Conceitos básicos e operações envolvendo o cosseno de um arco e a função cosseno. Produzir e analisar gráficos da função cosseno em uma planilha eletrônica.

2 aulas de 50 minutos.

Conceitos de ângulo, radiano, circunferência trigonométrica e funções.

É possível melhorar o entendimento da função cosseno utilizando recursos que permitem aos alunos interagir e construir gráficos no computador. Nessa aula apresentamos sugestões de trabalho com um objeto de aprendizagem e também com uma planilha eletrônica.

Cosseno de um Arco
É a abcissa da extremidade desse arco na circunferência trigonométrica. Isto é, a medida destacada em vermelho, de O até x'.

Fonte da imagem: wikipedia.org (alterada pelo autor).

Usando o software Círculo Trigonométrico, os alunos podem explorar de forma interativa as características do cosseno de um ângulo.
Abaixo uma imagem do software apresentando a função cosseno.

A imagem ilustra o cosseno na circunferência trigonométrica por meio da linha vermelha.

Recurso disponível em:

 

 

Como uma atividade inicial, pode-se propor aos alunos que procurem identificar em que siituações os valores do cosseno de um ângulo são iguais e quando ocorre mudança de sinal (positivo ou negativo) nos resultados.

Por exemplo, ao varia o ângulo de 0 a 90º, o valor do cosseno parte do valor 1 vai diminuindo até chegar a 0. A partir daí, variando entre 90º e 180º o cosseno varia de 0 até 1. Assim, o valor so cosseno para 60º e para 300º é o mesmo. Manipulando a variável ângulo é possível constatar que os valores dos cossenos dos ângulos do 1º e do 4º quadrante são positivos, enquando os do 2º e 3º quadrante são negativos. Os alunos conseguiriam justificar o motivo?

Esse é um bom momento para lembrar os alunos da fórmula utilizada no triângulo retângulo, estabelecendo uma relação com o que eles já estudaram e o conteúdo que eles estão trabalhando.

Aproveite para mostrar cada elemento dessa fórmula no gráfico da circunferência trigonométrica.

Gráfico da função cosseno

Utilizando novamente o software, solicite aos alunos que que variem o valor do ângulo e observem com atenção o que acontece com a curva ao lado da circunferência trigonométrica.

O cosseno do ângulo de 90º é igual a 0, conforme a circunferência trigonométrica. Na curva da função cosseno, em vermelho, pode-se ver a linha branca que indica o ponto correspondente a /2 no eixo das abcissas (x). A interpretação do gráfico permite dizer que a partir desse ponto, teremos valores de cosseno negativos, até chegarmos a 270º, cujo o valor do cosseno é 0 (zero).

Desta forma a função representa perfeitamente o que ocorre na circunferência trigonométrica.

Os valores da função cosseno(x), oscilam sempre entre -1 e 1.

Atividade com Planilha Eletrônica
O alunos podem trabalhar nos seu próprio gráfico da função cosseno utilizando uma planilha eletrônica como o BrOffice (http://www.broffice.org/ ).
Sugira a construção de 3 colunas, uma para os graus, outra para os radianos e outra para a função cosseno.
Na coluna dos graus, basta digitar alguns valores que formarão os pontos do gráfico e permitirão a construção da curva.

 

Na coluna dos radianos, usando a fórmula =Radianos(A2), é possível fazer a conversão dos graus em radianos automaticamente.
A seguir, na coluna da função cosseno, basta usar a fórmula =COS(B2) aplicando estas fórmulas aos valores dos graus, teremos todas as informações para construir o gráfico da função. A imagem abaixo mostra como esse processo pode ser feito.

Para gerar o gráfico, basta selecionar as colunas e clicar no ícone de construção de gráficos (semelhando ao gráfico tipo pizza) e selecionar as opções apresentadas na imagem acima.

Você pode deixar os alunos experimentarem outros valores, além de alterarem formatos e caracterísiticas do gráficos, de forma a que eles possam relacionar a variáveis envolvidas, permitindo que a experimentação contribua para a aprendizagem dos conceitos.

O professor pode, nas atividades da sala de aulas, trabalhar a construção do gráfico da função utilizando calculadoras. Caso os alunos já tenha estudado a função seno - normalmente trabalhada antes da cosseno - poderia ser proposta a construção de uma planilha que possibilitasse o trabalho com as duas funções ao mesmo tempo.

Pode-se solicitar aos alunos incrementem a planilha para apresentação aos colegas na aula seguinte, se possível acrescentando um desafio adicional que pode servir para produzir uma avaliação quantitativa. Para compor a avaliação final, de forma qualitativa, é importante realizar a avaliação durante todo o processo de produção da planilha, pedindo aos alunos que revezem as posições e fazendo intervenções no processo, buscando ajudar os alunos que possuam eventuais dificuldades com o conteúdo.