A fim de desenvolver competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20).
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22).

É proposto para esta aula que os alunos sejam capazes de compreender a igualdade matemática que permite calcular a área de um paralelogramo.

2 horas/aula (50 minutos cada).

• Noções básicas de geometria.
• Conceito de retângulo e paralelogramo.
• Conceito de ângulos suplementares.
• Noções básicas para o cálculo da área de um retângulo.

Comentário: Esta aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software GeoGebra – Apresentação:

Nesta aula, as noções de ponto, reta e plano serão estudadas com o auxílio do software GeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 18 nov. 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Professor(a), inicie a aula solicitando aos alunos que construam um paralelogramo no GeoGebra. Para esta construção, é necessário construir um par de lados paralelos e congruentes.

 

Peça aos alunos que cliquem na seta vermelha indicada na figura 2 e que, em seguida, selecionem a opção Segmento de Reta (Dois Pontos) (figura 3). Nesse caso, para criar o segmento, basta clicar sobre dois pontos diferentes na área de trabalho do GeoGebra.

 

Figura 2: Criando segmento de reta.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 3: Segmento de reta passando por dois pontos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Observação: Para facilitar o desenvolvimento da aula, oriente os alunos a selecionarem dois pontos sobre o eixo x, para que o segmento fique na horizontal.

 

Espera-se que os alunos apresentem a seguinte imagem.

 

Figura 4: Segmento de reta sobre o eixo x.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Na sequência, peça para os alunos ocultarem os eixos cartesianos, de modo a facilitar as próximas construções. Para isto, basta clicar com o botão direito do mouse sobre um dos eixos e, em seguida, selecionar a opção Eixos (figura 5).

 

Figura 5: Ocultando os eixos cartesianos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Feito isso, o próximo passo é construir um segmento de reta paralelo e congruente ao segmento construído anteriormente. Para construí-lo, basta selecionar a opção Reta Paralela (Figura 6) e, em seguida, clicar sobre o segmento e em um ponto qualquer C fora dele (Figura 7).

 

Figura 6: Como construir uma reta paralela a um segmento.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 7: Reta paralela ao segmento AB, passando por um ponto C.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Destaque para os alunos que na janela à esquerda (Folha Algébrica) está indicado o comprimento do segmento AB = 3.36 (figura 7). Então, na sequência, oriente-os na construção de um segmento de reta sobre a reta paralela ao segmento AB, de forma que este novo segmento tenha o mesmo comprimento que o anterior. Para isto, basta selecionar a ferramenta Segmento com Comprimento Fixo (figura 8) e em seguida clicar sobre a reta que foi construída, em um ponto diferente do ponto C. Após clicar sobre a reta, aparecerá uma caixa (figura 9) onde o aluno deverá colocar o comprimento do segmento AB, neste caso 3,36 (figura 10).

 

Figura 8: Construindo um segmento com um comprimento fixo.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 9: Comprimento do segmento.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 10: Segmento DE paralelo e congruente a AB.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Agora, peça para os alunos selecionarem a ferramenta Polígono (figura 11) e depois clicarem sobre os pontos A,D,E, B e A, nesta ordem, e observem que será formado um quadrilátero (figura 12).

 

Figura 11: Como costruir um polígono.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 12: Quadrilátero ADEB.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Comentário: É interessante  justificar para os alunos que, de fato, este polígono é um paralelogramo, isto é, que os segmentos AD e BE são paralelos e congruentes. Para justificar, utilize a congruência dos triângulos ABD e EDB.

 

Solicite aos alunos que construam os ângulos deste paralelogramo, selecionando a ferramenta Ângulo (figura 13) e depois clicando no interior do polígono. As medidas de todos os quatro ângulos internos do polígono serão exibidas (figura 14).

 

Figura 13: Como medir um ângulo.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 14: Medidas dos ângulos do paralelogramo.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Observação: Caso apareça as medidas dos ângulos externos, desfaça a construção do polígono pressionando ctrl + z. E em seguida, reconstrua o paralelogramo, mas selecionando os pontos no sentido contrário ao anterior, isto é, na ordem A, B, E, D e A.

 

Então questione:

 

- Qual a relação entre os ângulos do paralelogramo?

• Espera-se que os alunos percebam que:
• A soma dos quatro ângulos internos é 360º.
• Os ângulos opostos têm a mesma medida.
• Os ângulos adjacentes são suplementares.

 

- O que o número indicado na Folha Algébrica, na frente do polígono 1 representa?

Espera-se que os alunos percebam que este número indica a área do polígono. Caso os alunos não apresentem esta resposta, afirme que este número indica a área do paralelogramo.

 

Peça para os alunos movimentarem o ponto C para baixo ou para cima. Questione:

 

- Qual a relação entre os ângulos do paralelogramo?

Espera-se que os alunos percebam que em qualquer paralelogramo, as relações entre os ângulos são preservadas, ou seja, que os ângulos opostos são congruentes e que os ângulos colaterais são suplementares.

 

- O que aconteceu com a distância entre os segmentos AB e DE?

Espera-se que os alunos percebam que a distância entre eles alterou (aumentou ou diminuiu).

 

Observação: Associe esses segmentos como BASE do paralelogramo e associe a distância entre esses lados com a ALTURA do paralelogramo.

 

- Ao alterar a altura do paralelogramo, o que aconteceu com a área?

Espera-se que os alunos percebam que a área mudou.

 

Destaque então para os alunos que a área do paralelogramo depende apenas do comprimento dos segmentos da “base” e da distância entre eles (altura).

 

Peça para os alunos movimentarem o ponto D ao longo da reta e questione:

 

- O que acontece com a área deste polígono?

Espera-se que os alunos percebam que mesmo variando o segmento DE ao longo de toda a reta, a área se mantém (figura 15).

 

Figura 15: A área não varia.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Destaque então que a área depende apenas do comprimento da base e da altura, pois são os únicos elementos que não estão sendo alterados.

 

Peça agora para os alunos posicionarem o segmento DE de forma que este segmento forme um ângulo reto com o segmento AD (figura 16).

 

Figura 16: Posicionando o segmento DE formando um retângulo.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Então questione:

 

- Qual a medida dos demais ângulos do paralelogramo?

Espera-se que os alunos percebam que nesse caso, todos os ângulos são retos.

 

- Que nome específico recebe este paralelogramo?

Os alunos devem observar que como todos os ângulos são retos, este paralelogramo é um retângulo.

­

 

- Como calcular a área do retângulo?

Espera-se que os alunos tenham conhecimento de que a área do retângulo é dada pelo produto do comprimento da base pelo comprimento da altura.

 

Assim, compare a área do paralelogramo inicial com a área deste retângulo: a área do paralelogramo é igual à área do retângulo que tem mesma base e mesma altura.

 

Enfim, defina a área do paralelogramo:

 

A área de um paralelogramo é dada pelo produto da base pela altura.

 

 

ATIVIDADES DE CONTEXTUALIZAÇÃO

 

1-      Calcule a área dos seguintes paralelogramos:

 

a)                                                                                                                              b)

                                                                  

c)                                                                                                                               d)

                                                                         

                     

 

          

 

Para complementar o estudo de área de paralelogramos:

http://www.catraios.pt/profs/salarecursos/matmat/paralelogramo.pdf. Acesso em 18 nov. 2014.

http://nautilus.fis.uc.pt/cec/trigno/software_educativo/. Acesso em 18 nov. 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.