A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como desenvolver as habilidades de  interpretação de gráficos cartesianos que represente relações entre grandezas (H20) e utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22), é proposto como objetivo levar  os alunos a perceber que em qualquer circunferência, a razão do seu comprimento pelo seu diâmetro é sempre igual ao valor aproximado de π (pi).

2 horas/aula (50 minutos cada).

 

Conceitos básicos de circunferência e seus elementos (centro, raio, diâmetro, comprimento).

 

Comentário: Esta aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e o acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software GeoGebra – Apresentação

 

Nessa aula, a relação que utiliza o comprimento da circunferência para a determinação do valor aproximado de π (pi) será determinada com o auxílio do GeoGebra, por isso, ela deverá ser desenvolvida no laboratório de informática

 

Comentário: A aula também poderá ser desenvolvida em sala de aula, com um multimídia acoplado a um computador.

 

Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

 

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Professor(a), comece a aula retomando os conceitos de circunferência.

 

Circunferência é o lugar geométrico plano formado por todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixo, chamado centro da circunferência. Esta distância é chamada de raio da circunferência, geralmente denotado por r, e diâmetro da circunferência equivale ao dobro do raio.

 

Em seguida, questione:

 

­- Vocês conhecem, ou já ouviram falar sobre o número π (pi)?

Espera-se que os alunos já tenham conhecimento, ou se já ouviram falar, a respeito do número π (pi), deixe que discutam sobre o que eles entendem por este número. Podem surgir como resposta que o valor de π (pi) é 3,14, ou alguma outra aproximação. É importante deixar claro para os alunos que esta é apenas uma aproximação, pois o número π (pi)  é irracional e possui uma infinidade de casas decimais não periódicas.

 

Peça, agora, para os alunos abrirem a calculadora do próprio computador. Há a tecla π (pi) e, ao pressioná-la, é exibida uma aproximação com mais casas decimais para este número (figura 2).

 

Figura 2: Aproximação para PI.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Esclareça aos alunos que será estudada uma maneira prática de encontrar uma aproximação o valor de π (pi).

 

Primeiramente, peça para que abram o software GeoGebra e, para facilitar os estudos, que ocultem os eixos cartesianos. Para isto, basta clicar com o botão direito do mouse sobre um dos eixos e selecionar a opção Eixos (figura 3).

 

Figura 3: Ocultar os eixos cartesianos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Peça aos alunos para construírem uma circunferência qualquer. Para isto, basta selecionarem a opção Circunferência (Centro, Ponto), na barra de ferramentas (figura 4) e, em seguida, clicar sobre um ponto, onde será construído o centro da circunferência, e um ponto que estará sobre a circunferência.

 

Figura 4: Como construir uma circunferência tomando o centro e um ponto da circunferência.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Após construir a circunferência, construa o segmento de reta cujas extremidades são: o centro e o ponto da circunferência. Para construir esse segmento, clique na seta, indicada na figura 5 e, então, selecione a opção Segmento de Reta (Dois Pontos).

 

Figura 5: Como construir um segmento ligando dois pontos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Os alunos obterão uma figura semelhante à figura 6.

 

Figura 6: Construção da circunferência e do segmento.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Questione:

 

- O que este segmento representa para a circunferência?

Espera-se que os alunos percebam que este segmento tem extremidades coincidindo com o centro da circunferência e um ponto sobre ela. Logo, este segmento representa um raio da circunferência.

 

 

Em seguida, peça para os alunos selecionarem a opção Distância ou Comprimento (figura 7). Ao clicar sobre essa ferramenta,o comprimento da circunferência é exibido. Além disso, observe com os alunos que o comprimento do segmento (neste caso o raio da circunferência), também é mostrado no lado esquerdo da tela na Folha Algébrica (figura 8).

 

Figura 7: Exibir o comprimento da circunferência.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 8: Comprimento do segmento (raio).

Fonte: Arquivo do autor.

