• Área de figuras planas
• Volumes

• Área de figuras planas
• Volumes

               Olá Professor, apresente aos seus alunos o vídeo da aula 65 do antigo TeleCurso, caso não tenha na escola o mesmo esta disponível nos sítios abaixo. Destaque o aspecto histórico

Parte 1:
http://superdownloads.uol.com.br/templates/videos.frameset.cfm?id=lDITHlQ2Qmc&title=ANTIGO%20TELELCURSO%202000%20%20%20%2D%20%20PARTE%201  

Parte 2:
http://superdownloads.uol.com.br/templates/videos.frameset.cfm?id=fm8RBdX3dXE&title=ANTIGO%20TELECURSO%20%2D%20PARTE%202  

Caso não seja possível, apresente o vídeo da aula 65 do Novo TeleCurso, caso não tenha na escola o mesmo esta disponível no sítio, http://novotelecurso.blogspot.com/2009/07/piramide-cone-e-esfera.html.

               Professor a parte teórica sobre o assunto esta disponível em:
                    • http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm  
                    • http://www.estudeonline.net/revisao_detalhe.aspx?cod=456  
                    • http://www.scribd.com/doc/3135068/Telecurso-2000-Matematica-65  
                    • http://www.brasilescola.com/matematica/piramides.htm  

               Professor, uma atividade interessante a ser trabalhada com os alunos é a construção da pirâmide, que pode ser desenvolvida, previamente, nas aulas de Educação Artística. Essa construção pode ser pelo “esqueleto” ou pela planificação, vai depender o material disponível na escola:

     • Pelo esqueleto: peça aos alunos que acessem o sítio http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno02.html. O exemplo aqui é de um tetraedro. Neste sítio, logo no início há uma orientação para que os alunos possam girar o tetraedro em diversos sentidos.

               Abaixo do modelo de construção do “esqueleto”, existe um link para um filme que demonstra essa construção.

     • Pela planificação: Professor, imprima previamente as planificações para que os alunos possam manuseá-las . Existem algumas di sponíveis em:
          * http://www2.ucg.br/design/da2/solidosgeometricos.pdf, temos modelos nas páginas 7,8, 10
          * http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial8.php  

               Professor, para consolidar os conhecimentos teóricos visto, vamos realizar uma atividade utilizando um software de geometria dinâmica, http://www.geometriadinamica.com/, o Calques 3D, http://www.calques3d.org. Trata-se de um software de geometria espacial para se utilizado em ambiente de sala de aula, que dispõe de um conjunto de comandos de criação de objetos e de construção onde é possível marcar e medir ângulos, recuperar o histórico de uma construção, fazer macro-construções etc. O Calques 3D atende a um conjunto diverso de objetivos didáticos que contribuem para que os alunos desenvolvam seu pensamento geométrico, com destaque para atividades relacionadas de: Planejar – Explorar – Modelar – Conjecturar – Definir – Argumentar – Demonstrar. Esta disponível em http://www.calques3d.org/download/setup.zip. Alguns exemplos de atividades que podem ser desenvolvidas com o aplicativo estão disponíveis em http://www.calques3d.org/examples.html. No caso desta atividade, tenha instalado previamente o Calques 3D em todos os computadores do laboratório de informática. Existem alguns tutoriais, sobre o software, disponíveis em:
• Referência nacional do Calques 3D: http://www.professores.uff.br/hjbortol/calques3d/  
• Calques 3D – Ponto Livre (dar nome e suprimir): http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–ponto-livre-dar-nome-e-suprimir-0402356CD0913326?types=A&  
• Calques 3D – Retas e Segmentos: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–retas-e-segmentos-04023966D4913326?types=A&  
• Calques 3D – Paralelas e Perpendiculares: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–paralelas-e-perpendiculares-0402316AD4913326?types=A&  
• Calques 3D – Polígonos, Circunferências e Arcos: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–poligonos-circunferencias-e-arcos-0402306CD4913326?types=A&  
• Ponto Simétrico e Translação: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–ponto-simetrico-e-translacao-0402316ED4913326?types=A&  
• Planos 1: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–planos-1-04023172D491 3326?types=A &  
• Planos (2) e Esfera: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–planos-2-e-esfera-0402356AD8913326?types=A&  
• Calques 3D – Medidas, Histórico e Volume: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–medidas-historico-e-volume-04023466DC913326?types=A&  
• Cálculo do Volume do Tetraedro: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–construcao-do-triangulo-equilatero-04023762DC913326?types=A&  
• Construção do Triângulo Isósceles: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–construcao-do-triangulo-isosceles-0402326EE0913326?types=A&  
• Losango,Triângulo e Trapézio Isósceles na mesma Construção: http://www.youtube.com/watch?v=coRixnKaua8  
• Construção do Triângulo Equilátero: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–construcao-do-triangulo-equilatero-04023762DC913326?types=A&  
• Atributos e Centro de Circunferência: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–atributos-e-centro-de-circunferencia-04023472E0913326?types=A&  
• Trapézio isósceles: http://www.youtube.com/watch?v=JHWlAf3wvLI&feature=related  

