A fim de contribuir para o desenvolvimento da competência de área 2 da matriz de referência do ENEM, mais especificamente na habilidade de “Identificar características de figuras planas ou espaciais” (H7), propomos para essa aula os seguintes objetivos:

• Possibilitar aos alunos o exercício do raciocínio lógico matemático para a compreensão do processo que permite calcular, mentalmente, o número de diagonais de um polígono convexo a partir de um único vértice.
• Compreender as etapas consideradas no processo mental utilizado para o cálculo do número de diagonais de polígonos convexos, tornando possível a composição de uma lei geral para o cálculo do número de diagonais de qualquer polígono.

Parte-se do princípio que os alunos saibam a definição de polígonos convexos e de diagonal, além de conhecer os elementos de um polígono, identificando que o número de lados é igual ao número de vértices e ao de ângulos.

Considerações iniciais

Há maneiras diferentes de se relacionar com os conteúdos de matemática. Buscamos aquela que torna possível aos alunos mobilizar conceitos de forma consciente. Em outras palavras, que compreenda o que está estudando e tenha segurança no que está fazendo. Nessa perspectiva, saber que existe uma regra, uma equação, que permite o cálculo do número de diagonais de um polígono convexo e saber substituir corretamente as incógnitas e chegar ao resultado correto não é suficiente para afirmarmos a existência de uma boa aprendizagem. Considerando isso, é que pensamos uma estratégia para que os alunos, com a mediação do professor, possa compreender o cálculo do número de diagonais de um polígono convexo bem como chegar na expressão matemática geral que permite o cálculo do número de diagonais para qualquer polígono convexo. 

Estratégia e recursos materiais

Para cumprir os objetivos propostos o professor pode, de maneira didática, separar a atividade em dois momentos, podendo ser desenvolvido um em cada aula, conforme o rendimento da turma.

1º momento:

Inicialmente é interessante recordar o conceito de diagonal (segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de um polígono) e estabelecer o objetivo da aula: determinar o número de diagonais de um polígono convexo.

Em seguida, entregue para cada aluno, duas cópias de um decágono regular, semelhante ao da figura 1, solicitando que trabalhem em apenas uma das figuras.

Comentário: Na elaboração do material, é aconselhável que seja observado o tamanho das figuras para que não sejam nem muito grandes ou pequenas, visto que o aluno fará um movimento de traçar 35 diagonais (número de diagonais do decágono) e, conforme o tamanho pode dificultar a sua prática, e esta não é a intenção.

Figura 1: Cópias de um decágono regular produzido no GeoGebra e no Paint .

Fonte: autores.   

Outras duas observações que podem contribuir para o trabalho do professor são: a fonte de aquisição da figura, que pode ser facilmente encontrada em sites de busca como o Google, por exemplo, e o preenchimento de uma folha de tamanho A-4 com o máximo de figuras possível, a fim de diminuir o número de cópias, o gasto de material e o custo da atividade. No tamanho proposto, na figura 1, uma folha cabe 15 figuras, o que atende sete (7) alunos.

A escolha do decágono para a atividade se dá na intenção de fazer o aluno perceber a vantagem de se utilizar a estratégia de traçar o máximo de diagonais possível, a partir de um vértice. Normalmente, observamos que alguns alunos começam a traçar as diagonais de maneira aleatória, ou seja, traçando diagonais sem fixar um vértice do polígono. Por isso, a vantagem de entregar duas figuras. Durante o trabalho, dadas as dificuldades que encontram para traçar todas as diagonais, pois a imagem fica um tanto quanto confusa, os alunos buscam visualizar uma maneira mais simples e segura de proceder. É bem provável que percebam outro caminho mais interessante que é o de traçar o máximo de diagonais possível a partir de um único vértice e multiplicar o número de diagonais obtidas pelo número de vértices.

Nesse caso, para que não precisem apagar e que tenham a condição de mudar sua maneira de agir, os alunos podem fazer uso da segunda figura. Caso não consiga visualizar sozinho este processo, e se não houver relatos de alunos que observaram a vantagem dessa técnica, a de traçar as diagonais a partir de único vértice, o professor pode e é interessante que faça a intervenção de modo que todos os alunos percebam e façam esse caminho.

Quando questionados sobre a quantidade de diagonais do decágono, os alunos tendem a dar como resposta o número 70, pois normalmente, não consideram, pelo menos inicialmente e salvo exceções, que quando multiplicou o número de diagonais obtidas a partir de um vértice, por todos os vértices do polígono, ele dobrou o número de diagonais do polígono em questão. Sabe-se que uma diagonal tem dois vértices (extremidades do segmento de reta), o que significa ser preciso considerar somente a diagonal que parte de um deles. Dessa forma, o aluno perceberá facilmente a necessidade de dividir por 2, ou de considerar a metade do resultado obtido pelo produto (número máximo de diagonais obtidas a partir de um vértice x número de vértices do decágono).

