A fim de desenvolver as competências da área 7 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística, bem como a habilidade de utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação (H29), são propostos para esta aula os seguintes objetivos:

 

• Conhecer o Jogo da Mega-Sena.
• Calcular a probabilidade de se ganhar na Mega-Sena.

1 hora/aula de 50 minutos

• Análise Combinatória (Arranjos, Combinações e Permutações).
• Probabilidade.

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa composta por situações-problemas em que os alunos discutirão a probabilidade de se ganhar na Mega-Sena e as possibilidades de jogo.

 

Recursos materiais

• Bilhete da Mega-Sena.
• Projetor multimídia conectado ao computador. 

 

Comentário: Inicialmente, propõe-se que o professor (a) promova uma conversa entre os alunos sobre a descrição do jogo e os apresente um Bilhete da Mega-Sena (figura 1).

 

 

Figura 1– Bilhete da Mega-Sena

Fonte:<http://migre.me/kZiZ0>. Acesso em 10 ago. 2014

 

 

Para agilizar o processo, recomenda-se que os roteiros das atividades sejam preparados previamente pelo professor, para que os alunos realizem-nas nos momentos oportunos. Além disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multimídia conectado ao computador.

 

INTRODUÇÃO 

 

Professor (a), suscite o seguinte questionamento:

 

Como funcionam as apostas na Mega-Sena?

 

Permita que os alunos conversem entre si. Em seguida, pode ser proposta uma pesquisa na internet sobre o tema, ou até mesmo propor que os alunos visitem o site oficial das Loterias Caixa disponível em <http://migre.me/kX4EZ> (Acesso em 09 ago. 2014). Após a navegação no site, instigar os alunos a discutirem o assunto abordado. Para isso, suscite questões sobre o jogo.

 

Comentário: Sugere-se, ainda, que os questionamentos apontados e destacados ao longo da presente proposta de aula possam ser utilizados na construção prévia de um roteiro a ser impresso, para que os alunos acompanhem as atividades e expressem suas respostas de forma escrita. É aconselhável não entregar todas as atividades juntas, para que os alunos foquem apenas na que está sendo trabalhada, espera-se assim, que as atenções dos discentes não se dispersem para as atividades subsequentes. Vale ressaltar que o roteiro pode ser recolhido ao final da aula como instrumento do processo avaliativo para saber se os objetivos pretendidos foram alcançados.

 

Levante as seguintes questões:

 

1) Quantos números podem ser escolhidos na Mega-Sena?

 

Padrão de resposta esperado:

“Deve-se escolher no mínimo seis e no máximo quinze números entre sessenta disponíveis”.

 

2) Qual o custo para uma aposta simples de seis números?

 

Padrão de resposta esperado:

“Cada aposta simples com seis números custa R$2,50”.

 

3) O que é Análise Combinatória?

 

Padrão de resposta esperado:

“Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações”.

 

4) Cite algumas ferramentas da Análise Combinatória que você conhece.

 

Padrão de resposta esperado:

“Princípio fundamental da contagem, Fatorial, Arranjos simples, Permutação simples, Combinação, Permutação com elementos repetidos”.

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de Análise Combinatória.

 

5) Quais são as características das Permutações, Arranjos e Combinações?

 

Padrão de resposta esperado:

“Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos, a permutação deve ser utilizada quando se desejar obter o número de possibilidades que existem de se organizar um número de objetos de forma distinta. Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa, as permutações nada mais são do que casos particulares de arranjos onde n = p. Já as Combinações de n elementos tomados p a p são escolhas não ordenadas desses elementos” (Fonte: <http://migre.me/l1F9t> acesso em 10 ago. 2014).

 

6) Como são calculados os Arranjos, Permutações e Combinações?

 

Padrão de resposta esperado:

 (Fonte: <http://migre.me/l1F9t> acesso em 10 ago. 2014).

 

7) Ao se escolher uma determinada quantidade de números ao se jogar na Mega-Sena, como deve ser calculada as possibilidades de jogos?

 

Padrão de resposta esperado:

“Para se calcular o número de jogos possíveis da Mega-Sena ao se escolher uma quantidade de número, deve-se aplicar uma combinação, pois desejamos formar agrupamentos de seis elementos, com a quantidade de números distintos escolhidos”.

 

8) Quantos jogos de seis números podem ser feitos quando se escolhem sete números? Qual o custo dessa aposta?