               Professor, vamos fazer alguns estudos da pirâmide utilizando o Calques 3D. No nosso exemplo, optamos por uma pirâmide reta regular de base quadrangular. Siga os seguintes passos:

Passo 1: Inicie o aplicativo. A janela com a área de trabalho é chamada de Universo.

Passo 2: Retirar as paredes da área de trabalho. Clique com o mouse no ícone    

na segunda barra de ícones e selecione a opção “Nenhum”.

Passo 3: Acrescentado pontos.     

     • No menu “Objeto”, selecione a opção “Ponto” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones, abaixo do menu principal. Note que apareceram as paredes para fixação dos pontos, mas logo após a fixação dos pontos, elas desaparecerão novamente. O primeiro clique a ser dado é para selecionar em qual plano será criado o ponto, clique com o mouse no plano horizontal e em seguido um segundo para fixar o ponto.

  • Clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones, abaixo do menu principal ou pressione a tecla “Esc” (Tarefa padrão) e, em seguida, clique no ponto criado. Observe que no lado direito da tela, uma janela de “Atributos”. Clique no atributo “Nome” e altere no nome para A, ou seja, criamos um ponto que se chama A. Nesta janela também podemos mudar atributos como cor, visibilidade e forma do objeto.

     • Para exibir o nome do ponto, no menu “Exploração” selecione a opção “Rótulo” e em seguida clique no ponto A.

     • Peça aos alunos que criem um ponto B.

Passo 4: Criando um cubo. No menu “Objeto”, selecione a opção “Volume” e em seguida a opção “Cubo” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones. Clique no ponto A e depois no ponto B. Será mostrada uma circunferência, clique em um ponto na mesma para definir a primeira face do cubo. Note que abaixo da área de trabalho existe uma linha com a informação da ação a ser executada.

              Mova o ponto sobre a circunferência para orientar a face do cubo.

               Após clicar em um ponto da circunferência, será mostrado o cubo. Clique em

e em seguida, clique no último ponto criado, na janela “Atributos”, defina o ponto criado como ponto C. A face que contém os pontos A, B e C será considerada a base do cubo para o software. Na janela “Atributos”, altere o nome do cubo para “Cubo”, ver passo 3.

               Professor, comente com seus alunos que:
                    • O cubo criado pode ser movimentado. Clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones, em seguida clique e segure em no ponto A e movimente-o. Professor, peça aos seus alunos que façam a movimentação com o segundo ponto criado. Por final no terceiro ponto.
                    • Abaixo da segunda barra de ícones, temos um controle deslizante

este controle tem a função de movimentar o objeto criado na horizontal, pode-se também utilizar um atalho pressionando as setas para direita ou para esquerda. E no lado esquerdo, outro um controle deslizante na vertical (atalho pressionando as setas para cima ou para baixo). Peça aos alunos que movimentem o objeto criado, com o intuito de ambientarem com o sof tware.
                   • Podemos também movimentar toda a área de trabalho. Com a “Tarefa padrão” selecionada, pressione a tecla “Shift” e clique em qualquer local da área de trabalho e movimente-a.

