A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como identificar características de figuras planas ou espaciais (H7) e resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8), é proposto para esta aula o seguinte objetivo

• Demonstrar, com o auxílio do GEOGEBRA, um dos quatro Teoremas Clássicos da Geometria Euclidiana Plana que envolvam quadriláteros.

• Características e propriedades dos triângulos
• Características e propriedades dos quadriláteros
• Propriedades de ângulos
• Casos de congruência entre triângulos
• Noções básicas do Software GeoGebra

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para resolver o problema proposto.

Professor, para o desenvolvimento da atividade proposta nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/mfpDs>, acesso em 12 nov. 2014. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 12 nov. 2014.

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra – apresentação:

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra

Fonte: Arquivo da Autora

Um aspecto importante a ser evidenciado é alertado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM – (BRASIL, 1999), que afirmam que a inserção de computadores na sociedade em geral “exigirá do ensino de matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.” (p.252).

Tais orientações e sugestões levam-nos a pensar que a utilização de computadores no ensino de matemática pode desencadear uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Esse fato exige uma nova concepção e formação de professor, “que, longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional.” (BRASIL, 1998, p.44).

A AULA...

Através de animações construídas no Software GeoGebra, que serão utilizadas de forma dinâmica, os alunos deverão explorar os elementos da construção e veicular ideias e argumentos matemáticos para demonstrar os teoremas apresentados.

Para agilizar o processo, recomenda-se que os roteiros das atividades sejam preparados previamente pelo professor, para que os alunos realizem-nas em momentos oportunos. Além disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multimídia conectado ao computador.

TEOREMA – EM TODO PARALELOGRAMO AS DIAGONAIS SE BISSECTAM.

Professor(a), inicialmente, proponha a seguinte questão:

Qual o significado da palavra bissectar?

Padrão de resposta esperado:

“Bissectar significa dividir em duas partes iguais”.

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de bissectar.

Solicite aos alunos que construam as retas r e s paralelas (figura 2).

Figura 2 – Retas r e s

Fonte: Arquivo da Autora

Solicite a construção das retas t e u paralelas e concorrentes as retas r e s e marque os pontos A, B, C e D de intersecção (figura 3).

Figura 3 – Retas t e u

Fonte: Arquivo da Autora

Solicite que destaquem o quadrilátero ABCD, as diagonais BD e AC e o ponto O de intersecção entre elas (figura 4).

Figura 4 – Quadrilátero ABCD e as diagonais BD e AC

Fonte: Arquivo da Autora

Levante as seguintes questões:

1)   O que podemos dizer em relação aos lados opostos de um paralelogramo?

Padrão de resposta esperado:

“Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes”.

2)   O que podemos dizer em relação aos ângulos  ? E em relação aos ângulos ?

Padrão de resposta esperado:

“Podemos dizer que os ângulos  são congruentes, pois são alternos internos, assim como os ângulos  (figura 5)”.

Figura 5 – Ângulos Alternos Internos

Fonte: Arquivo da Autora

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de ângulos alternos internos.

3)   Observando os triângulos OAB e OCD o que podemos dizer sobre eles? E em relação os segmentos   e aos segmentos  ?

Padrão de resposta esperado:

“Os triângulos OAB e OCD são congruentes pelo caso de congruência Ângulo, Lado, Ângulo (ALA), já que possui dois ângulos congruentes e um lado congruente (figura 6). Logo, os segmentos  são congruentes, o que pode-se concluir que os segmentos   também são congruentes. 

Figura 6 – Congruência entre os triângulos OAB e OCD

Fonte: Arquivo da Autora

”.

Comentário: Talvez seja necessário retomar os casos de congruência entre triângulos.

Logo, conclui-se que ‘O’ é o ponto médio de ambas as diagonais, portanto, em um paralelogramo, as diagonais de bissectam, isto é, se dividem ao meio.

Para finalizar, solicite aos alunos que movimentem as retas para comprovarem o teorema em qualquer paralelogramo (figura 7).

Figura 7 – Movimentando os as retas

Fonte: Arquivo da Autora

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 14 nov. 2014.

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se que o(a) professor(a) considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. As construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, posteriormente, assim, o(a) professor(a) pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros e assim, planejar o uso de recursos e estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

Referências

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

 ______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio: ciência da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Brasília, 1999.

GALEIRA DE TRABALHOS DO EDUMATEC. Sugestões de atividades para sala de aula. Disponível em <http://migre.me/mfDj0>. Acesso em 12 nov. 2014.

ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 14 nov. 2014.