A fim de desenvolver as competências das áreas 1 e 6 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que são, respectivamente:

• Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
• Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

Mais especificamente, busca avaliar as habilidades:

• Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem (H2).
• Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos (H3).
• Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos (H25).

Para isso são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

• Reconhecer os padrões que regem uma sequência.
• Identificar sequências numéricas e não numéricas.

• Operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão).
• Organização de dados em quadros.

A aula

Nesta aula deseja-se abordar a ideia de sequência tendo como base situações do cotidiano. A proposta de trabalho será dividida em duas etapas, em que na primeira será trabalhado o conceito de sequência, e a na segunda o conteúdo de progressões aritméticas.

COMPREENDENDO A IDEIA DE SEQUÊNCIAS

Professor(a), para iniciar o trabalho é importante identificar  o conhecimento que os(as) alunos(as) possuem a respeito do assunto desta aula. Sendo assim, sugerimos que você inicie a aula com o seguinte questionamento:

- O que vocês pensam/entendem sobre o termo sequência?

COMENTÁRIO: Para incentivar os(as) alunos(as), sugira que eles(as) respondam o que lhes vier a mente, sem se preocuparem se têm ou não relação com a matemática, aceitando inclusive exemplos como explicação.

Resposta esperada: As respostas poderão ser diversas, como por exemplo:

• que vem um depois do outro;
• a lista de alunos(as) em ordem alfabética;
• uma fila.

Professor(a), utilize a lista de chamada, que normalmente é elaborada em ordem alfabética, para exemplificar a discussão. Escreva os primeiros nomes dos(as) alunos(as) da lista no quadro, separando-os por vírgula. Informe que cada aluno(a) ocupa uma determinada posição na lista, e comece a questionar os estudantes sobre quais deles estão em posições aleatórias, por exemplo:

Observem os primeiros nomes da lista de chamada da turma:

            Amanda, Andressa, Bruna, Bruno, Carlos, Cristiano, Daniela, ...

A Amanda ocupa a primeira posição da lista, a Andressa a segunda e assim sucessivamente. Nesta lista há uma ordem a ser seguida, que é a ordem alfabética, e é ela que determina onde cada um deve ficar. Por exemplo, o Carlos só pode estar em uma posição depois dos nomes que começarem com as letras A e B. Observando a lista é possível informar em qual posição o Cristiano está (ele está na 6º posição). Assim, podemos levar os alunos a concluírem que a lista de chamada representa uma sequência, pois os elementos (nome dos estudantes) estão dispostos de acordo com uma ordem ou padrão.

Professor(a), após exemplificar o que é uma sequência, exponha na lousa a definição. O próprio livro didático do(a) aluno(a) poderá ter essa definição, mas caso não queira utilizá-lo apresentamos a seguinte:

“Sequência: Conjunto de objetos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem bem determinada.” (Disponível em http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/sucessoes-ou-sequencias/o-que-sao-sucessoes-ou-sequencias.html, acesso 11 ago. 2014).

Assim, para verificar se os(as) alunos(as) compreenderam a ideia de sequência, apresente a eles mais alguns exemplos. Professor(a), é importante observar se os estudantes estão conseguindo identificar os padrões utilizados para formar a sequência.

Situações reais que representam sequências:

“A quarta edição da copa do mundo ocorreu em 1950, sendo seguida depois pelas edições de 1954, 1958, 1962, 1966, ...”.

COMENTÁRIO: Professor(a) peça aos alunos para reescreverem a sequência e identificarem qual o padrão utilizado e a ordem em que ela foi escrita.

“As eleições presidenciais em nosso país acontecem de 4 em 4 anos. Entretanto, os cidadãos devem comparecer às urnas não apenas nessa época, mas também quando ocorrem as eleições municipais. Sendo assim, se eu comecei a votar no ano de 2006, eu tive que comparecer às urnas também em 2008, 2010 e 2012.”

COMENTÁRIO: A ideia deste exemplo é mostrar que algumas sequências podem ser formadas com poucos elementos, mas que, mesmo assim, não deixarão de ter um padrão e uma ordem.

Professor(a), o próximo passo é utilizar a linguagem matemática para formalizar o conceito. Como foi dito anteriormente, cada elemento assume uma posição dentro da sequência. Podemos dizer então que cada elemento representa um termo da sequência em determinada posição. Este termo pode ser representado utilizando uma letra do nosso alfabeto (normalmente utiliza-se a letra ‘a’). E esta letra poderá ter um índice para representar a posição que ela assumirá na sequência. Para expressar melhor o que estamos afirmando, apresente aos estudantes a sequência de um dos exemplos anteriores, caso utilize-os.

As edições da copa do mundo a partir de 1950:

Informe aos alunos(as) que a letra “a” seguida do índice indica o termo naquela posição numérica. Logo, o termo a₃ está na terceira posição e representa o ano de 1958, assim como o a₆ simboliza o termo que está na sexta posição, no caso, o ano de 1970.

Como sabemos que o padrão a ser seguido nesta sequência é que ela está aumentando de quatro em quatro, pode-se concluir que o termo da sétima posição (a₇) será o ano de 1974. No entanto, podemos formular mais uma pergunta:

- Como representar o termo em uma posição qualquer?

Agora professor(a), explique aos alunos(as) que, na matemática, normalmente utilizamos a letra ‘n’ para representar uma posição qualquer, o qual também pode ser chamado de n-ésimo termo, onde n pode vir a assumir qualquer valor natural. Após essa explicação, verifique se os(as) alunos(as) conseguem escrever como seria a representação do termo de uma posição qualquer, ou seja, uma maneira de generalizar a posição.

COMENTÁRIO: Caso eles não consigam, ajude-os iniciando com o seguinte raciocínio: se o termo da primeira posição é o a₁, e o termo da segunda posição é o a₂, então o termo que estiver na n-ésima posição será..... (espere que eles concluam).

Para finalizar esse primeiro momento da aula, relembre com os(as) alunos(as) a sequência formada pelos nomes da lista de chamada e a sequência com os anos em que ocorreram eleições, reescrevendo-as no quadro. O intuito é mostrar que se pode ter sequências numéricas e sequências não numéricas, mas que para os estudos em matemática as que mais nos interessam são as numéricas. No quadro poderá estar o seguinte resumo:

Amanda, Andressa, Bruna, Bruno, Carlos, Cristiano, Daniela → representa uma sequência não numérica (a ordem é a alfabética)..

2006, 2008, 2010, 2012 → representa uma sequência numérica (a ordem é crescente e o padrão é aumentar de 2 em 2).

Espera-se com essa aula ter sintetizado características de das sequências numéricas e não numéricas, de modo a embasar as discussões sobre progressões aritméticas. 

Sequências

http://www.infoescola.com/matematica/sequencias/. Acesso 20 jul. 2014.

Completando os números

http://www.escolagames.com.br/jogos/completandoNumeros/ . Acesso 11 ago. 2014.

Sequências numéricas

http://rachacuca.com.br/quiz/2562/sequencias-numericas/ . Acesso 11 ago. 2014.

Atividades

http://www.profcardy.com/exercicios/home.php?id=1058. Acesso 20 jul. 2014.

RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. São Paulo: Scipione, 2010. 385 p.

O processo de avaliação poderá ocorrer em todas as aulas, mediante a participação e o envolvimento dos alunos. Ao final de cada um dos dois momentos, pode ser proposto aos alunos(as) a resolução de atividades avaliativas. Outra sugestão de avaliação é a aplicação de um teste que resume os conceitos estudados nas aulas.