Passo 5: Determinar o ponto médio da diagonal da face. No menu “Construção”, selecione a opção “Ponto médio” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones. Em seguida clique nos pontos A e depois no ponto C. Altere o nome do ponto para O e mostre o seu rótulo.

Passo 6: Criar uma reta perpendicular (reta normal) ao plano e que passa pelo ponto médio criado.

     • Criar uma diagonal AC da face da base do cubo. No menu “Objeto” selecione “Segmento” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones, em seguida clique no ponto A e depois no ponto B. Repita o procedimento e crie a outra diagonal da face.

     • No menu “Construção” selecione “Produto vetorial” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones, em seguida clique no primeiro segmento criado e depois no outro. Altere no nome da reta criada para “n”, mas lembre-se, eixo é a linha que une o centro da base ao vértice da pirâmide.

     • Por questões de estética, vamos esconder as diagonais criadas. Podemos esconder um objeto de duas formas:

1ª forma: Dê um clique sobre o segmento criado, a diagonal. Na janela “Atributos”, dê um clique duplo na propriedade “Visíveis”.

2ª forma: Dê um duplo clique sobre o segmento criado. Aparecerá a janela de “Propriedades do Objeto”, em “Atributos”, clique em “Oculto” e depois em “Ok”.

Passo 7: Criar um ponto sobre a reta “eixo”. Este ponto será o vértice da pirâmide.
     • No menu “Construção”, coloque o mouse sobre a opção “Point on” e selecione a opção “Reta”;
     • Clique sobre a reta “n”, em seguida clique mais uma vez para fixa o ponto;
     • Altere o nome do ponto para “V”, a “Cor” para uma cor clara.
     • Para exibir o nome do ponto, no menu “Exploração”, selecione a opção “Rótulo” e em seguida clique no ponto criado.

Passo 8: Criar as arestas laterais. Criar um segmento de reta que une os pontos A e V, ver passo 6. Crie também as outras arestas.

Passo 9: Criar um polígono na face do cubo que será a base da pirâmide. No menu “Objeto”, selecione a opção “Polígono” ou clique com o mouse no ícone

na segu nda barra de ícones. Na face que contém os pontos A, B e C; clique, na sequência, nos pontos A, B, C, no quarto ponto da face e novamente no ponto A. Na janela “Atributos”, troque o nome para “Base” e a cor para uma mais clara.

               Teremos a seguinte figura

               Por questões de estética, vamos esconder o cubo e a reta “n”, ver comentários do passo 6.

               Professor, peça aos seus alunos que movimente o vértice da pirâmide, ponto V; movimente também os pontos A e B. Movimente a pirâmide em todas as posições. Note que o ponto C desapareceu, ele criado para na construção do cubo, como ocultamos o cubo e ponto C também foi.

               Professor, podemos configurar a precisão da quantidade de casas decimais nas operações matemática. No menu “Arquivo”, selecione a opção “Opções” e será mostrada a janela “Preferências”. No lado esquerdo da janela, no item “Views” selecione a opção “MathPad” e altere a opção “Valor Real” para 4 casas decimais; em “Unidades”, “Angular” para Graus e “Linear” para cm. Em seguida clique com o mouse em “Close”.

Passo 10: Medir a altura da pirâmide. No menu “Exploração” selecione a opção “Medida”. Na área de trabalho, clique no botão direito do mouse e será apresentado o menu suspenso com as opções “Ângulo”, “Distância”, “Comprimento”, “Área” e “Volume”, selecione a opção “Distância” e em clique no ponto V e em seguida no ponto O. Será mostrada uma janela com o título “MathPad”, que funciona como uma folha de cálculo. Note que apareceu a expressão, no nosso exemplo, d(V,O) = 9.9701 cm. Professor, oriente seus alunos para clicar e arrastar a expressão para uma posição mais abaixo na janela porque a próxima expressão a ser incluída, será no mesmo local. Mostre que ao clicar na expressão criada, um segmento de reta ligando o ponto V ao ponto O.

