A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como identificar características de figuras planas ou espaciais (H7) e resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8), é proposto para esta aula o seguinte objetivo

• Demonstrar, com o auxílio do GEOGEBRA, um dos quatro Teoremas Clássicos da Geometria Euclidiana Plana que envolvam quadriláteros.

• Características e propriedades dos triângulos

• Características e propriedades dos quadriláteros

• Propriedades de ângulos

• Casos de congruência entre triângulos

• Noções básicas do Software GeoGebra

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para resolver o problema proposto.

Professor, para o desenvolvimento da atividade proposta nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/mfpDs>, acesso em 12 nov. 2014. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 12 nov. 2014.

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra – apresentação:

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra

Fonte: Arquivo da Autora

Um aspecto importante a ser evidenciado é alertado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM – (BRASIL, 1999), que afirmam que a inserção de computadores na sociedade em geral “exigirá do ensino de matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.” (p.252).

Tais orientações e sugestões levam-nos a pensar que a utilização de computadores no ensino de matemática pode desencadear uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Esse fato exige uma nova concepção e formação de professor, “que, longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional.” (BRASIL, 1998, p.44).

A AULA...

Através de animações construídas no Software GeoGebra, que serão utilizadas de forma dinâmica, os alunos deverão explorar os elementos da construção e veicular ideias e argumentos matemáticos para demonstrar os teoremas apresentados.

Para agilizar o processo, recomenda-se que os roteiros das atividades sejam preparados previamente pelo professor, para que os alunos realizem-nas em momentos oportunos. Além disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multimídia conectado ao computador.

TEOREMA – EM TODO PARALELOGRAMO OS LADOS OPOSTOS SÃO CONGRUENTES.

Professor(a), inicialmente, solicite aos alunos que construam as retas r e s paralelas (figura 2).

Figura 2 – Retas r e s

Fonte: Arquivo da Autora

Solicite a construção das retas t e u paralelas e concorrentes as retas r e s e marque os pontos A, B, C e D de intersecção (figura 3).

Figura 3 – Retas t e u

Fonte: Arquivo da Autora

Solicite que destaquem o quadrilátero ABCD e a diagonal BD (figura 4).

Figura 4 – Quadrilátero ABCD e diagonal BD

Fonte: Arquivo da Autora

Levante as seguintes questões:

1)   Qual nome recebe o quadrilátero ABCD?

Padrão de resposta esperado:

“O quadrilátero ABCD é um paralelogramo”.

2)   O que podemos dizer em relação aos ângulos ? E aos ângulos ?

Padrão de resposta esperado:

“Podemos dizer que os ângulos  são congruentes, pois são alternos internos, assim como os ângulos  (figura 5)”.

Figura 5 – Ângulos Alternos Internos

Fonte: Arquivo da Autora

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de ângulos alternos internos.

3)   Observando os triângulos DAB e BCD o que podemos dizer sobre eles? E em relação aos segmentos  e aos segmentos ?

Padrão de resposta esperado:

“Os triângulos DAB e BCD são congruentes pelo caso de congruência Ângulo, Lado, Ângulo (ALA), já que possui dois ângulos congruentes e um lado comum (figura 6). Logo, os segmentos  são congruentes, o que pode-se concluir que os segmentos  também são congruentes”.

Figura 6 – Congruência entre os triângulos DAB e BCD

Fonte: Arquivo da Autora

Comentário: Talvez seja necessário retomar os casos de congruência entre triângulos.

Logo, conclui-se que em um paralelogramo, lados opostos são congruentes.

Para finalizar, solicite aos alunos que movimentem as retas para comprovarem o teorema em qualquer paralelogramo (figura 7).

Figura 7 – Movimentando os as retas

Fonte: Arquivo da Autora

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 14 nov. 2014.

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se que o(a) professor(a) considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. As construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, posteriormente, assim, o(a) professor(a) pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros e assim, planejar o uso de recursos e estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

Referências

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

 ______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio: ciência da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Brasília, 1999.

GALEIRA DE TRABALHOS DO EDUMATEC. Sugestões de atividades para sala de aula. Disponível em <http://migre.me/mfDj0>. Acesso em 12 nov. 2014.

ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 14 nov. 2014.