Professor perceba que o aluno já adquiriu condições de cumprir o primeiro objetivo da aula. Para exercitar o conhecimento recém-produzido e possibilitar que todos tenham segurança e condições de aplicá-lo em momentos posteriores com outros polígonos, proponha outros dois ou três casos de polígonos, solicitando-os o cálculo do número de diagonais.  Nesse sentido, por exemplo, peça que determinem o número de diagonais de um eneágono ou de um octógono. Pelos registros ou respostas dos alunos, pode-se verificar se houve a apropriação da maneira de calcular, sem o uso da equação d = [n (n – 3)]/2, o número de diagonais de um polígono. Dessa forma, é possível avançar rumo ao segundo objetivo.

2º momento:

Neste momento, a intenção é que os alunos possam superar a condição de ter que desenhar um polígono e traçar o número máximo de diagonais a partir de um vértice para calcular o número total de diagonais do polígono em questão, e expressem o conhecimento produzido na forma de uma equação. Para tanto, eles precisam fazer uma relação entre o número de lados ou vértices do polígono (n) e o número máximo de diagonais obtidos a partir de um vértice (n – 3).  Lembrando que este é o único obstáculo que os impedem de expressar por meio de uma equação, o seu conhecimento.

Para o aluno perceber a regularidade existente para o número máximo de diagonais a partir de um vértice e o número de vértices ou lados do polígono, entregue a cada um deles uma cópia semelhante à figura 2.

Figura 2: Polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 7 lados produzidos no GeoGebra e no Paint .

Fonte: autores.

Professor observe se os alunos estão atendendo o que foi solicitado para a atividade. Pode ser que façam, sem atentar para o enunciado, o cálculo do número de diagonais dos polígonos, e não a partir de um vértice. Incentive-os a procurarem um padrão e a estabelecerem uma relação entre o número máximo de diagonais obtidas a partir de um vértice com o número de lados ou vértices do polígono.  O objetivo é que os alunos percebam que o número máximo de diagonais que se obtém a partir de um único vértice é igual ao número de vértices, menos três diagonais, e que isto vale para qualquer polígono.

Feito isto, da mesma forma de quando finalizou o primeiro momento solicitando que os alunos calculassem o número total de diagonais de um polígono convexo, solicite aos alunos que, utilizando esse caminho mais elaborado, determinem o número total de diagonais do pentágono e do hexágono, mentalmente.

Observado que os alunos já utilizam o conhecimento lógico matemático para o cálculo do número de diagonais de polígonos regulares, com propriedade, solicite que os alunos utilizem seus conhecimentos prévios sobre equações e escreva de forma geral, uma que permita calcular o número de diagonais de qualquer polígono convexo.

Espera-se que os alunos expressem uma equação do tipo d = [(n – 3)n] / 2, onde:

d  é o número de diagonais do polígono;

(n – 3) é o número máximo de diagonais possível de traçar a partir de um único vértice;

n é o número de vértices do polígono.

/2 (Divisão por 2) é para compensar as diagonais que foram consideradas duas vezes.

O professor pode, para uma próxima aula, propor uma atividade no laboratório de informática quando os alunos, utilizando o GeoGebra, produzirão diferentes polígonos diversos para que calculem o número de diagonais. Outra intenção é que, já no primeiro contato com o GeoGebra, o aluno possa aprender utilizar a função de produzir polígonos.

Em dupla, os alunos podem produzir polígonos com números grandes de lados para que outra dupla possa, posteriormente, calcular o número de diagonais, utilizando a fórmula. O software é de fácil manuseio, visto que tem vários ícones que facilita o seu uso. Assim sendo, com pouco tempo de uso, professor e alunos poderão começar a se beneficiar desse recurso para os estudos de matemática.

É importante que o professor já tenha um conhecimento, mesmo que seja básico, do GeoGebra, a fim de que possa mediar a exploração do mesmo por parte dos alunos. Para isso, o professor pode contar com tutoriais na internet como, por exemplo, o disponibilizado no site http://w3.ufsm.br/petmatematica/arquivos/Ap_GEOGEBRA.pdf. Acessado em 16 jun 2014.

O professor também pode, juntamente com os alunos, antes da atividade, assistir vídeos no youtube, por exemplo, um que mostre a construção de polígonos com o GeoGebra. Disponibilizado em: http://www.youtube.com/watch?v=BgoLCNtXacY. Acessado em: 16 jun 2014.

Para avaliar, juntamente com os alunos, a qualidade das habilidades desenvolvidas, o professor pode selecionar e propor aos alunos, alguns exercícios de diferentes livros didáticos. Em visita a biblioteca, ou disponibilizando diferentes livros didáticos na sala de aula, os alunos, em grupo, também pode fazer uma atividade de pesquisa, selecionando diferentes tipos de questões envolvendo o estudo de polígonos e o cálculo do número de diagonais e resolvê-los na sala de aula e em casa.

Assim, além de contribuir para o desenvolvimento da autonomia do aluno, o professor também estará contribuindo para maior interesse e aprofundamento sobre o tema.