               Peça a eles que cliquem com o botão direito do mouse na expressão criada. Será mostrada uma janela e nela, selecione a opção “Propriedades”. Será mostrada a janela “Propriedades do Objeto”. Em “Variáveis”, digite “Altura” e clique em “Ok”. A respeito do nome das variáveis criadas, o Calques 3D faz diferença com nome utilizando letras maiúsculas e minúsculas, portanto tenha cuidado na definição das variáveis.

               Professor, peça aos alunos que cliquem na janela “Universo”, movimente o ponto V e observe o que acontece a medida da altura.

Passo 11: Inserindo um comentário na janela “MathPad”.
     • Clicando com o botão direito do mouse em um local livre na janela “MathPad” aparecerá a janela com as opções “Inserir um comentário” e “Inserir expressão”.
     • Selecione “Inserir comentário”, aparecerá um rótulo com a mensagem “novo comentário...”, 
     • Dê um duplo clique e altere o texto, por exemplo: “Estudo da pirâmide”.
     • Dê um clique e arraste para o local desejado.

               Professor, na janela “MathPad” podemos utilizar constantes, operadores e funções, conforme abaixo:
                    • Constantes matemáticas: E e Pi
                    • Operadores aritméticos: +, -, *,/ 
                    • Resto de divisão: %
                    • Potenciação: **
                    • Operações lógicas e relações: <, >, =, >, <
                    • Funções: 
                         * cos (x) – retorna o valor do cosseno de x.
                         * sin (x) – retorna o valor do seno de x.
                         * tan (x) – retorna o valor da tangente de x.
                         * atan (x) – retorna o valor do arco tangente de x.
                         * asin (x) – retorna o valor do arco seno de x.
                         * acos (x) – retorna o valor do arco cosseno de x.
                         * exp (x) – retorna o valor ?
                         * ln (x) – retorna o valor do logaritmo neperiano de x.
                         * lg (x) – retorna o valor do logaritmo decimal de x.
                         * sqrt (x) – retorna o valor da raiz quadrada de x.
                         * abs (x) – retorna o valor absoluto de x.
                         * frac (x) – retorna a parte decimal de x
                         * trunc (x) – retorna a parte de inteira de x
                        * floor(x) – retorna o inteiro o maior que é menor do que ou igual a X
                         *  ceil (x) – retorna o inteiro o menor que é mais grande do que ou igual a X
                         * round (x, precisão) – retornos um número arredondado a um número especificado de lugares decimais
                         * sgn (x) – retorna 1 se x > 0, -1 se x < 0 e 0 se x=0.
                         * neg (x) – mude o sinal de x
                    • Variáveis: antes de usar uma variável em uma expressão, você tem que defini-la atribuindo um nome variável a todos os valores (isto é. Distância, volume, uma outra expressão, etc.) disponíveis na vista de “MathPad”. Você pode fazer um clique duplo em um valor e ajustar o nome na caixa de diálogo. Uma vez que feita, essa variável está disponível para o uso em uma expressão. Você pode selecioná-lo pelo menu situado abaixo do campo da edição na caixa de diálogo ou apenas datilografando a. Não há nenhuma verificação automática de nomes variáveis duplicados, assim que você terá que fazê-la você mesmo.
                    • Observação: Extrair valores de uma equação, por exemplo: o valor da abscissa ou ordenada de um ponto da equação de uma esfera não é (ainda) possível.

Passo 12: Calcular a área da base da pirâmide. Podemos fazer isto de duas formas:

1ª forma: Como a base da pirâmide é um quadrado, utilizaremos a fórmula para calcular a área de quadrado. A= lado².     • Medir o valor da aresta da base da pirâmide, ver passo10. Medir a distância do ponto A do B; atribua o nome “ArestaBase”.

