Através da análise gráfica, o aluno poderá:

• compreender o conceito formal de função;
• identificar ambigüidades e exceções em um gráfico;

• analisar o comportamento (crescimento e/ou decrescimento) de funções;
• identificar pontos notáveis (máximos e mínimos) de funções.

100 minutos

Os alunos já devem compreender o conceito teórico de funções e identificar ambigüidades e exceções em situações reais, uma vez que nesta atividade a análise será apenas gráfica, sem contextualização. Além disso, os alunos devem ter conhecimento de intervalos, saber identificá-los e representá-los através da linguagem matemática.

O objetivo central desta aula é analisar o gráfico ilustrativo de uma relação e concluir se a mesma representa ou não uma função. Além disto, deve-se caracterizar uma função através de seu gráfico, ou seja, identificar intervalos de crescimento ou decrescimento e pontos de máximo ou mínimo.

Esta atividade é baseada em um estudo-dirigido, que pode ser desenvolvido em um laboratório de informática com a participação direta dos alunos ou em sala de aula, tendo como mediador o professor da turma, projetando as telas necessárias e incitando a participação indireta dos alunos. Caso os exercícios sejam realizados em laboratório, o ideal é que os alunos os desenvolvam em duplas, pois o debate entre eles é uma das principais estratégias pedagógicas utilizadas. O estudo-dirigido está disponível para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/intro_graf.pdf

Entende-se por função entre dois conjuntos X e Y dados, toda regra (ou conjunto de instruções) que associa cada elemento x є X a um elemento y є Y, sendo que não deve haver exceções nem ambigüidades, ou seja, deve estar definida para todo x є X e cada x є X deve corresponder a um único y є Y.

Este conceito de funções já deve ter sido abordado e assimilado pelos alunos, porém pode ser revisto para relembrar o que vem a ser ambigüidades e exceções, já que este é o primeiro aspecto trabalhado graficamente na atividade 1 apresentada abaixo.

Os alunos serão questionados sobre relações que representam ou não funções, conforme os exemplos a seguir da tela intro_graf_1, disponível para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/intro_graf/intro_graf_1.htm

Os outros aspectos abordados dizem respeito ao comportamento das funções, ou seja, crescimento e decrescimento e máximos e mínimos locais e globais. Estes tópicos podem ser trabalhados primeiro de forma gráfica, para, num outro momento, serem formalizados matematicamente, já que apenas a formalização não permite um entendimento tão claro como a análise gráfica.
O comportamento de uma função e seus pontos notáveis serão trabalhados na atividade 2 descrita abaixo.

Nesta atividade, é apresentado o gráfico de uma função com comportamentos variados para que os alunos a analisem e obtenham definições para “Função Crescente”, “Função Decrescente”, “Função Constante”, “Máximo Local”, “Mínimo Local”, “Máximo Global” e “Mínimo Global”.

O gráfico em questão se encontra na tela intro_graf_2, disponível para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/intro_graf/intro_graf_2.htm

A seguir, tem-se definições para o que foi pedido na atividade 2. Não é esperado que os alunos apresentem algo semelhante, mas, se desejável, podem ser apresentadas num segundo momento.

Dada a função f de A em B, dizemos que:
• f é crescente no intervalo I c A se para todo x₁ e x₂ em I, se x₁ < x₂ então f(x₁) < f(x₂);
• f é decrescente no intervalo I c A se para todo x₁ e x₂ em I, se x₁ < x₂ então f(x₁) > f(x₂);
• f é constante no intervalo I c A se para todo x₁ e x₂ em I, se x₁ < x₂ então f(x₁) = f(x₂).

Além disto, entende-se que uma função tem um máximo local em x = c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x є I. Da mesma forma, uma função tem um mínimo local em x = c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x є I.

Já, se existir x = c em A , tal que f(c) ≥ f(x) para todo x є A, dizemos que a f unção tem um máximo global f(c). An alogamente, se f(c) ≤ f(x) para todo x є A, diz emos que a função tem um mínimo global f(c).

A atividade 3 aborda crescimento e decrescimento, conforme mostrado adiante.

Neste caso, os alunos poderão criar funções de acordo com o que foi pedido na tela intro_graf_3, disponível para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/intro_graf/intro_graf_3.htm

Esta aula abre caminho para que o termo contra-domínio seja utilizado, uma vez que para a análise de exceções este conjunto deve estar bem definido. O mesmo acontece com o termo domínio, pois é solicitado que os alunos construam funções crescentes, decrescentes ou constantes para qualquer valor de x, ou seja, para todo o seu d omínio. Os exercícios falam de domínio e de contra-domínio sem utilizar esta nomenclatura, ficando a cargo do professor formaliza-la no momento adequado.

Para o funcionamento das telas, será necessário o software gratuito Java disponível para download no link http://www.java.com/pt_BR/download/index.jsp, um navegador de Internet e as telas apresentadas anteriormente. Cabe destacar que não é necessário estar conectado à Internet para a realização das atividades.

O material completo  está disponível para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/ma tematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/intro_graf.rar

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Funções Polinomiais do 1º Grau
• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Funções Modulares
• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Funções Exponenciais e Logarítmicas
• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Funções Inversas
• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Funções Trigonométricas

Para iniciar o processo de avaliação, deve-se observar o trabalho dos alunos durante todo o processo. É importante que os alunos debatam os resultados com todo o grupo, critiquem e tirem suas próprias conclusões. Desta maneira, também estará sendo trabalhada a capacidade de comunicação matemática e a argumentação dos alunos.

Além disto, para uma avaliação mais completa, pode-se solicitar aos alunos que elaborem dois ou três gráficos que possam ou não representar funções. Deverá ser constatada, então, a existência ou não de ambigüidades ou exceções. Caso o gráfico represente uma função, os alunos deverão apresentar os intervalos onde a mesma é crescente, decrescente ou constante, assim como seus máximos e mínimos locais e globais.