Em seguida solicite que calculem, no caderno, as áreas dos quadrados construídos, utilizando a fórmula da área do quadrado (lado²).

 

Observação: Destaque para os alunos que ao serem construídos os outros dois quadrados, na janela à esquerda (Folha Algébrica), aparecem mais dois quadriláteros, polígono3 e polígono4. Juntamente com eles, aparecem dois números.

 

Observação: Lembrando que os valores para os segmentos e para as áreas no GeoGebra são aproximações, questione:

 

- Qual a relação entre áreas encontradas em seus cálculos e os números dados em polígono3 e polígono4?

Espera-se que os alunos percebam que as áreas encontradas por eles são aproximadamente os valores exibidos na Folha Algébrica, ou seja, aqueles números apresentados referem-se às áreas dos quadrados.

 

- Que relação podemos obter entre essas áreas?

Espera-se que os alunos percebam que a soma das duas áreas menores é igual à área maior, ou seja, a área do quadrado de lado igual à hipotenusa é igual a soma das áreas dos quadrados de lados iguais aos catetos.

 

- Se movimentarmos os pontos B e C, esta regra continuará valendo?

Espera-se que os alunos movimentem estes pontos e percebam que em qualquer triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras continua sendo satisfeito.

 

Figura 9: A relação entre as áreas são mantidas, mesmo que variamos os pontos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

- Utilizando as letras a, b e c para representar os lados do triângulo, como poderíamos reescrever esta relação?

Os alunos devem chegar à fórmula do Teorema de Pitágoras: a² = b² + c².

Defina então esta relação como sendo o Teorema de Pitágoras e em seguida formalize seu enunciado:

 

“Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.”

Algumas atividades de contextualização podem ser encontradas nos links abaixo:

http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-teorema-pitagoras.htm. Acesso em 16 de Julho de 2014.

http://saberceec.files.wordpress.com/2011/09/exercc3adcios-teorema-de-pitc3a1goras.pdf. Acesso em 16 de Julho de 2014.

 

O conceito de triângulo retângulo e seus componentes podem ser encontrados nos endereços abaixo:

http://www.escolakids.com/teorema-de-pitagoras.htm. Acesso em 16 de Julho de 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades;
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma;
• A seriedade para a correção dos exercícios.