A fim de desenvolver as competências da área 6 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação, tais como a utilização de informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências (H24), a resolução de problemas com dados apresentados em tabelas ou gráficos (H25) e analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos (H26), são propostos como objetivos para esta aula que o aluno:

• analise e interprete uma tabela;
• entenda o conceito de matriz como ferramenta para análise de uma tabela;
• compreenda o que é a ordem de uma matriz;
• identifique os elementos da matriz pela forma .

2 horas/aula (50 minutos cada).

Leitura e interpretação de tabela.

 

Professor(a), inicie a aula perguntando aos alunos se eles já ouviram falar de matriz e de sua finalidade. Deixe-os apresentarem o que já conhecem e diga que essa e as próximas aulas tratarão sobre o tema. Posteriormente, apresente-lhes a seguinte situação:

 

SITUAÇÃO 1:

 

Uma empresa de lava jato oferece serviço a três tipos de veículos: CARROS, CAMINHONETES E VANS. Estão inclusos nos serviços lavar, aspirar e encerar.  A tabela abaixo mostra o tempo gasto (em minutos) para realizar cada um dos tipos de serviços em cada um dos diferentes automóveis.

 

Tabela 1: Tabelas de dados.

	CARRO	CAMINHONETE	VAN
Lavar	25	30	30
Aspirar	20	20	60
Encerar	30	30	50

Fonte: Arquivo do autor

 

Observação: Esta tabela pode ser construída previamente pelo professor, para ser distribuída aos alunos no início da aula.

 

Em seguida, leve os alunos a observarem o significado de cada célula da tabela, isto é, o que cada número da tabela está indicando. Por exemplo:

• Para saber o tempo necessário para lavar um carro, basta olhar para o elemento que está na primeira linha e na primeira coluna da tabela, ou seja, 25 minutos.

• Para saber o tempo necessário para encerar uma caminhonete, basta olhar para o elemento que está na terceira linha e segunda coluna, ou seja, 30 minutos.

• Para saber o tempo necessário para aspirar uma van, basta olhar para o elemento que está na segunda linha e terceira coluna, ou seja, 60 minutos.

 

Destaque então para os alunos que toda tabela semelhante à dada, contendo dados numéricos, pode ser representada por uma MATRIZ. Ressalte que, na matriz, os dados são dispostos em linhas e colunas e, no caso da tabela anterior,  a matriz a ela relacionada terá os dados dispostos em 3 linhas e 3 colunas e deverá ser representada e nomeada da seguinte forma:

Lê-se: matriz A.

 

Destaque com os alunos que:

 

1. Toda matriz é nomeada por uma letra maiúscula do alfabeto.

2. Pode-se usar, no lugar dos parênteses, colchetes para representar matrizes.

3. Como a matriz tem três linhas e três colunas ela é classificada em uma matriz do tipo 3 x 3, onde o primeiro elemento representa o número de linhas e o segundo elemento o número de colunas.

 

Professor(a), ressalte que, assim como na tabela, o elemento que está na primeira linha e na primeira coluna da tabela, indica o tempo necessário para lavar um carro ( 25 minutos), o elemento que está na primeira linha e segunda coluna indica o tempo necessário para lavar uma caminhonete e assim por diante. A posição dos elementos também pode ser explorada, questionando, por exemplo, qual seria a posição, na matriz ocupada pelo elemento 50.

 

Após observar essas questões com os alunos, peça-lhes para construírem uma matriz que represente os dados envolvendo apenas carros e vans.

 

Espera-se que os alunos cheguem à matriz:

Em seguida, baseando-se na matriz M, questione:

 

-  Qual o nome dessa matriz?

    Espera-se que os alunos respondam matriz M.

 

-  Quantas linhas e quantas colunas essa matriz possui? Qual é o tipo dessa matriz?

   Espera-se que os alunos respondam que esta matriz possui 3 linhas e 2 colunas. Logo, essa matriz é do tipo 3 x 2.

 

-  O que o número 50, na matriz, representa para o problema?

   Espera-se que os alunos percebam que o 50 indica o tempo gasto para encerar uma van.

 

-  O que o número 60, na matriz, representa para o problema?

   Espera-se que os alunos percebam que o 60 indica o tempo gasto para aspirar uma van.

 

-  Na matriz M, o número 30 aparece duas vezes, qual a diferença da posição desses números para significados no problema?

   Espera-se que os alunos percebam que o 30 da terceira linha e primeira coluna representa o tempo gasto para encerar um carro, já o da primeira linha e segunda coluna

   representa o tempo gasto para lavar uma van.

 

Após explorar a matriz inicial, peça então para os alunos representarem matricialmente (na forma de matriz), as seguintes tabelas:

 

SITUAÇÃO 2:

 

Tabela 2: Notas de dois alunos nas disciplinas de Matemática, Química e Física.

	Matemática	Química	Física
Bruno	98	79	90
Taís	60	80	65

Fonte: Arquivo do autor.

