Conceitos básicos e operações envolvendo a tangente de um arco e a função tangente. Usar uma planilha eletrônica para efetuar cálculos de tangente.

2 aulas de 50 minutos.

Conceitos de ângulo, radiano, circunferência trigonométrica e funções seno e cosseno.

As funções trigonométricas envolvem operações com graus radianos e gráficos. Por isso, muitos alunos encontram muitas dificuldades para entender como elas funcionam, realizar operações e ter um bom entendimento do conteúdo. Nessa aula usaremos um objeto de aprendizagem (software específico de funções trigonométricas) e também uma planilha eletrônica (BrOffice - http://www.broffice.org.br).

Tangente de um Arco
Inicialmente o gráfico abaixo pode ser apresentado aos alunos para mostrar a posição de uma tangente em uma circunferência trigonométrica.
Uma tangente é a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo.

Fonte da imagem: wikipedia.org

A imagem abaixo apresenta a tangente na circunferência trigonométrica e sua função no objeto de aprendizagem (software) proposto para essa aula. Os alunos devem interagir modificando os valores dos ângulos, procurando observar as mudanças que ocorrem nos gráficos.

A imagem ilustra a tangente na circunferência trigonométrica por meio da linha rosa.

Recurso disponível em:

 

Você pode propor aos alunos que procurem identificar em que siituações os valores da tangente de um ângulo são iguais e quando eles trocam de sinal.

Interagindo com o software, é possível observar que no 1º e no 3º quadrante os valores da função tangente varia entre 0 e o infinito positivo. Já no 2º e no 4º quadrante, os valores da função tangente varias entre o infinito negativo e 0. Essa é uma boa oportunidade para falar sobre o infinito na matemática.

De acordo com a fórmula da tangente (abaixo) se o cosseno de um ângulo for 0 (zero), teremos uma resposta com valor infinito.

Aproveite para mostrar cada elemen to da fórmula presente na circunferência trigonométrica.

Gráfico da função tangente
Utilizando novamente o software, solicite aos alunos que observem com atenção o que acontece com a curva ao lado da circunferência trigonométrica.

A tangente do ângulo de 90º é paralela ao eixo das abcissas (x) e toca a borda da circunferência trigonométrica no valor máximo das ordenadas (y).

Na curva da função tangente, em rosa, pode-se ver a linha branca que indica o ponto correspondente a /2 no eixo das abcissas (x). A interpretação do gráfico permite dizer que em /2 (90º) e 3/2 (270º) teremos valores que correspondem ao infinito. Vale à pena ressaltar que nestes pontos o valor do cosseno do ângulo é igual a zero.
Desta forma a função representa perfeitamente o que ocorre na circunferência trigonométrica.

Os valores da função tangente(x), oscilam sempre entre o infinito negativo e o infinito positivo.

Atividade com Planilha Eletrônica
O alunos podem trabalhar com função tangente utilizando a planilha eletrônica BrOffice (http://www.broffice.org/ ).
Sugira a construção de 3 colunas, uma para os graus, outra para os radianos e outra para a função tangente.
Na coluna dos graus, basta digitar alguns valores como exemplo.

Observando a tabela da imagem acima, esse seria um momento adequado para trabalhar (ou relembrar) a notação científica.
Ainda da imagem da planilha, usando a fórmula =Radianos(A2), é possível fazer a conversão dos graus em radianos automaticamente.
A seguir, na coluna da função seno, basta usar a fórmula =TAN(B2) aplicando estas fórmulas aos valores dos graus teremos uma forma de automatizar o cálculo.

Diferentemente das funções seno e cosseno, programas de planilha não lidam muito bem com a geração de gráficos funções com a tangente, que envolvem valores muito grandes ou infinitos. Para os efeitos do conteúdo estudado, o gráfico apresentado pelo software Circulo Trigonométrico também indicado nessa aula cumpre perfeitamente os objetivos.

Como sugestão o professor pode pedir aos alunos que criem uma planilha que contenha as três funcões principais, seno, cosseno e tangente.

 

Calculadoras científicas podem ser utilizadas durante toda atividade, em paralelo com os softwares sugeridos. Também pode-se trabalhar com os aluno a criação de um mapa conceitual, no papel ou no computador (http://pt.wikipedia.org/wiki/Mapa_conceitual).

O mapa conceitual é um excelente recurso para avaliar o entendimento não só da função tangente, mas das outras funções trigonométrias que estão diretamente ligadas à tangente. É importante realizar uma avaliação paralela durante todo o processo de produção da planilha, pedindo aos alunos que revezem as posições e fazendo intervenções no processo, buscando ajudar os alunos que possuam eventuais dificuldades com o conteúdo.