A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8), é proposto para esta aula o seguinte objetivo:

• Verificar uma das principais descobertas da Matemática: o Teorema de Pitágoras - relação existente no triângulo retângulo.

2 horas/aula de 50 minutos

• Características dos triângulos.
• Área de quadrados e retângulos.
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo.
• Noções básicas do Software GeoGebra.

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para verificar o problema proposto.

 

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

 

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 jun. 2014. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 jun. 2014.

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O software GeoGebra – apresentação:

 

Nesta aula, a verificação do Teorema de Pitágoras será estudada com o auxílio do software GeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

 

Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra

Fonte: Arquivo da Autora

 

Um aspecto importante a ser evidenciado é alertado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM – (BRASIL, 1999), que afirmam que a inserção de computadores na sociedade em geral “exigirá do ensino de matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.” (p.252).

 

Tais orientações e sugestões levam-nos a pensar que a utilização de computadores no ensino de matemática pode desencadear uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Esse fato exige uma nova concepção e formação de professor, “que, longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional.” (BRASIL, 1998, p.44).

 

O TEOREMA DE PITÁGORAS...

 

1º MOMENTO

Apresente aos alunos o texto disponível no quadro 1 e discuta a importância do Teorema de Pitágoras.

 

Quadro 1 - O Teorema de Pitágoras

A maior descoberta de Pitágoras foi o teorema que leva seu nome, ensinado hoje em escolas de todo o mundo. Ao observar os triângulos retângulos (que têm um ângulo de 90 graus, chamado ângulo reto), o filósofo notou que eles obedecem a uma lei matemática. A soma das áreas dos quadrados cujos lados são catetos (lados menores do triângulo) é igual à área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (lado maior): a⊃2; + b⊃2; = c⊃2;. Chineses e babilônios usavam o teorema há mil anos, mas desconheciam a possibilidade de aplicá-lo a todo triângulo retângulo. Pitágoras foi o primeiro a provar isso com argumentos matemáticos inquestionáveis. Não entendeu ainda? Então veja o triângulo retângulo ao lado, cujos lados medem 3, 4 e 5 centímetros. Desenhe quadrados a partir de cada lado do triângulo. Veja que os quadrados dos lados menores contêm respectivamente 9 e 16 pequenos quadrados de 1 centímetro; o quadrado do lado maior contém 25 pequenos quadrados. Agora some 9 + 16. A resposta é 25! Os gregos acreditavam na existência de números inteiros e frações. Mas o teorema de Pitágoras mostrou que havia números que não eram nem inteiros nem frações. Como? Imagine um triângulo retângulo com dois lados iguais a um. Para se calcular a hipotenusa, basta usar o teorema: 1⊃2; + 1⊃2; = z⊃2;. Ou seja, a hipotenusa z será igual a raiz quadrada de 2. Os gregos tentaram descobrir a qual fração o número correspondia, mas notaram que ele não era fração. Havia sido descoberto o número irracional e justamente por meio do teorema de Pitágoras, que odiava os irracionais! O teorema facilitou e tornou mais precisas as construções. Ao saber a medida de dois lados de um triângulo retângulo, é possível descobrir a do terceiro sem medi-lo — basta usar o teorema. Conhecendo os três lados de um triângulo, pode-se verificar se um dos ângulos é reto. Como um triângulo de lado 3, 4 e 5 é retângulo (como vimos na figura anterior), basta fazer triângulos com essa medida para desenhar ângulos retos em papel ou na terra. A Irmandade Pitagórica comemorou a descoberta, mas a celebração durou pouco. Em Síbaris, vizinha de Crotona, Télis havia vencido uma revolta e perseguia membros do governo anterior, que fugiram para Crotona. O exército de Síbaris invadiu Crotona e foi derrotado. Após a vitória, rumores diziam que terras de Síbaris seriam dadas à Irmandade Pitagórica. O povo de Crotona ficou indignado. Havia lutado e não receberia recompensa! Cilon, homem que não conseguiu entrar na Irmandade Pitagórica, comandou uma revolta. A irmandade e a casa de Milo foram cercadas e incendiadas. Milo escapou, mas Pitágoras e alguns discípulos, não. Como toda a vida do matemático, sua morte também é bastante enigmática. Outra versão conta que ele escapou e se refugiou na cidade de Metaponto, onde morreu em 497 ou 496 a. C., de causa desconhecida. Os pupilos de Pitágoras que sobreviveram foram para outras cidades, onde construíram novas escolas pitagóricas. Como o filósofo não deixou obra escrita, eles transmitiram os ensinamentos do mestre oralmente. Assim, as descobertas de Pitágoras se espalharam pelo mundo.