 

Solicite aos alunos que repitam o procedimento e que construam uma ou duas circunferências com comprimentos distintos. Posteriormente, peça-lhes para calcularem o quociente entre comprimento e o diâmetro (dobro do raio) de cada circunferência construída e que façam o registro em seu caderno.

 

Questione:

 

- O que podemos notar em todos os resultados encontrados?

Em todas as divisões, os resultados são números próximos de 3.14.

 

 

Observação: Apenas as primeiras casas decimais dos valores encontrados coincidem com as primeiras casas decimais do valor real de π (pi). Isto se dá devido ao fato do GeoGebra estar programado para aproximações com apenas duas casas decimais.

 

Peça aos alunos para aumentarem o número de casas decimais. Para isso, devem selecionar a selecionar Opções na barra de menus, depois Arredondamentos e, então, o número de casas desejadas (figura 9). Oriente-os a selecionarem 5 (cinco) casas decimais.

 

Figura 9: Como alterar o número de casas decimais.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Após aumentar o número de casas decimais, peça para os alunos refazerem os cálculos. E volte a questionar:

 

- O que podemos notar agora? Qual a diferença dos valores encontrados anteriormente para os encontrados agora?

Espera-se que os alunos percebam que o número de casas decimais dos resultados que coincidem com as casas decimais do π (pi) é maior. Isto se deve ao fato do valor do comprimento da circunferência e do raio estar com uma aproximação mais próxima do valor real.

 

Sugere-se que este processo seja repetido para 10 e 15  ordens decimais. Esse procedimento é importante para que os alunos possam perceber que, em cada um desses casos, a aproximação é melhor.

 

 

Comentário: Comente com os alunos que, quanto melhor for a aproximação de casas decimais, melhor será a aproximação de π (pi). No entanto, o computador e o software são limitados a um número máximo de casas decimais mas que, atualmente, existem computadores que permitem encontrar centenas de casas decimais de π (pi).

 

 

Em seguida, questione:

 

­

- Por que a divisão não é exatamente o valor de π (pi) até a última casa decimal apresentada pela calculadora?

Espera-se que os alunos percebam que é devido ao fato de π (pi) ser irracional. Desse modo, ele não pode ser escrito na forma fracionária que, no caso, corresponde à divisão do comprimento da circunferência pelo valor do diâmetro. Caso eles não percebam, apresente esta resposta a eles.

 

 

Observação: Pode ser comentado com os alunos que a aproximação mais utilizada pra π (pi) é 3,14.

 

 

- O que, então, significa a constante π (pi)?

A resposta esperada é que os alunos tenham percebido que é um "número fixo”  cujo valor, aproximado, pode ser determinado pela razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro.

 

- Sendo assim, dado o raio de uma circunferência podemos encontrar o seu comprimento? Como?

Espera-se que os alunos concluam que o comprimento da circunferência pode ser calculado por meio do produto de π (pi) pelo diâmetro.

 

- Se considerarmos a aproximação de π (pi) igual a 3,14, qual é o valor do comprimento de uma circunferência de raio 5?

O resultado obtido deverá ser dado pelo produto de 3,14 x 10, que é igual a 31,4.

 

 

Observação: Para finalizar, permita que os alunos construam uma circunferência, muito grande ou muito pequena, para verem que este resultado é válido para qualquer circunferência. 

Para conhecer a história do número π (pi):

http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html. Acesso em 18 set. 2014.

 

Pode pedir para os alunos assistirem, em casa, o seguinte vídeo, para uma maior fixação do conteúdo.

https://youtube.googleapis.com/v/r16Aw0wWGxU%26source=uds%26autoplay=1. Acesso em 18 set. 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínua, cumulativa e sistemática em todo o processo. Sugere-se observar a participação efetiva do aluno, individualmente ou em dupla, quando executadas as atividades propostas, tendo como critério o envolvimento do aluno com as atividades e a motivação em apresentar suas respostas para a turma.