Expressar os produtos notáveis na forma fatorada.
Resolver equações usando a forma fatorada de uma expressão algébrica.

Produtos notáveis
Valor absoluto de um número racional.
Operações com números racionais

Fatorar uma expressão algébrica significa transformá-la em um produto de fatores.

O enfoque dessa aula é utilizar os produtos notáveis, já vistos pelos alunos, na resolução de equações.
Com essa abordagem você estará resolvendo equações do 2º grau, “sem dar nome aos bois”, preparando o aluno para o estudo dessas equações sem a necessidade de memorização imediata da tradicional fórmula de resolução.

Diferença de quadrados:

Relembre que (a + b)(a – b) = a² – b² e faça um exemplo para transformar a diferença de dois quadrados em um produto. Registre também que foi feita a fatoração da expressão, ou seja, que a mesma pode ser escrita na forma de um produto.

Exemplo:

x² – 4 = (x + 2)(x – 2)

Proponha então, resolver a equação:

x² – 4 = 0

Nota: Recorde que se um produto é igual a 0, então pelo menos um dos fatores deve ser nulo.

Com a participação dos alunos, passe a resolução da equação:

S = {–2, 2}

Trinômios quadrados perfeitos:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Com um exemplo para cada tipo de trinômio, proponha a fatoração e, em seguida, a resolução da equação.

Exemplo 1.
Fatore a expressão: x² + 6x + 9

Após a conclusão, por parte dos alunos, que: x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Proponha então a solução da equação: x² + 6x + 9 = 0

Nota: Recorde que se a potência de um número, com expoente positivo, é igual a 0, então esse número é nulo.

Concluindo:

S = {–3}

Exemplo 2.
Fatore a expressão: x² – 10x + 25

Usando o mesmo procedimento do exemplo 1, temos:

x² – 10x + 25 = (x – 5)²

Proponha então a solução da equação: x² – 10x + 25 = 0

S = {5}

Criando Equações do 2º Grau

O objetivo aqui é mostrar aos alunos como criar equações do 2º grau que tenham como solução números previamente escolhidos. Este encaminhamento inverte a forma de raciocínio usual, porque os alunos saberão a priori a solução e terão que descobrir a equação.

Apresente o seguinte problema:
Determine a equação que tenha raízes iguais a 2 e 5.
Para resolver este problema, devemos observar que:

Se x = 2 é solução da equação, então x – 2 = 0.

Analogamente, se x = 5, então x – 5 = 0.

Como juntar essas duas informações? Ora, basta lembrar que: se o produto de dois números é zero então pelo menos um é igual a zero.

Logo, (x – 2)(x – 5) = 0.

Aplicando a propriedade distributiva e agrupando convenientemente, teremos:

x² – 5x – 2x + 10 = 0, logo: x² – 7x + 10 = 0

Proponha agora que os alunos determinem as equações cujas raízes são:

a) 1 e 5

(x – 1)(x – 5) = 0

x² – 5x – x + 5 = 0

x² – 6x + 5 = 0

b) 3 e 4

(x – 3)(x – 4) = 0

x² – 4x – 3x + 12 = 0

x² – 7x + 12 = 0

c) –3 e –4

(x + 3 )(x + 4) = 0

x² + 3x + 4x + 12 = 0

x² + 7x + 12 = 0

d) –3 e 4

(x + 3)(x – 4) = 0

x² – 4x + 3x – 12 = 0

x² – x – 12 = 0

e) 3 e –4

(x – 3)(x + 4) = 0

x² + 4x – 3x – 12 = 0

x² + x – 12 = 0

Generalizando:

Para raízes iguais a a e b, temos:

(x – a)(x – b) = x² – bx – ax + ab = x² – (a + b)x + ab

Concluindo: (x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab

Ou,

x² – Sx + P = (x – a)(x – b), em que S = a + b e P = ab

Importante: Para uma boa compreensão das relações entre coeficientes e raízes de uma equação do 2º grau, faça a observação em cada exemplo de que: a soma das raízes da equação é igual ao oposto de S.

A proposta agora é encontrar as raízes de uma equação dada:

1) x² – 5x + 6 = 0

Tem-se: S = –5 e P = 6

Obs: Faça os alunos perceberem que se o produto é positivo e a soma negativa, então os dois números são negativos. Portanto, os números são: –2 e –3

Logo, x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Resolvendo a equação x² – 5x + 6 = 0, encontramos para solução S = {2, 3}

2) x² + 5x + 6 = 0

Tem-se: S = 5 e P = 6.

A tarefa é descobrir os dois números cuja soma vale 5 e cujo produto vale 6.

Obs: Faça os alunos perceberem que se o produto é positivo, então os dois números são positivos e que, portanto, os números são: 2 e 3

Logo, x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Resolvendo a equação x² + 5x + 6 = 0, encontramos para solução S = {–2, –3}

3) x² + x – 6

Tem-se: S = 1 e P = –6

Obs: Faça os alunos perceberem que se o produto é negativo e a soma positiva, então os dois números têm sinais contrários e o de maior valor absoluto é positivo. Portanto, os números são: 3 e –2

Logo, x² + x – 6 = (x + 3)(x – 2)

Resolvendo a equação x² + x – 6 = 0, encontramos para solução S = {–3, 2}

4) x² – x – 6

Tem-se: S = –1 e P = –6

Obs: Faça os alunos perceberem que se o produto é negativo e a soma negativa, então os dois números têm sinais contrários e o de maior valor absoluto é negativo. Portanto, os números são: 2 e –3

Logo, x² – x – 6 = (x + 2)(x – 3)

Resolvendo a equação x² – x – 6 = 0, encontramos para solução S = {–2, 3}

Professor, elabore outros exemplos que envolvam as quatro situações mostradas nos exemplos acima.

Para obter uma lista de exercícios propostos, clique aqui.

Link a lista de exercícios da Plataforma Moodle do CAp UFRJ.

A avaliação do aluno pode ser feita levando em consideração:
– participação em aula
– resolução de listas de exercícios
– trabalhos em grupo ou individuais
– resolução, em sala de aula, de questões desafio