Esta aula busca desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:

 

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

 

Mais especificamente, desenvolver a habilidade de:

 

• Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20).

 

Para isto são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• relacionar elementos entre dois conjuntos;
• generalizar uma forma de computar a quantidade de relações possíveis entre os elementos de dois conjuntos;
• visualizar os pares ordenados utilizando o software GeoGebra;
• visualizar a diferença entre relações do tipo A x B e B x A quando A é diferente de B.

2 horas/aula de 50 minutos.

Não é necessário conhecimento prévio.

Essa aula foi desenvolvida para se passar no laboratório de informática, pois será necessário utilizar o software GeoGebra que está disponível em http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/ (acesso 23 jul. 2014). Caso o laboratório não esteja disponível, é importante providenciar um projetor e um computador para a sala de aula.

 

 A aula

As funções constituem um conteúdo muito comum na vida do(a) aluno(a). São estudadas diferentes maneiras de trabalhar esse conteúdo e, essa aula, é uma proposta que visa contribuir para tais estudos, trabalhando com o software GeoGebra o princípio desse conteúdo, ou seja, as relações possíveis entre elementos de dois conjuntos.

 

PRIMEIRO MOMENTO: FORMANDO CASAIS

 

Professor(a) entregue uma folha destacada para os(as) alunos(as), solicite que se identifiquem na mesma para que seja recolhida para avaliação posterior.

Proponha o seguinte:

 

1 - Considere um conjunto de 3 homens e um de 3 mulheres. A questão é: quais são os casais que podem ser formados se cada homem se direcionar a uma das mulheres?

 

 

Figura 1: Conjuntos

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Resposta esperada: Os casais que podem ser formados nesse caso são H1 e M1, H1 e M2, H1 e M3, H2 e M1, H2 e M2, H2 e M3, H3 e M1, H3 e M2, H3 e M3.

 

Veja as possibilidades na figura 2. Projete a figura para a socialização da resposta entre os(as) alunos(as).

 

 

Figura 2: Possibilidades de relação

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Em seguida coloque um questionamento semelhante, de modo que, nesse, a quantidade de elementos dos conjuntos não seja a mesma.

 

2 - E se a quantidade de homens fosse diferente da quantidade de mulheres, por exemplo, um conjunto com 4 homens e outro com 3 mulheres, quais seriam as possibilidades?

 

Resposta esperada: Os casais que podem ser formados nesse caso são H1 e M1, H1 e M2, H1 e M3, H2 e M1, H2 e M2, H2 e M3, H3 e M1, H3 e M2, H3 e M3, H4 e M1, H4 e M2, H4 e M3.

 

2.1 - Represente os casais anteriormente listado em forma de pares, exemplo: (H1,M1).

 

Resposta esperada: (H1,M1), (H1,M2), (H1,M3), (H2,M1), (H2,M2), (H2,M3), (H3,M1) , (H3,M2), (H3,M3), (H4,M1), (H4,M2), (H4,M3).

 

COMENTÁRIO: Esse segundo questionamento é importante para que o(a) estudante não tenha dúvidas de como visualizar as possíveis relações. Além disso, lidar inicialmente com casais traz a ideia intuitiva da palavra “relação”, o que certamente contribuirá para a compreensão.

 

OBSERVAÇÃO: Enfatize que essa relação pode ser representada na forma HOMENS x MULHERES.

 

Com base nas duas indagações anteriores, solicite aos estudantes que tentem estabelecer uma forma de contabilizar a quantidade de casais formados.

 

3 - Observando as quantidades de casais nas situações anteriores, busque uma maneira de, conhecendo apenas os conjuntos, contabilizar todas as relações possíveis.

 

Resposta esperada: Basta multiplicar a quantidade de pessoas dos dois conjuntos.

 

COMENTÁRIO: Projete a figura 3 e estabeleça as relações por meio de setas, de modo a ir contabilizando e justificando a multiplicação da quantidade de pessoas.

 

 

Figura 3: Resolvendo a atividade

Fonte: Arquivo do autor

 

 

A ideia principal é apontar que um homem do primeiro conjunto pode se direcionar a qualquer uma das mulheres do outro conjunto, como ilustra a figura 4:

 

 

Figura 4: Possibilidades para um dos homens

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Posteriormente, concluir que isso pode acontecer para todos os homens, como ilustra a figura 5:

 

 

Figura 5: Todas as possibilidades

Fonte: Arquivo do autor

 

 

O quarto questionamento vem para que os(as) alunos(as) reflitam se a quantidade de possibilidades se mantém com a inversão da ordem dos conjuntos nas relações, ou seja, se ao invés de um homem se dirigir a uma mulher, uma mulher se dirigir a um homem.

 

4 - Para o caso em que há um conjunto com 4 homens e outro com 3 mulheres, inverta as relações, isto é, ao invés de um homem se dirigir a uma mulher, uma mulher se dirigir a um homem.

Escreva os pares da relação MULHERES x HOMENS que representam os casais.

