A fim de contribuir para o desenvolvimento da competência de área 2 da matriz de referência do ENEM, mais especificamente na habilidade de “Identificar características de figuras planas ou espaciais" (H7), propomos para essa aula os seguintes objetivos:

• Verificar que a soma dos ângulos internos em qualquer tipo de triângulo (seja pela classificação quanto às medidas dos lados ou dos ângulos), é sempre igual a 180°.
• Compreender que qualquer polígono convexo pode ser dividido, a partir de um único vértice, numa quantidade de triângulos que estabelece uma relação direta com o número de lados do polígono, o que permite determinar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono.

Espera-se que os alunos saibam reconhecer os elementos de um polígono convexo.

Considerações iniciais

Não é incomum os alunos resolverem exercícios de matemática sem a compreensão dos recursos que estão utilizando. Em outras palavras, para resolver um exercício utilizam fórmulas sem saber os significados que estas compõem. Pensando nisto, é que propomos esta aula esperando que esta venha contribuir para os trabalhos de alunos e professor. É possível que os alunos cheguem à generalização de como calcular a soma dos ângulos internos de um polígono, sem antes precisarem memorizá-la.

Estratégia e recursos materiais

Pensamos o desenvolvimento desta aula em 2 momentos: o primeiro, quando os alunos verificam que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180° e, o segundo, quando descobrem a possibilidade de dividir completamente qualquer polígono em triângulos, o que favorece, em pouco tempo, fazer a relação da quantidade de triângulos que se pode dividir um polígono com o número de lados do polígono.

Para esta aula o professor pode solicitar ou disponibilizar aos alunos: transferidor, papel, tesoura, cola e canetinhas ou lápis de cor.

1º momento:

Inicialmente o professor pode perguntar aos alunos se é possível estabelecer uma relação entre os ângulos internos de um triângulo. Após ouvi-los, o professor pode afirmar a existência de uma relação. É provável que algum aluno já tenha esta informação, mas não saiba como explicá-la. Em todo caso, a atividade a seguir, permite tanto o processo de descoberta, quanto de confirmação.

Para que os alunos possam buscar a relação existente entre os ângulos internos de diferentes tipos de triângulos o professor pode sugerir que os alunos desenhem um tipo de triângulo qualquer ou pode entregar-lhes duas cópias (para cada aluno) de um triângulo, semelhantes aos da figura 1. Sugerimos que cada fila receba um tipo de triângulo. Assim, de certa forma, os alunos, apesar de estarem, a princípio trabalhando individualmente, eles estarão organizados em grupos. Isto pode contribuir para o processo de mediação do professor no momento de ouvir os alunos sobre o trabalho investigativo realizado.

Figura 1: Modelos de triângulos.

Fonte: autores.

Professor após cada aluno receber o seu triângulo, solicite-os que classifiquem o triângulo recebido, quanto à medida dos lados e quanto aos ângulos. Em seguida, incentive-os a procurarem a relação existente entre os ângulos internos. Alguns buscarão o uso do transferidor. Outros poderão utilizar outros recursos como prolongamento dos lados e buscando uma relação com os ângulos externos (ângulos adjacentes suplementares, cuja medida é igual a 180°).

Caso alguns alunos estabeleçam a relação medindo os ângulos internos do triângulo com o uso do transferidor, peça-os agora que procure a relação para outro triângulo, porém, agora sem o uso do transferidor.

É bem provável que os alunos que receberam o triângulo equilátero, identifiquem que cada um dos três ângulos internos do triângulo meça 60° e conclua que a soma dos três seja igual a 180°. No sentido de que os outros alunos possam também fazer o exercício da investigação, mobilizando seus conhecimentos prévios, solicite aos alunos, a medida que forem identificando a relação que a verifique para os outros tipos de triângulos que não o equilátero.

Caso os alunos apresentem dificuldades o professor pode solicitar que os alunos que conseguiram estabelecer a relação para um triângulo, socializarem com os colegas de turma. Caso, ninguém tenha conseguido visualizar que a soma dos ângulos de qualquer um dos triângulos seja igual a 180°, então, o professor pode sugerir que os alunos destaquem os ângulos internos, utilizando cores diferentes, que os recortem e em seguida, procure estabelecer uma relação com um círculo (um quarto de volta, uma volta, meia volta, entre outras possibilidades).

