A fim de desenvolver a competência da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:

• Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

 

Mais especificamente, avaliar as habilidades:

• Identificar características de figuras planas ou espaciais (H7).
• Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8).

 

São propostos como objetivos para essa aula que os alunos sejam capazes de:

• observar as posições entre retas e as possíveis relações existentes entre os segmentos;
• realizar cálculos de proporção envolvendo medidas de segmentos;
• compreender o Teorema de Tales;

2 a 3 horas/aula de 50 minutos.

• Operações Básicas (multiplicação e divisão).
• Razão e Proporção.
• Frações.
• Retas paralelas e transversais.

Esta aula tem como tema principal o Teorema de Tales. Para que a definição do teorema seja estudada, é necessário relembrar com os(as) estudantes os conceitos de retas paralelas e transversais, além do conceito de razão e proporção. A proposta de aula está dividida em duas etapas. A primeira é constituída pelo estudo dos conceitos de retas paralelas e transversais utilizando o software GeoGebra, que está disponível em http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/ (acesso 5 nov. 2014). Na segunda, faz a verificação do Teorema de Tales, tendo como recurso metodológico o mesmo software citado anteriormente.

 

1º Etapa: Revisando retas paralelas e retas transversais

 

Professor(a), nesta primeira etapa os(as) alunos(as) irão retomar o estudo do conceito de retas paralelas e retas transversais. Portanto, questione os(as) estudantes sobre o entendimento que eles possuem em relação aos termos ‘paralelas’ e ‘transversais’. Alguns podem já ter ouvido os termos ao se referir, por exemplo, a ruas de um determinado local. Em seguida, poderá ser apresentada a definição de retas paralelas e de retas transversais:

 

“Duas ou mais retas são paralelas quando não há ponto de intersecção entre elas, ou seja, quando elas não se interceptam.”

 

“Uma reta é chamada de transversal quando ela intercepta outras retas em pontos distintos” (DANTE, 2014, p. 235. Adaptado pelo autor).

 

Professor(a), caso seja necessário sanar alguma dúvida, utilize objetos da sala de aula para exemplificar o conceito de paralelas e de transversal. Um exemplo é realizar, juntamente com os(as) estudantes a comparação entre as bordas superior e inferior do quadro, da porta da sala, ou mesmo da janela, desde que sejam de fato paralelas. Para exemplificar as retas transversais poderá ser utilizada a comparação entre as bordas superior e inferior e uma borda lateral, seja do quadro, da porta ou da janela.

 

OBSERVAÇÃO: Professor(a), ressalte com os(as) alunos(as) que uma reta não possui início e nem fim. Após o diálogo sobre os exemplos de retas paralelas e transversais presente nos objetos da sala de aula, poderá ser exposta no quadro a Figura 1:

 

 

Figura 1: Retas Paralelas e Transversais

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Professor(a), explique aos alunos(as) que para representar retas utilizam-se letras minúsculas do alfabeto. No caso da Figura 1, tem-se que as retas ‘r’, ‘s’ e ‘t’ são paralelas, enquanto as retas ‘m’ e ‘n’ são transversais às demais retas paralelas. O conjunto formado pelas retas paralelas pode ser denominado como feixe de retas paralelas. Para que esta definição seja usada é preciso que o conjunto contenha, no mínimo, duas retas paralelas.

O próximo passo será a construção dessas retas utilizando o software GeoGebra.

 

COMENTÁRIO: Para a realização dessa etapa aconselhamos que uma mesma versão do software seja instalada em todos os computadores que serão utilizados pelos alunos(as).

 

Professor(a), oriente os(as) alunos(as) a seguirem as etapas de construção descritas a seguir:

 

1º Passo: Conhecendo o GeoGebra

 

Peça para os(as) estudantes abrirem a janela inicial do software GeoGebra.