 

Resposta esperada: (M1,H1), (M1,H2), (M1,H3), (M1,H4), (M2,H1), (M2,H2), (M2,H3), (M2,H3), (M2,H4), (M3,H1), (M3,H2), (M3,H3), (M3,H4).

 

Leve os alunos(as) a observação de que a quantidade de casais não mudou, no entanto, a ordem fez a diferença, pois, nos primeiros exemplos as iniciativas partiam dos homens, nos últimos exemplos, a iniciativas partiam das mulheres. Essa ideia é importante para fortalecer a compreensão de que:

 

• Como a quantidade de relações é dada pela multiplicação entre a quantidade de elementos dos dois conjuntos, pela propriedade comutativa, ao inverter a ordem dos conjuntos mantém-se a quantidade de relações.
• Posteriormente, ao formar pares ordenados no plano, a ordem dos conjuntos para as relações farão diferença para a plotagem dos pontos.

 

Estabeleça esses tópicos com dois questionamentos.

 

5 - Estabelecendo “h” como quantidade de pessoas do conjunto HOMENS e “m” como a quantidade  de pessoas do conjunto MULHERES responda:

 

a) Ao considerarmos a relação entre os conjuntos HOMENS e MULHERES (nessa ordem) como HOMENS x MULHERES, como podemos expressar a quantidade de elementos dessa relação?

 

Resposta esperada: h . m

 

b) Ao considerarmos a relação entre os conjuntos MULHERES e HOMENS (nessa ordem) como MULHERES x HOMENS, como podemos expressar a quantidade de elementos dessa relação?

 

Resposta esperada: m . h

 

c) Ao trocarmos a ordem que se dão as relações, há alteração na quantidade de pares formados?

 

Resposta esperada: Não. A propriedade comutativa da multiplicação auxilia nessa garantia.

 

5.1 - Concluímos que a quantidade de pares é a mesma ao invertermos a ordem da relação, no entanto, eles têm a mesma representação?

 

Resposta esperada: Não. A representação é diferente, pois podemos imaginar que em um dos casos, o homem se aproximou primeiro da mulher, no outro, quem teve a primeira iniciativa foi a própria mulher.

 

Espera-se que esse momento possibilite que o(a) estudante possa ter compreendido a ideia básica de relações, bem como, computar a cardinalidade do conjunto oriundo das mesmas.

 

SEGUNDO MOMENTO: RELAÇÕES COM CONJUNTOS NUMÉRICOS

 

O segundo momento visa fazer as relações outrora entendidas com conjuntos numéricos. Desse modo, não há novidades do ponto de vista do raciocínio utilizado.

 

Professor(a) não se esqueça de continuar solicitando os registros em folha destacada. Inicialmente, exemplifique uma forma de escrever os pares como elementos de um conjunto.

 

Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 6} e B = {2, 4,7} escreva o conjunto A x B.

 

Resposta: A x B = {(1,2), (1,4), (1,7), (3,2), (3,4), (3,7), (5,2), (5,4), (5,7), (6,2), (6,4), (6,7)}.

 

Faça a observação de que a quantidade de pares formados é igual a 4 . 3, ou seja, 12. Em seguida, solicite que os(as) alunos(as) escrevam o conjunto B x A.

 

6 - Escrevam o conjunto B x A.

 

Resposta esperada: B x A = {(2,1), (2,3), (2,5), (2,6), (4,1), (4,3), (4,5), (4,6), (7,1), (7,3), (7,5), (7,6)}

 

6.1 - A x B e B x A são idênticos?

 

Resposta esperada: Não, a ordem de “escolha” dos números para formar os pares é diferente.

 

COMENTÁRIO: Cite como exemplo uma situação na qual são sorteados dois números de um algarismo para formar um número com dois, ao se sortear primeiro o número 2 e depois o número 3, forma-se o 23, caso a ordem do sorteio seja invertida o número formado é o 32.

 

Espera-se que nesse segundo momento os(as) alunos(as) estabeleçam conexões entre os exemplos do primeiro momento e os conjuntos numéricos.

 

TERCEIRO MOMENTO: PLOTANDO OS PONTOS UTILIZANDO O GEOGEBRA

 

Utilize o software GeoGebra para que os(as) alunos(as) possam plotar os pontos e visualizarem, no plano, os conjuntos formados pelas relações anteriormente estabelecidas. Para isso, solicite que os mesmos executem o programa nos computadores. Caso não seja possível a utilização do laboratório de informática, sugere-se que o(a) professor(a) utilize um projetor e faça a construção coletiva.

 

Antes de iniciar com os exemplos habilite a opção “Malha”. Para isso, clique com o botão direito do mouse sobre a "janela de visualização", veja a figura 6.

 

 

Figura 6: Exibir malha

Fonte: Arquivo do autor

 

 

COMENTÁRIO: A exibição da malha poderá favorecer a visualização dos pontos e a associação desses com seus respectivos pares ordenados.