Fonte: Disponível em <http://migre.me/mYT6I>, acesso em 19 nov. 2014.

 

Professor (a), após a leitura e discussão do texto, proponha aos alunos a verificação do teorema de Pitágoras seguindo os passos descritos abaixo.

Queremos verificar que “a soma dos quadrados das medidas dos catetos (lados menores do triângulo) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado maior)”.

 

Passo 1: Inicialmente, solicite aos alunos que construam um triângulo retângulo no GeoGebra.

• Crie uma reta definida por dois pontos (figura 2).

 

Figura 2 – Criando uma reta

 

Fonte: Arquivo da autora

 

• Crie uma reta perpendicular a partir da reta construída e do ponto A (figura 3).

 

Figura 3 – Criando uma reta perpendicular

Fonte: Arquivo da autora

 

• Crie um ponto C sobre a reta construída (figura 4).

 

Figura 4 – Criando um ponto

Fonte: Arquivo da autora

 

• Crie o triângulo retângulo ABC (figura 5).

 

Figura 5 – Criando o polígono

Fonte: Arquivo da autora

 

Passo 2: Crie três quadrados a partir dos lados AB, AC e BC (figura 6).

 

Figura 6 – Criando quadrados

Fonte: Arquivo da autora

 

Passo 3: Com auxílio da ferramenta “janela de álgebra” e “propriedades”, selecione a opção exibir nome e valor. Na opção “Cor” mude as cores dos polígonos para melhor visualização (figura 7).

 

Figura 7 – Encontrando áreas

Fonte: Arquivo da autora

 

Passo 4: Com o auxílio da ferramenta “planilha de cálculos” exponha os valores das áreas dos polígonos e também da soma dos quadrados menores (figura 8).

 

Figura 8 – Analisando as áreas

Fonte: Arquivo da autora

 

Passo 5: Destaque os polígonos e peça aos alunos para observarem o que há de comum (figura 9).

 

Figura 9 – Analisando as áreas

Fonte: Arquivo da autora

 

Passo 6: Movimente os pontos A, B ou C e verifique que a Área 1 é igual a soma das Áreas 2 e 3, verificando assim o teorema de Pitágoras (figura 10).

 

Figura 10 – Movimentando os polígonos

Fonte: Arquivo da autora

 

 

2º MOMENTO

Após a atividade anterior, solicite aos alunos que façam uma pesquisa apresentando situações problemas, que para serem resolvidas, necessitam do Teorema de Pitágoras. Selecione algumas e, em seguida, elabore uma lista com as selecionadas e as distribua aos alunos para que possam resolvê-la.

 

Seguem algumas situações (Disponíveis em <http://migre.me/mYTRl>, acesso em 19 nov. 2014).

 

1) Uma escada apoiada em uma parede tem sua base distante cerca de 6 metros da parede. Sabendo que a parede mede cerca de 8 metros, determine o comprimento da escada.

Resolução:

x⊃2; = 8⊃2; + 6⊃2; 
x⊃2; = 64 + 36 
x⊃2; = 100 
√x⊃2; = √100 
x = 10 

A escada possui 10 metros de comprimento. 

2) Um terreno retangular possui as seguintes medidas: 20 metros de comprimento e 30 metros de largura. Determine a medida da diagonal desse terreno.

Resolução:

A diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, consistindo na hipotenusa deles. Portanto, utilizaremos o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da diagonal. Veja: 

d⊃2; = 30⊃2; + 20⊃2; 
d⊃2; = 900 + 400 
d⊃2; = 1300 
√d⊃2; = √1300 
d = 36 metros (aproximadamente) .

 

COMENTÁRIO: Dependendo das atividades selecionadas, o GeoGebra pode ser utilizado para realizar a correção. Para isso, peça aos alunos que troquem as listas e que, utilizando o GeoGebra, verifiquem se o cálculo do colega está correto.

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebra Tube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>, acesso em 14 jun. 2014.

BARBOSA, Lara Martins; BERTONE, Ana Maria Amarillo; MARCO, Fabiana Fiorezi de. GeoGebra e a lei dos cossenos sem palavras: uma nova prova cortando e pegando. In: Libro de Resúmenes Del CongresoLatinoamericano de GeoGebra. Argentina, 2013. (p. 72).

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se que o(a) professor(a) considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. As construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, posteriormente, assim, o(a) professor(a) pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.