22/10/2014
Guilherme dos Santos Martins Dias, Angela Cristina dos Santos, Antomar Araújo Ferreira
Modalidad / Nivel de Enseñanza | Disciplina | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Álgebra |
A fim de desenvolver as competências da área 6 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação, tais como a utilização de informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências (H24), a resolução de problemas com dados apresentados em tabelas ou gráficos (H25) e a análise de informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos (H26), é proposto como objetivos para esta aula que o aluno consiga identificar matrizes: diagonal, identidade, transposta, simétrica e triangular.
Conceito e ordem de matriz.
Esta aula é continuação da aula: Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas - Parte 1: Compreendendo e conceituando matriz, disponível no portal do professor, no endereço <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58306>. Acesso em 19 out. 2014.
Professor(a), inicie a aula retomando com os alunos o conceito de matriz. Caso seja necessário, retome a aula citada anteriormente. Então retome também o exemplo da aula anterior:
Tabela 1: Tabelas de dados.
|
CARRO |
CAMINHONETE |
VAN |
Lavar |
25 |
30 |
30 |
Aspirar |
20 |
20 |
60 |
Encerar |
30 |
30 |
50 |
Fonte: Arquivo do autor
Professor(a), a partir desse exemplo, dê continuidade ao estudo de matrizes, agora destacando a classificação e a caracterização de algumas matrizes particulares.
Peça aos alunos para representarem por meio de uma matriz as informações relativas ao tempo gasto em cuidados com um carro, no caso, o tempo para lavar, aspirar e encerar.
Caso os alunos tenham dificuldade para representar a matriz citada, faça os seguintes questionamentos:
- Onde se encontram essas informações?
Espera-se que os alunos observem que essas informações se encontram na primeira coluna.
- Se essas informações se encontram na primeira coluna, qual é a posição (vertical ou horizontal) em que estão dispostas?
Espera-se que os alunos respondam que, como se trata de uma coluna, a matriz deverá ser vertical.
- Nesse caso, qual deve ser o número de linhas e o número de colunas da matriz pedida? Qual é a ordem dessa matriz?
Observando as questões levantadas e a tabela espera-se que os alunos respondam que a matriz deve ter 3 linhas e 1 coluna, logo a ordem deve ser 3 x 1.
Professor(a), após esses questionamentos, retome a pergunta:
- Qual é essa matriz?
Espera-se que a matriz apresentada pelos alunos seja:
Eles devem perceber que esta matriz tem 3 linhas e apenas 1 coluna, portanto é de ordem 3 x 1.
Então, apresente para os alunos a denominação de matriz coluna para as matrizes desta natureza, isto é, matriz coluna é toda matriz que possui apenas uma coluna.
Observação: Deve ser ressaltado que para ser uma matriz coluna, o número de linhas pode ser qualquer, desde que tenha apenas uma coluna.
Peça para os alunos considerarem as informações da tabela, referentes apenas ao enceramento dos veículos e que escrevam a matriz que relaciona essas informações da tabela. Se necessário, faça os seguintes questionamentos:
- Onde se encontram essas informações?
Espera-se que os alunos observem que essas informações se encontram na terceira linha.
- Se as informações solicitadas estão na terceira linha, qual é a posição (vertical ou horizontal) em que se encontram dispostas?
Espera-se que os alunos respondam que, como se trata de uma linha, a matriz deverá ser horizontal.
- Nesse caso, qual deve ser o número de linhas e o número de colunas da matriz pedida? Qual é a ordem dessa matriz?
Observando as questões levantadas e a tabela, espera-se que os alunos respondam que a matriz deve ter 1 linha e 3 coluna, logo a ordem deve ser do tipo 1 x 3.
- Como se representa, então, essa matriz?
A matriz que deve ser apresentada pelos alunos é a seguinte:
Eles devem perceber que esta matriz tem apenas 1 linha e 3 colunas, portanto é de ordem 1 x 3.
Então, apresente para os alunos a denominação de matriz linha para as matrizes desta natureza, isto é, que possuem apenas uma linha.
Observação: Deve ser ressaltado que para ser uma matriz linha, o número de colunas pode ser qualquer, desde que tenha apenas uma linha.
Peça para os alunos escreverem a matriz que representa a tabela completa do problema.
Espera-se que os alunos apresentem a seguinte matriz:
Então destaque para os alunos que essa matriz é de ordem 3 x 3, ou seja, o número de linhas e de colunas são iguais. Apresente então para eles a denominação de matriz quadrada para as matrizes que possuem essa característica, isto é, toda matriz quadrada é uma matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas.
Comentário: Aqui pode ser feita uma analogia a um quadrado, que tem a medida da base igual à medida da altura.
Para verificar se compreenderam o conceito de matriz quadrada, solicite aos alunos que escrevam as seguintes matrizes e que em seguida digam se são ou não quadradas, justificando.
1) Observando a tabela dada, escreva uma matriz que representa o tempo necessário para lavar, aspirar e encerar um carro e uma caminhonete.
Espera-se que os alunos percebam que essa matriz será do tipo 3 x 2, logo o número de linhas será diferente do número de colunas, portanto não é uma matriz
quadrada.
2) Observando a tabela dada, escreva uma matriz que representa o tempo necessário para lavar e encerar uma caminhonete e uma van.
Espera-se que os alunos percebam que essa matriz será do tipo 2 x 2, logo o número de linhas será igual ao número de colunas, portanto é uma matriz
quadrada.