 

Relate a utilização do exemplo do segundo momento. Sugere-se que reescreva os conjuntos na lousa:

 

• A = {1, 3, 5, 6}.
• B = {2, 4,7}.
• A x B = {(1,2), (1,4), (1,7), (3,2), (3,4), (3,7), (5,2), (5,4), (5,7), (6,2), (6,4), (6,7)}.
• B x A = {(2,1), (2,3), (2,5), (2,6), (4,1), (4,3), (4,5), (4,6), (7,1), (7,3), (7,5), (7,6)}.

 

Inicialmente apresente aos alunos(as) como se plotar um par ordenado na "janela de visualização" do GeoGebra. Utilizando o campo “Entrada” na parte inferior da tela, basta digitar o par ordenado, tal como haviam separado ao formarem as relações. Destaque inicialmente o par (1,2), como ilustra a figura 7.

 

 

Figura 7:  Inserindo o primeiro par ordenado

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Ao pressionar a tecla “Enter” o ponto aparecerá na "janela de visualização" do software. Mostre, a partir da malha, os números que, ao formarem o par ordenado, deram origem ao ponto.

 

Dando continuidade, solicite aos estudantes que insiram o par ordenado (2,1). Ao fazer isso, retome os conjuntos A x B e B x A, de modo que possam perceber que continua utilizando os exemplos.

 

Ao digitarem o par ordenado, o ponto aparecerá na "janela de visualização". Observe a figura 8 com os dois pontos.

 

 

Figura 8: Pontos com diferentes coordenadas

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Retome a importância da ordem na formação do par, como havia feito no primeiro momento observando a formação dos casais. Observe com os(as) alunos(as) que a diferente posição dos números, altera também o posicionamento dos pontos. Desse modo, é possível observar, que A x B não necessariamente é igual a B x A, apesar de conterem a mesma quantidade de pares ordenados.

 

COMENTÁRIO: Observe que, com a utilização do software, não é necessário que o(a) aluno(a) prenda sua atenção em saber que, de modo geral, temos pares ordenados da forma (x,y). A ideia é que, antes de perceber isso, ele possa observar que os pares ordenados (1,2) e (2,1) são diferentes. Somente então, discuta a justificativa, pautando na forma que se convencionou a orientação dos eixos e da formação dos pares ordenados (pontos) no plano.

 

Posteriormente inicie um momento de comparação entre os pontos plotados a partir dos conjuntos A x B e B x A. Para isso, solicite aos estudantes que apaguem os dois pontos anteriormente plotados e utilizem a "janela de exibição 2". Para habilitá-la, clique em “Exibir” na barra de ferramentas. A partir daí, solicite:

 

7 - Plote todos os pontos do conjunto A x B.

 

Resposta esperada: Espera-se uma visualização como a da figura 9.

 

Figura 9: Pontos do conjunto A x B

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Projete o resultado de modo a socializá-lo com os(as) alunos(as). Aproveite o momento para “enviar” os pontos para a "janela de visualização 2". Essa ação é importante para, ao plotar o conjunto de pontos de B x A poder-se visualizar ambos os conjuntos lado a lado. Lembre-se de configurar a exibição da malha na janela 2 e alinhar os eixos x das duas janelas. Atente-se também, para a proporção e o “zoom” de ambas as janelas, para que a visualização possa ser efetiva em termos de comparação.

 

Para “transportar” o conjunto plotado para a "janela de visualização 2", basta clicar com o botão direito do mouse sobre cada um dos pontos, acessar o menu “Propriedades”, na aba “Avançado” desmarque “Janela de visualização” e marque “Janela de visualização 2”. Observe a figura 10.

 

Figura 10: Menu avançado

Fonte: Arquivo do autor

 

Daí, solicite:

 

8 - Plote todos os pontos do conjunto B x A.

 

Resposta esperada: Espera-se uma visualização tal como a figura 11.

 

Figura 11: Pontos do conjunto B x A

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Nesse momento haverá a possibilidade de visualizar os dois conjuntos lado a lado e observar a real diferença. O resultado é retratado na figura 12.

 

 

Figura 12: Conjuntos A x B e B x A

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Por fim, deixe o seguinte desafio:

 

9 - Existe algum modo de que a relação entre dois conjuntos seja a mesma ao invertermos a ordem? Caso seja possível, construa um exemplo.

 

Resposta esperada: Sim, desde que se estabeleça dois conjuntos iguais para fazer as relações. Por exemplo, dado o conjunto C = {0, 1, 6}, podemos fazer C x C = {(0,0), (0,1), (0,6), (1,0), (1,1), (1,6), (6,0), (6,1), (6,6)}. Ao invertermos as posições dos conjuntos, o resultado será o mesmo.

 

Espera-se que essa aula possa contribuir para a compreensão das relações entre conjuntos, bem como as visualizações dos pares ordenados no plano cartesiano.

Produto cartesiano

Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/produto-cartesiano.htm (acesso 24 jul. 2014).

Feita de maneira continua ao longo da aula, a avaliação deve envolver a participação dos(as) alunos(as). O(a) professor(a) deve salvar cópia dos arquivos do GeoGebra, bem como solicitar a entrega dos registros do desafio.