 

 

Figura 2: Tela Inicial do GeoGebra

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Como não iremos utilizar o Plano Cartesiano, peça aos alunos(as) para ocultarem os eixos. Para isso, clique em “X” para fechar a “Janela de Álgebra” e, em seguida, clique na imagem do plano cartesiano que aparecerá logo após fechar a janela citada anteriormente, conforme mostra a Figura 3:

 

 

Figura 3: Exclusão dos eixos do Plano Cartesiano

Fonte: Arquivo do Autor

 

 

2º Passo: Criando uma reta a partir de dois pontos

 

Para construir uma reta, o(a) aluno(a) deverá clicar na opção ilustrada na Figura 4 e selecionar a opção “reta”. Em seguida, irá clicar em dois lugares diferentes na janela de construção do software. Será criada então uma reta, e nela estarão marcados dois pontos.

 

 

Figura 4: Construindo uma reta qualquer

Fonte: Arquivo do autor

 

 

3º Passo: Construção de retas paralelas

 

Para construir uma reta que seja paralela à primeira, deve-se clicar na opção apresentada pela Figura 5, na barra de ferramentas. Nas opções que aparecerem, selecione a segunda, descrita como ‘Reta Paralela’. Após selecionar esta opção clique em um ponto qualquer da janela de construção, que não pertença a reta anterior, e, após aparecer um ponto, clique sobre a reta construída inicialmente. Observe que uma nova reta será criada, e esta será paralela à reta anterior.

 

 

Figura 5: Construção de reta paralela

Fonte: Arquivo do autor

 

 

4º Passo: Construindo mais retas paralelas às anteriores

 

Solicite aos(as) alunos(as) que repitam o 2º passo para construírem a terceira reta, paralela às duas anteriores. Para isso, peça-lhes que sigam os passos 2 e 3, no entanto, ressalte que é necessário clicar nas duas retas já construídas uma vez que, se uma reta é paralela a uma das duas anteriores, então ela também será paralela à terceira reta.

 

5º Passo: Construção de retas transversais

 

Este passo destina-se à construção das retas transversais. Para isso, é preciso clicar na opção indicada na Figura 6, na barra de ferramentas e selecionar a opção “Reta”. Depois, deve-se clicar em um ponto qualquer da janela de construção e, após aparecer a imagem do ponto, clicar em outro local da janela de modo que a reta a ser desenhada intersecte as três retas paralelas. Em seguida, o(a) aluno(a) deverá repetir esse passo para construir outra reta transversal.

 

 

Figura 6: Construção de Retas Transversais

Fonte: Arquivo do autor

 

 

6º Passo: Escondendo objetos

 

Neste passo o objetivo é esconder os pontos que aparecem na imagem construída. Para isso, deve-se clicar na opção apresentada na Figura 7 e selecionar a opção “Exibir/Esconder Objeto”. Em seguida, basta clicar sobre cada um dos pontos que estão na imagem, e para finalizar clique na seta que aparece na barra de ferramentas e selecione a opção “Mover”. Observe que os pontos terão desaparecidos.

 

 

Figura 7: Escondendo Objetos

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

7º Passo: Salvando o arquivo construído

 

Neste último passo, solicite que o arquivo seja salvo. Para isso peça aos alunos(as) para clicarem na opção ‘Arquivo’ que está na barra de ferramentas e selecionar a opção ‘Gravar Como’. O programa irá abrir uma nova janela, na qual deverá ser selecionado o local onde se deseja gravar o arquivo. Após escolher o local, oriente os(as) estudantes para salvarem o arquivo com o nome de quem fez a construção (essa atividade pode ter sido realizada em dupla, sendo assim, o nome do arquivo deverá conter o nome dos membros da dupla). Sugestão: mario_alexandre_ttales_dd_mm_aaaa_9ano

 

Professor(a), os arquivos contendo as construções poderão ser utilizados como instrumento de avaliação da primeira etapa da aula.