 

Padrão de resposta esperado:

“Quando são marcados sete números e queremos saber as possibilidades de se fazer jogos com seis deles temos uma combinação de sete elementos tomados seis a seis, ou seja,  possibilidades de jogos. Logo uma aposta escolhendo sete números teria um custo de 7 x R$2,50 = R$17,50”.

 

9) Quantos jogos de seis números podem ser feitos quando se faz uma aposta máxima? Qual o custo dessa aposta?

 

Padrão de resposta esperado:

“Uma aposta máxima é feita escolhendo quinze números dentro os sessenta. Assim, para saber quantidade de jogos possíveis basta fazer uma combinação de quinze elementos tomados seis a seis, ou seja, possibilidades de jogos. Logo uma aposta escolhendo quinze números teria um custo de 5.005 x R$2,50 = R$12.512,50”.

 

10) Quantos reais deveriam ser gastos se fosse possível escolher todos os sessenta números da cartela?

 

Padrão de resposta esperado:

“Para saber quantidade de jogos possíveis escolhendo todos os sessenta números basta fazer uma combinação de sessenta elementos tomados seis a seis, ou seja,  possibilidades de jogos. Logo deveriam ser gastos 50.063.860 x R$2,50 = R$125.159.650”.

 

PROBABILIDADE DE SUCESSO

 

Professor (a), suscite o seguinte questionamento:

 

Qual a probabilidade de se ganhar na Mega Sena com um jogo simples?

 

Permita que os alunos conversem entre si.

 

Levante as seguintes questões:

 

11) Para que se estuda probabilidade?

 

Padrão de resposta esperado:

“O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos”. (Fonte: <http://migre.me/l1FUs> acesso em 10 ago. 2014).

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar o conceito de probabilidade.

 

12) O que um espaço amostral? Qual o espaço amostra no jogo da Mega-Sena?

 

Padrão de resposta esperado:

“O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. No caso do jogo da Mega-Sena, o espaço amostral são todos os resultados possíveis para um sorteio, ou seja, 50.063.860 jogos”.

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar definição de espaço amostral.

 

13) Qual a definição de probabilidade?

 

Padrão de resposta esperado:

“A probabilidade de um evento ocorrer considerando-se um espaço amostral é igual a razão do número de elementos do evento para o número de elementos do espaço amostral, desde que todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer” (Fonte: <http://migre.me/l1FUs> acesso em 10 ago. 2014).

 

14) Qual a probabilidade de se ganhar na Mega-Sena com um jogo simples? Justifique.

 

Padrão de resposta esperado:

“A probabilidade de se ganhar com um jogo simples na Mega-Sena é de 1 em 50.063.860, ou seja, , pois tenho 1 evento ocorrendo em um espaço amostral de 50.063.860 elementos”.

 

15) Qual a probabilidade de se ganhar na Mega-Sena com um jogo de quinze números escolhidos?

 

Padrão de resposta esperado:

“A probabilidade de se ganhar com um jogo de quinze números na Mega-Sena é de 5.005 em 50.063.860, ou seja, , pois tenho 15 eventos ocorrendo em um espaço amostral de 50.063.860 elementos”.”.

 

Para encerrar a atividade levante o seguinte questionamento:

 

16) Se eu estiver disposto a gastar R$ 70,00, é melhor fazer um único jogo com oito números ou vinte e oito jogos simples?

 

Padrão de resposta esperado:

“A melhor opção é se fazer um único jogo escolhendo os oito números, uma vez que a Mega-Sena também dá prêmios para quem acerta quadras e quinas”.

 

Comentário: Professor (a) esse questionamento acima pode ser proposto em uma próxima aula, onde, podem ser abordadas outras regras e conceitos da Mega-Sena, como o acumulo de prêmios, a Mega da Virada, entre outros.

 

Finalize a aulas com a famosa pergunta:

 

VALE A PENA JOGAR?

 

Padrão de resposta esperado:

“Resposta Pessoal”.

O professor pode aproveitar a oportunidade e analisar também a probabilidade de se acertar na quina ou na quadra, que é uma outra possibilidade de ganho. No site oficial das Loterias Caixa disponível em <http://migre.me/kX8ly>, (acesso em 09 ago. 2014), pode ser encontrada a probabilidade de acertos na Mega-Sena de acordo com a quantidade de números jogados.

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação com a turma. Aconselha-seque o professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. Sugere-se, ainda, que o professor recolha o roteiro das atividades ou os registros que foram feitos durante a aula. Por meio deles, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias, além de possíveis erros para uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

 

Referências

 

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

 

 ______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.