 

Espera-se que os alunos construam a seguinte matriz:

 

Então questione:

 

-  O que o valor 98 e 90 representam?

   Espera-se que os alunos percebam que estes valores representam as notas de Bruno nas matérias Matemática e Física, respectivamente.

 

-  Em quais matérias Bruno tirou nota maior do que Taís?

   Espera-se que os alunos percebam que em todas as matérias as notas de Bruno foram maiores do que as de Taís.

 

SITUAÇÃO 3:

 

Tabela 3: Número de vitórias, empates e derrotas dos quatro primeiros colocados do campeonato Brasileiro da Série A de 2014 até a 28ª rodada.

	Vitória	Empate	Derrota
Cruzeiro	17	5	6
Internacional	15	5	8
São Paulo	14	8	7
Atlético - MG	13	8	7

Fonte: Arquivo do autor.

 

Espera-se que os alunos construam a seguinte matriz:

COMENTÁRIO: É interessante que se explore os resultados de times da região, pois dessa forma o professor tem como elaborar mais questionamentos utilizando a matriz formada.

 

Após os alunos compreenderem que podemos representar uma tabela por uma matriz, dê o conceito formal de matriz. O conceito formal pode ser encontrado do endereço <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/416/2011_00288_ALIPRECIDIO_JOSE_DE_SIQUEIRA_FILHO.pdf?sequence=1> (acesso em 18 out. 2014). Segue o conceito:

 

Uma Matriz m x n (lê-se m por n) com m e n pertencentes ao naturais não nulos,  é qualquer tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela será representada entre parênteses (    ), entre colchetes [    ] ou entre barras duplas II    II. Podemos representar genericamente uma matriz M do tipo m x n da seguinte maneira:

 

SITUAÇÃO 4:

 

Destaque aos alunos que para representar um elemento "a" de uma matriz A, localizado na linha "i" e coluna "j", utilizamos a notação Para que eles compreendam melhor essa notação, utilize a matriz B e questione:

 

-  Qual a ordem da matriz B?

   A resposta esperada dos alunos é que como a matriz tem quatro linhas e três colunas, ela é de ordem 4 x 3.

 

-  Qual é o elemento ? O que ele significa para o problema?

   Espera-se que os alunos respondam que é o elemento que está localizado na primeira linha e na primeira coluna, neste caso, o número 17. Este número indica que o

   cruzeiro venceu dezessete vezes no campeonato.

 

-  Qual é o elemento ? O que ele significa para o problema?

   Espera-se que os alunos respondam que é o elemento que está localizado na segunda linha e na primeira coluna, neste caso, o número 15. Este número indica que o

   Internacional não venceu no campeonato.

 

-  Qual é o elemento ? O que ele significa para o problema?

   Espera-se que os alunos respondam que é o elemento que está localizado na terceira linha e na segunda coluna, neste caso, o número 8. Este número indica que o

   São Paulo empatou uma vez no campeonato.

 

-  Qual o time que teve mais vitórias? Quantas? Esse dado ocupa qual posição?

   O time que mais venceu foi o Cruzeiro, com 17 vitórias. Esse dado ocupa a posição b₁₁.

 

-  Qual o time sofreu 8 derrotas? Qual é a posição ocupada na matriz, por esse valor?

   O time que sofreu 8 derrotas é o Internacional. Esse valor ocupa posição b₃₂.

 

-  Quais elementos da matriz são iguais a 5?

   Espera-se que os alunos percebam que os elementos da matriz que são iguais a zero são    e   .

 

-  Quais elementos da matriz são iguais a 8?

   Espera-se que os alunos percebam que os elementos da matriz que são iguais a um são: . 

 

-  Quais elementos da matriz são iguais a 7?

  Espera-se que os alunos percebam que os elementos da matriz que são iguais a dois são:

 

-  Qual elemento é maior,    ou  ?

   Espera-se que os alunos percebam que é maior.

 

ATIVIDADES DE CONTEXTUALIZAÇÃO:

 

1.      Escreva uma matriz A, de ordem 5 x 3, onde o termo é 2 se i + j é par e 1 se i + j é ímpar.

 

2.      Escreva uma matriz I, de ordem 2 x 2, onde é 1 se i = j e 0, caso contrário.

 

3.      Observe a matriz A, a seguir:

 

 

a) Diga qual a ordem desta matriz.

 

b) Como pode ser nomeado o elemento cujo valor na matriz é 6.

 

c) Escreva uma tabela que envolva alguma situação que possa ser representada pela matriz A.

 

 

4) (UFRJ) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada elemento a_ij representa quantas unidades de material j serão empregados para fabricação de roupas do tipo i. [atividade disponível em <http://www.profezequias.net/matrix.html> (acesso 18 out. 2014)]

 

 

a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 2?

b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.

 

Jogo envolvendo memória e matriz.

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/matrizes_futebol/Matrizes_Futebol/. Acesso em 18 out. 2014.

 

Estudo do conteúdo Matrizes

http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php. Acesso em 18 out. 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínua, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.