 

 

2º Etapa: Verificando o Teorema de Tales

 

Professor(a), o primeiro passo para essa etapa é constituído pela identificação dos segmentos, sobretudo, dos segmentos correspondentes.

 

1º Passo: Marcando os pontos de interseção           

 

Para identificar os segmentos é necessário, inicialmente, identificar os pontos de interseção entre as retas. Para realizar essa tarefa utilizando o GeoGebra, selecione a ferramenta “Ponto” e, posteriormente a opção “Interseção de dois objetos”.

 

 

Figura 8: Interseção de Dois Objetos

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Após isso, selecione as retas que deseja encontrar os pontos de interseção. O resultado deve ser algo próximo ao que ilustra a figura 9.

 

 

Figura 9: Destacando os pontos de intersecção

Fonte: Arquivo do autor

 

 

2º Passo: Identificando os segmentos correspondentes

 

Professor(a), realize, em conjunto com os(as) alunos(as), o reconhecimento dos segmentos presentes na figura. Tome como base uma das retas transversais e solicite que sejam informados quais são segmentos formados por esta reta na figura. No caso, temos que os respectivos segmentos são:

 

Na reta m temos os segmentos AB; BC e AC.

Na reta n temos os segmentos DE; EF e  DF.

 

Explique aos estudantes que cada segmento de uma transversal possui o seu segmento correspondente na outra transversal, sendo aquele que foram formados utilizando-se as mesmas retas paralelas. Sendo assim, pergunte aos alunos(as):

 

- Qual é o segmento correspondente ao AB?

 

Resposta esperada: O segmento DE.

 

COMENTÁRIO: Este mesmo questionamento poderá ser realizado para os demais segmentos, com o objetivo de incentivar os alunos a entenderem a relação de correspondência.

 

3º Passo: Medindo os segmentos

 

Neste passo será calculada a distância entre um ponto e outro, determinando assim a medida do segmento. Para isso, clique na opção indicada na Figura 10 e selecione “Distância, Comprimento ou Perímetro”. Em seguida, clique sobre os pontos de interseção, dois a dois, e observe que irá surgir a medida da distância entre eles, conforme mostra a Figura 11.

 

 

Figura 10: Calculando Distâncias

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Figura 11: Medidas dos segmentos

Fonte: Arquivo do autor

 

 

4º Passo: Buscando uma relação entre as medidas dos segmentos correspondentes

 

Solicite aos estudantes que busquem relações entre as medidas dos segmentos correspondentes. Sugira que testem a multiplicação e a divisão entre eles. Nesse momento, o Teorema de Tales será constatado, ou seja, quando dividirem as medidas dos segmentos correspondentes, encontrarão o mesmo resultado.

Assim, de acordo com a figura 11, pode-se considerar as seguintes razões:

 

 

Consequentemente, é possível constatar uma proporção:

 

 

No resultado encontrado verifica-se que os valores não foram exatamente iguais. Essa pequena diferença gera uma excelente oportunidade de discutir com os(as) estudantes a questão da aproximação numérica, principalmente em relação à utilização de softwares. Apesar dessa diferença, o resultado é importante para que o(a) aluno(a), por meio da regularidade, perceba intuitivamente a propriedade que caracteriza o Teorema de Tales.

 

COMENTÁRIO: Professor(a) solicite a construção de outros segmentos e observarem novamente se haverá a igualdade entre as duas razoes. Sugira que variem as inclinações das retas transversais e a distância entre as retas paralelas.

 

5º Passo: Construindo a definição

 

Professor(a), nesta etapa da aula (após construírem diversas configurações durante o passo anterior) os(as) alunos(as) já sabem e mostraram a veracidade do Teorema de Tales, contudo, falta formalizar sua definição. Construa-a coletivamente, chegando a algo semelhante a:

 

“Se duas retas transversais interceptam um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer formados por uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra transversal” (DANTE, 2014, p. 236. Adaptado pelo autor).

