A fim de desenvolver a competência da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM:

 

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

 

Mais especificamente, avaliar as habilidades:

 

• Identificar relações algébricas que expressem relações entre grandezas (H19).
• Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos (H20).
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação (H22).

 

São propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• realizar cálculos do perímetro de polígonos;
• realizar cálculos da área de quadrados;
• generalizar perímetro de polígonos cujos valores dos lados são desconhecidos;
• generalizar área de figuras compostas por quadrados cujos valores dos lados são desconhecidos;

1 a 2 horas/aula de 50 minutos.

• Cálculo do perímetro de polígonos.
• Cálculo da área de quadrados.

Professor(a), inicie a aula propondo o cálculo do perímetro e da área de dois ou mais quadrados, como segue ilustrado na figura 1.

 

 

Figura 1: Quadrados para cálculo do perímetro e da área

Fonte: Arquivo do autor

 

 

COMENTÁRIO: É interessante que retome, se possível, os mesmos exemplos que outrora possam ter sido estudados nos momentos dedicados ao estudo da geometria. Desta forma, potencializa-se a aproximação do(a) aluno(a) com os conteúdos, de modo que ele visualize conexões entre a geometria e a álgebra.

 

Saliente que, dados os quadrados acima, pode-se facilmente calcular seus respectivos perímetros (medida do contorno, que no caso corresponde à soma das medidas de todos os lados) e áreas (que corresponde ao quadrado da medida do lado ou ao produto da medida do lado por ela mesmo). Posteriormente, solicite que preencham o quadro abaixo com tais informações, tal como no exemplo:

 

 

Quadro 1: Perímetro e área dos quadrados

Quadrados	Perímetro (cm)	Área (cm⊃2;)
Quadrado A	2 + 2 + 2 + 2 = 4 x 2 = 8
Quadrado B

Fonte: Arquivo do autor

 

 

OBSERVAÇÃO: É importante que o aluno expresse todo o processo, de modo a não escrever apenas o resultado. Isso será relevante para a generalização.

 

Em seguida proponha o seguinte problema:

 

- Mas, e se quisermos determinar uma maneira geral para expressar o perímetro e a área de um quadrado qualquer?

 

Destaque que deverão resolvê-lo coletivamente. Ressalte primeiro que, se é um quadrado qualquer, não se sabe suas dimensões, portanto o que se tem é algo como o que está representado na figura 2:

 

 

Figura 2: Quadrado cuja medida do lado é desconhecida

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Registre que, como se está buscando uma forma de expressar o perímetro e a área de qualquer que seja o quadrado, o tamanho da medida do lado pode variar, por isso, uma das maneiras de se referir ao comprimento (medida) do lado é chamando-o de “lado”.

Lembre-os que o fato de considerar um lado de medida qualquer não muda a forma de calcular a área ou o perímetro do quadrado, isso pode ser importante para salientar que a forma de lidar com expressões algébricas é semelhante às expressões numéricas. Dê continuidade a partir do tópico:

 

• Generalizando o perímetro do quadrado

 

Retome as considerações feitas sobre o perímetro do quadrado A, presentes no quadro 1. Caso tenha o registro ainda na lousa, utilize-o. Se necessário refaça, de modo que o aluno possa observar a relação direta entre os perímetros dos quadrados de lado 2 cm e de lado qualquer (lado).

 

 

Quadro 2: Generalizando o perímetro do quadrado

Quadrados	Perímetro (cm)
Quadrado (lado 2 cm)	2 + 2 + 2 + 2 = 4 x 2
Quadrado (lado qualquer)	lado + lado + lado + lado = 4 x lado

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Conclua dizendo que agora se tem uma expressão Algébrica que representa o perímetro de qualquer quadrado, independente da medida do seu lado. Pode-se reforçar essa ideia ao perguntar a alguns estudantes quais tamanhos para lados sugerem e dizer imediatamente a resposta, baseado na expressão.

 

Após concluir, apresente a seguinte atividade:

 

Atividade 1: Generalize o perímetro de cada figura abaixo (considere todos os lados com a mesma medida).

 

 

Figura 3: Triângulo e hexaedro

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Resposta esperada:

• O perímetro do triângulo é igual a 3 vezes o lado.
• O perímetro do hexágono é igual a 6 vezes o lado.

 

COMENTÁRIO: Incentive os(as) alunos(as) a utilizarem símbolos diferentes do clássico “x” para representarem os lados.

 

• Generalizando a Área do Quadrado

 

Retome as considerações feitas sobre a área do quadrado A presentes no quadro 1. Caso tenha o registro ainda na lousa, utilize-o. Se necessário refaça, de modo que o aluno possa observar a relação direta entre as áreas dos quadrados de lado 2 cm e de lado qualquer (lado) e, assim completar a segunda linha do quadro, usando agora a medida genérica do lado do quadrado.

 

 

Quadro 3: Generalizando a área do quadrado

Quadrados	Área (cm⊃2;)
Quadrado (lado 2 cm)	2 x 2 = 2⊃2;
Quadrado (lado qualquer)	lado x lado = (lado)⊃2;

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Como foi feito no estudo do perímetro, pergunte a alguns estudantes exemplos de medidas de lados de quadrados e, utilizando a expressão que representa a área do quadrado, estabeleça respostas imediatas.

 

Após isso, apresente a figura de um cubo de aresta “a” e solicite que criem uma expressão para a área da superfície a partir de sua planificação.

 

Atividade 2: Observe o hexaedro regular  (figura 4) e esboce sua planificação. Após criar a planificação, crie uma expressão que resulte na área da superfície de um cubo cuja aresta tenha uma medida arbitrária.

 

 

Figura 4: Hexaedro regular

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Resposta esperada:

 

Figura 5: Planificação do hexaedro regular

Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001778/0000021241.png (acesso 09 out. 2014)

 

 

Como a figura ilustra a planificação de um hexaedro regular, basta criar uma expressão para a área de um quadrado, nesse caso de lado “a” e multiplicar por 6. Portanto, tem-se:

6 x a⊃2;.

 

OBSERVAÇÃO: O símbolo "x" é utilizado como sinônimo de multiplicação, mas pode ser substituído pelo "ponto".

 

Espera-se que com essa aula possa contribuir para os conhecimentos algébricos do(a) estudante, exemplificando algumas formas de utilizar a álgebra como ferramenta para generalização.

Cálculo Algébrico – Introdução

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=vnccH1ZlL5g (acesso 09 out. 2014).

O processo de avaliação poderá ocorrer em todas as etapas, mediante a participação e o envolvimento dos alunos. Sugere-se ainda a avaliação, individualizada, com base nas atividades propostas.