Mas, para isso, entregue agora a cada aluno duas cópias da tira com os três tipos de triângulos da figura 1. Oriente-os para que destaquem igualmente nas duas cópias, os ângulos internos dos triângulos utilizando cores diferentes. Em seguida que colem uma no caderno e a outra seja utilizada para recorte e a busca de relação entre os ângulos internos, conforme feito com o triângulo anteriormente recebido. Posteriormente, estas também serão coladas no caderno de forma que permita visualizar a relação estabelecida para cada triângulo. 

Comentário: Espera-se que os alunos façam um trabalho semelhante ao da figura 2. Alguns podem dispor as figuras em linhas e outros em coluna.

Figura 2: Triângulos com destaque para os ângulos internos e, abaixo, os mesmos triângulos com os ângulos recortados e colocados lado a lado (representado a soma dos três) formando um ângulo de meia volta (180°).

Fonte: autores.

Comentário: Espera-se que os alunos percebam que independente do triângulo, a soma de todos os ângulos internos sempre será igual a 180°, visto que os três ângulos formam um ângulo de meia volta.

2º momento:

Mediante a conclusão desta primeira etapa, entregue a cada aluno o polígono da figura 3, e solicite que agora, determinem a soma das medidas dos ângulos internos do octógono.

Figura 3: Modelo de octógono.

Fonte: autores

Comentário: Espera-se que os alunos, utilizando de seus conhecimentos anteriormente adquiridos possam encontrar a solução de fixar um vértice e traçar diagonais a partir deste vértice, dividindo todo o polígono em triângulos, o que permite multiplicar a soma dos ângulos internos de um triângulo pela quantidade de triângulos formados, conforme ilustra a figura 4.

Figura 4: Octógono dividido em triângulos a partir de um vértice, no caso o vértice B.

Fonte: autores.

Comentário: Contudo, caso os alunos não utilizem esta estratégia, o professor pode sugerir que a considere e que procure, então, determinar a soma dos ângulos internos do octógono, conforme solicitação inicial. Observamos que há outras maneiras de estabelecer a soma dos ângulos internos de um polígono e que podem ser utilizadas pelos alunos.

Desta forma, os alunos têm condições de calcular, sem o uso de fórmulas, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono. Com o tempo, pela regularidade os alunos tendem a observar que o número de triângulos formados sempre será duas unidades a menos que o número de lados, o que dispensará o uso de desenhos dos polígonos. Assim, o professor pode formalizar o cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono: S_i = (n – 2) x 180°.

Para enriquecer a atividade e ampliar o raciocínio lógico matemático dos alunos, o professor pode propor uma aula no laboratório de informática propondo que façam uma pesquisa na internet buscando outras formas de demonstrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Um exemplo pode ser encontrado no site

http://clubes.obmep.org.br/blog/brincando-com-geometria-soma-dos-angulos-internos-de-um-triangulo/, acesso em 16 ago 2014.

Numa próxima aula, em sala de aula ou no laboratório de informática, os alunos podem apresentar as diferentes demonstrações encontradas, projetando ou por meio de representação na lousa ou no quadro.

Para avaliar a compreensão dos alunos sobre o cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono convexo, entregue-lhes uma folha e peça-os que calculem a soma dos ângulos internos de um pentágono, de um hexágono, de um eneágono e de um decágono.

Pode ser que alguns vão ter dificuldade de desenhar os polígonos, porém, o fato de buscar o desenho já indica o processo mental que está mobilizando. Ajude-os, orientando a fazer a forma do polígono distribuindo os vértices (pontos), de maneira que o interior fique mais ou menos na forma de um círculo. Lembre-se que o polígono não precisa ser regular. Em seguida, verifique se os alunos dividem cada polígono em triângulos traçando diagonais a partir de um único vértice, multiplicando o número de triângulos encontrados (que sempre será dois a menos que o número de lados do polígono) por 180°.

Solicite a alguns alunos para irem até o quadro ou a lousa e socializarem com os colegas a maneira como fizeram. Verifique se algum estudante teve dúvidas e se estas ainda permanecem. Assim, pode solicitar que colem a atividade no caderno ou que façam a exposição dos trabalhos num lugar reservado para que percebam a diferença entre os desenhos. Se necessário, represente um triângulo, um quadrilátero e um pentágono para que possam observar a sequência de triângulos obtida pelas diagonais que partem de um único vértice. Pode ser interessante que também tenham um momento de estudo reservado em sala com seus colegas, que também pode acontecer durante uma atividade proposta em sala de aula.