 

Ao construírem tal definição com os alunos(as), atente para alguns termos que compõem a mesma. Reforce com eles que o termo razão também pode ser compreendido como uma fração, na qual envolverá as medidas dos segmentos. Outro termo que merece destaque é o “correspondente”.

 

Professor(a), após a compreensão do que vem a ser considerado como razão e como segmento correspondente na definição do Teorema, apresente aos estudantes a representação matemática dessa definição, utilizando a imagem anterior. Um exemplo dessa representação será:

 

Contudo, outras relações também poderão ser utilizadas para exemplificar o Teorema, por exemplo:

 

Para que haja uma maior compreensão das relações que o Teorema estabelece, apresente o exemplo a seguir:

 

Exemplo:

Calcule a medida x na figura, sabendo que todas as medidas são expressas em centímetros e r//s//t.

 

 

Figura 12: Aplicação do Teorema de Tales

Fonte: Arquivo do autor

 

Resolução:

 

Professor(a), explique aos estudantes que as medidas 2, 3, 5 e x correspondem ao comprimento dos segmentos, conforme indica a figura. Como as retas r, s e t são paralelas, então as outras duas retas são as transversais em relação às paralelas. Ressalte com os(as) alunos(as) que é importante ficar atento em relação a qual transversal estará sendo utilizada para escrever a primeira razão, uma vez que, quando for escrever a segunda razão, será preciso considerar os segmentos correspondentes na outra transversal. Assim, uma solução para este exercício será:

 

Um exemplo semelhante a este poderá ser construído no software GeoGebra, para que os alunos verifiquem, em relação às medidas, a aplicação do Teorema de Tales. Como na etapa anterior as condições favoráveis para a aplicação do Teorema já haviam sido construídas, poderá ser utilizado o mesmo arquivo.

A seguir são apresentados alguns exercícios que envolvem a aplicação do Teorema de Tales em situações do cotidiano.

 

Atividades:

 

1 - (UFMA) Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para a rua 2, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e que a frente total para a rua 2 é de 480m, qual a medida da frente de cada lote, para a rua 2, respectivamente?

 

 

Figura 13: Lotes

Fonte: http://pt.slideshare.net/xavier1977/exerccios-sobre-teorema-de-tales-e-semelhana-de-tringulos (acesso 07 nov. 2014).

 

 

Padrão de resposta esperada: 48m, 96m, 144m, 192m, respectivamente, do menor para o maior lote.

 

2 - (Saresp – SP) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III.

 

 

Figura 14: Terrenos

Fonte: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-aplicacoes-teorema-tales.htm (acesso 07 nov. 2014).

 

 

Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas?

 

Padrão de resposta esperada: 32 m

 

3 - Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura.

Obs.: os fios da rede central são paralelos.

 

 

Figura 15: Instalação elétrica

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-teorema-tales.htm (acesso 07 nov. 2014).

 

 

Padrão de resposta esperada: x = 4 cm e y = 12 cm.

 

 

Espera-se que com essa aula os(as) alunos(as) tenham a oportunidade de verificarem o Teorema de Tales e construírem sua definição coletivamente, e com isso, trazer mais sentido ao conteúdo.

Pense Vestibular

Disponível em: http://pensevestibular.com.br/exercicios-2/lista-de-exercicios/exercicios-de-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangulos (acesso 07 nov. 2014).

 

Aplicações do Teorema de Tales

Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-teorema-tales.htm (acesso 07 nov. 2014).

 

Exercícios sobre aplicações do Teorema de Tales

Disponível em: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-aplicacoes-teorema-tales.htm (acesso 07 nov. 2014).

 

Livro didático

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações. SP: Ática, 2014

O processo de avaliação poderá ocorrer em todas as etapas, mediante a participação e o envolvimento dos alunos. Sugere-se ainda a avaliação individualizada com base nas atividades propostas ao final da aula.