     • Clicando com o botão direito do mouse em um local livre na janela “MathPad” aparecerá a janela com as opções “Inserir um comentário” e “Inserir expressão”.
     • Selecione “Inserir expressão”, será acrescentada na janela uma expressão “1+1=2.0000”.
     • Clique na expressão criada e em seguida, clique com o botão direito do mouse. Será mostrada uma janela e nela, selecione a opção “Propriedades”. Será mostrada a janela “Propriedades do Objeto”.
     • Como vamos calcular o comprimento da circunferência, em “Variáveis”, digite “AreaBase1”, em “Definição” digite “ArestaBase**2”, que equivale à A=ArestaBase2, em seguida, clique em “Ok”.

2ª Forma: Determinar a área do polígono da base.
     • Clique na janela “Universo”.
     • No menu “Exploração” selecione a opção “Medida”.
     • Na área de trabalho, clique no botão direito do mouse e será apresentado o menu suspenso com as opções “Ângulo”, “Distância”, “Comprimento”, “Área” e  “Volume”, selecione a opção “Área” e em clique no polígono criado na base da pirâmide. 
     • Clique na expressão criada e em seguida clique com o botão direito e selecione “Propriedades”.
     • Em “Variável” digite “AreaBase2”.

Passo 13: Calcular o valor de uma das faces laterais. Podemos fazer isto de duas formas:

1ª Forma: Utilizando fórmula para cálculo A=(Base x Altura) / 2.     

     • Medir do apótema da pirâmide: Criar um ponto médio entre os pontos A e B, ver passo 5. Em seguida, medir a distância do ponto V ao ponto criado. Altere a variável para ApotemaPiramide“.

     • Inserir uma expressão com a fórmula da área da superfície da face, para isto, informe “Area1Face” em “Variável” e em “Definição” informe “ArestaBase*ApotemaPiramide/2”.

2ª Forma: Criar um polígono na face da pirâmide, ver passo 9. Em seguida, determinar a área do polígono, ver 2ª forma do passo 12. Defina a “Variável” com “Area2Face”.

Passo 14: Calcular a área total da pirâmide. Inserir uma expressão com a fórmula da área total da superfície da pirâmide , para isto, informe “AreaTotal” em “Variável” e em “Definição” informe “AreaBase1 + 4*AreaBase1”.

Passo 15: Calcular o volume da pirâmide. Inserir uma expressão com a fórmula volume da pirâmide, para isto, informe “Volume” em “Variável” e em “Definição” informe “AreaBase1*Altura/3”.

               No nosso exemplo, teremos as seguintes informações na janela MathPad

               Professor, peça aos seus alunos que movimente os pontos A, B e V, e observem os resultados. Com esta ferramenta podemos fazer diversos tipos de cálculos e medições. Peça a eles que salvem, em um local específico, os trabalhos feitos Elabore uma lista de exercícios para que eles possam praticar.

Veja os sítios

http://superdownloads.uol.com.br/download/82/3d-learning-geometria-espacial/videos.html#  
http://superdownloads.uol.com.br/download/82/3d-learning-geometria-espacial/videos.html#  

A avaliação poderá ser da seguinte forma:
• Atividades em sala.
• Montagem de planificações e seu estudo
• Listas de exercícios envolvendo aplicações do assunto no cotidiano.
• Durante as aulas observando o interesse e a participação do aluno.
• Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog já existente, sugerimos http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080930152702AAlzrpF.
• Participação em fóruns: http://www.ajudamatematica.com/search.php?keywords=volume+volumes&terms=any#start_here
• Competição entre grupos, de no máximo quatro alunos, onde cada grupo apresenta um problema outro grupo caso consiga resolvê-lo, continua na competição, caso erre, será eliminado.
• Análise dos arquivos que foram salvos com os exercícios no Calques 3D.