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Produtos Notáveis no CAp UFRJ: Produto da soma pela diferença de dois termos – Uma visão geométrica

 

27/11/2009

Autor e Coautor(es)
RITA MARIA CARDOSO MEIRELLES
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RIO DE JANEIRO - RJ COL DE APLIC DA UNIV FED DO RIO DE JANEIRO

Fernando Celso Villar Marinho, Lilian Káram Parente Cury Spiller

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Final Matemática Operações
Ensino Médio Matemática Geometria
Ensino Fundamental Final Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Expressar a área de uma figura pela composição da soma e/ou diferença das áreas das partes da figura.
Concluir que a² – b² = (a + b) (a – b).
Transformar a diferença dos quadrados de dois termos em um produto cujos fatores são: a soma desses dois termos e a diferença dos dois termos.

Duração das atividades
3 aulas de 50 minutos cada.
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Áreas de quadriláteros: quadrado e retângulo
Operações com números racionais
Operações com polinômios

Estratégias e recursos da aula

Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com frequência e que têm regras definidas que facilitam sua determinação.

Inicie a aula, mostrando aos alunos que o produto da soma pela diferença de dois termos é indicado pela expressão: (a + b)(a – b)

Desenvolva a expressão, com a participação dos alunos, recordando as operações com polinômios:

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2

Ou seja, (a + b)(a – b) = a2 – b2

Escreva como se lê:
a2 – b2 é a diferença de dois quadrados

Por exemplo: (x + 2)(x – 2) = x2 – 22 = x2 – 4

Professor, a visualização geométrica é trabalhosa, mas é importante para que os alunos possam rever conceitos, participar ativamente na construção geométrica e perceber as relações entre a álgebra e a geometria.

Para visualização geométrica por parte dos alunos, lembre-os de que:

a2 corresponde à área de uma quadrado de lado a e que b2 corresponde à área de um quadrado de lado b.

Nota: Caso os alunos não se recordem do cálculo das áreas do quadrado e do retângulo, faça uma breve revisão sobre o assunto.

Para tornar a aula mais dinâmica e interativa, sugerimos que seja utilizado material concreto, conforme descrito adiante. Deixamos claro que essa atividade pode ser feita apenas utilizando o quadro negro, mas acreditamos que a participação dos alunos contribuirá na fixação do conteúdo.

Amplie e imprima as figuras abaixo e reproduza em quantidade suficiente para a sua turma. Peça para os alunos recortarem e colorirem de azul o quadrado de lado 3 e de vermelho o de lado 1.


Construa dois quadrados de tamanhos diferentes, como mostra a figura abaixo, em que a medida do lado do quadrado azul é 3 e a do quadrado vermelho é 1.

Note que as medidas de três dos quadriláteros acima, propositalmente, não foram indicadas. Essas medidas deverão ser deduzidas pelos alunos.

Proponha agora sobrepor o quadrado vermelho, colocando-o em um dos cantos do quadrado azul.

Peça então para os alunos encaixarem os três quadriláteros restantes e registrarem as medidas de seus lados.

Os encaixes resultarão na figura:

Pergunte aos alunos que parte da figura corresponde a área de 32 – 12 (área do quadrado azul menos a área do vermelho).
Depois que os alunos perceberem que essa área é formada pela soma das áreas de um quadrado de lado (3 – 1) e por dois retângulos de lados 1 e (3 – 1), mostre o rearranjo da figura com a área a ser determinada (explique o deslocamento de um dos retângulos e as medidas indicadas):

Observando que, com o novo posicionamento de um dos retângulos, a área em questão corresponde à área do retângulo maior de dimensões (3 – 1) e (3 + 1), cujo valor é (3 – 1)(3 + 1).

Conclusão: 32 – 12 = (3 + 1) (3 – 1) e que, portanto, 9 – 1 = 4 x 2 = 8

Se achar conveniente, execute o mesmo pr ocedimento, com as s eguintes medidas para os lados dos quadrados:


1. quadrado a zul: x e quadrado vermelho: 2, concluindo que: x2 – 22 = (x + 2) (x – 2)

2. quadrado azul: 4 e quadrado vermelho: y, concluindo que: 42 – y2 = (4 + y) (4 – y)

3. quadrado azul: a e quadrado vermelho: b, concluindo que: a2 – b2 = (a + b) (a – b)


Nota: É importante relacionar aplicações de produtos notáveis em diferentes contextos matemáticos. Nessa aula, iniciamos com a representação geométrica e obtivemos uma representação algébrica para a diferença de dois quadrados.

Por meio de manipulação algébrica, ou geométrica, foi possível concluir que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual a diferença dos quadrados desses termos:

a2 – b2 = (a + b) (a – b).

Uma contextualização interessante para este produto notável é dada para cálculos numéricos do tipo:

1) 51 x 49 = (50 + 1)(50 – 1) = 502 – 12 = 2 500 – 1 = 2 499

2) 37 x 23 = (30 + 7)(30 – 7) = 302 – 72 = 900 – 49 = 851

3) 46 x 34 = (40 + 6)(40 – 6) = 402 – 62 = 1 600 – 36 = 1 564

Difference of squares

Recurso disponível em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/13092/differenceofsquares.nbp

Nota: Supondo que o quadrado da diferença já tenha sido ensinado, reforce a desigualdade:

Para obter uma lista de exercícios propostos, acesse o link: http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/ExercProdutoSomaDif.pdf

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Difference of squares Animação/simulação
Recursos Complementares
Avaliação

A avaliação do aluno pode ser feita levando em consideração:
– participação em aula
– resolução de listas de exercícios
– trabalhos em grupo ou individuais, tais como:
• desenhar numa folha de papel quadriculado, dois quadrados de lados que serão informados pelo professor (p. ex., proponha um quadrado de lado x e um quadrado de lado 3) e construir o quadrado perfeito estudado na aula. Nessa proposta deixe-os escolher qual será o maior.
– resolver questões desafio em aula.

Opinião de quem acessou

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Opiniões

  • Justina Motter , Secretaria municipal da educação , Paraná - disse:
    jumotter@yahoo.com.br

    30/04/2012

    Quatro estrelas

    As demonstrações geométricas apresentadas contribuem significativamente para a apresentação do conteúdo mostrado.


  • Francinete, C.E "INÁCIO PASSARINHO" , Maranhão - disse:
    franandrad@hotmail.com

    14/10/2010

    Quatro estrelas

    Parabeniso a professora Rita Maria,pela exposição do assunto de uma maneira mais estratégicas que facilita o entendimento do aluno que não é fácil no desenvolvimento do produto desses termos. Sendo hoje a tecnologia bastante utilizada em sala de aula, seria de grande valia se você desse dicas da utilização dessas ferramentas no assunto exposto.


  • Yuri, Afeganistão - disse:
    isablle_nagno@yahho.com

    04/05/2010

    Três estrelas

    ameiiii


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