3) Observando a tabela dada, escreva uma matriz que representa o tempo necessário para aspirar um carro e uma caminhonete.
Espera-se que os alunos percebam que essa matriz será do tipo 1 x 2, logo o número de linhas será diferente do número de colunas, portanto não é uma matriz
quadrada, e sim uma matriz linha.
4) Observando a tabela dada, escreva uma matriz que representa o tempo necessário para aspirar uma van.
Espera-se que os alunos percebam que essa matriz será do tipo 1 x 1, logo o número de linhas será igual do número de colunas, portanto é uma matriz quadrada. Essa
matriz poderá ser representada por: A = ( 60 ) ou A = [ 60 ] ou A = II 60 II.
Na situação do lava jato, descrita no início, ouve um dia em que apareceram veículos em que seriam realizados apenas um serviço. No caso: 10 carros para serem lavados, 7 caminhonetes para serem aspirados e 1 van para encerar.
Então questione:
- Qual matriz representa, neste dia, o serviço realizado nesses veículos, no lava jato?
Espera-se que os alunos cheguem à seguinte matriz:
Em seguida, questione com eles:
- Quantas linhas e colunas essa matriz possui? Esses números são iguais? Então como podemos chamar essa matriz?
Espera-se que os alunos percebam que essa matriz tem 3 linhas e 3 colunas, sendo assim de ordem 3 x 3. Portanto, é uma matriz quadrada.
- Que característica pode ser identificada nesta matriz com respeito aos elementos ?
Espera-se que os alunos percebam que apenas os elementos da diagonal são diferentes de zero.
Apresente então para eles a denominação de matriz diagonal. Matriz diagonal é toda matriz quadrada, onde a diagonal tem pelo menos um elemento diferente de zero e os elementos que não pertencem à diagonal, iguais a zero.
Observações:
No problema do lava jato, ouve um dia em que apareceram 1 carro para lavar, 1 caminhonete para aspirar e 1 van para encerar, nenhum outro serviço foi feito nesse dia. Questione:
- Qual matriz representa este dia de trabalho no lava jato?
Espera-se que os alunos cheguem à seguinte matriz:
Os alunos devem chegar à conclusão de que C é uma matriz quadrada, de ordem 3 x 3, diagonal e todos os elementos da diagonal são iguais a 1.
Defina, então, com os alunos que toda matriz quadrada com essas características, recebem o nome de matriz identidade.
Após os alunos compreenderem a definição de matriz identidade, questione para os alunos:
- Olhando para a matriz A, o que as linhas e as colunas representam para essa matriz?
Espera-se que os alunos retomem que as colunas da matriz A indicam o tipo de automóvel e as linhas indicam o tipo de serviço prestado pelo lava jato.
- Como seria esta matriz se invertêssemos a função das colunas e das linhas, isto é, utilizássemos as linhas para indicar o tipo de automóvel e as colunas para
indicar o tipo de serviço prestado pelo lava jato?
Espera-se que os alunos apresentem a seguinte matriz.
- Como a matriz D pode ser relacionada com a matriz A?
Espera-se que os alunos percebam que a primeira linha da matriz A é a primeira coluna da matriz D; a segunda linha da matriz A é a segunda coluna da matriz D; a terceira linha da matriz A é a terceira coluna da matriz D.
Observações:
Defina então para os alunos que a matriz D obtida trocando as linhas por colunas de uma matriz A é chamada matriz transposta de A. Além disso, quando uma matriz é igual à sua transposta, esta matriz recebe o nome de matriz simétrica.
Considere um dia de serviço no lava jato em que houve:
Peça então para que os alunos construam uma matriz que represente este dia de serviço no lava jato. Espera-se que os alunos encontrem a seguinte matriz:
Então questione:
- Quais são as características dessa matriz?
Os alunos devem chegar à conclusão de que D é uma matriz quadrada, de ordem 3 x 3, e que todos os elementos que estão de um dos lados da diagonal são iguais a 0.
Definir então para os alunos que as matrizes com essa característica recebem o nome de matriz triangular.
Observação: Observe com os alunos que há dois tipos de matriz triangular.
- 7 vans apenas para encerar;
- 3 caminhonetes para aspirar e encerar;
- 4 carros para lavar, um para aspirar e 2 apenas, para encerar.
Nesse caso, a matriz triangular inferior será:
ATIVIDADES DE CONTEXTUALIZAÇÃO
1- Caracterize as seguintes matrizes, dizendo qual a ordem e se é linha, coluna, diagonal, identidade, triangular ou simétrica:
2- Observe a matriz a seguir
a) Qual é a ordem dessa matriz?
b) Classifique-a.
c) Escreva um problema, que pode ser representado pela matriz A.
d) Utilizando os dados organizados na matriz A, dê um exemplo de uma matriz:
d.1) linha;
d.2) coluna;
d.3) transposta;
d.1) triangular.
Jogo envolvendo memória e matriz.
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/matrizes_futebol/Matrizes_Futebol/. Acesso em 18 out. 2014.
Estudo do conteúdo Matrizes.
http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes2.php . Acesso em 18 out. 2014.
A avaliação deverá ser feita de modo contínua, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.
O professor poderá também adotar como critério para avaliação:
Cinco estrelas 2 calificaciones
Denuncia opiniones o materiales indebidos!
27/10/2014
Cinco estrelasExcelente
22/10/2014
Cinco estrelasGostei do exemplo e do desenrolar do assunto.