- Identificar problemas que envolvem o trabalho com Permutação; - Resolver situações-problema que envolvem esse método de contagem; - Trabalhar com Permutações Simples e/ou Permutação com Elementos Repetidos.

04 horas/aula ou 200 minutos

- Multiplicação de Números Naturais; - Conceitos de Análise Combinatória; - Fatorial de um Número.

Caro professor, nessa aula abordaremos o estudo de Análise Combinatória, mais especificamente o conceito de Permutações, através de duas atividades. A primeira envolve o trabalho com palavras por meio de fichas com o alfabeto e a segunda é desenvolvida tendo como base um software educacional, com o qual o professor deverá trabalhar na Sala Ambiente de Informática (SAI).

Para realizar essa aula é importante que o professor já tenha iniciado o trabalho com os Métodos de Contagem.
Dando início ao conceito de Permutação sugerimos que o professor apresente aos alunos, antes de formalizar a teoria, problemas de permutação entre letras de diferentes palavras. No entanto ao invés de trabalhar com lousa e giz ou apostilas, indicamos a seguinte atividade:

Material Necessário: Fichas retangulares contendo, em cada uma, uma letra do alfabeto (essas fichas poderão ser feitas em papel cartão, cartolina ou até mesmo em papel sulfite que, dependendo da disponibilidade de tempo da aula, poderão ser confeccionadas pelos próprios alunos).

DICA: O professor pode definir, antes da atividade, com quais palavras pretende trabalhar, para que não seja necessário fazer fichas com todas as letras do alfabeto, e tenha noção da quantidade de fichas de cada letra que utilizará.

Desenvolvimento:
- Dividir a turma em grupos e distribuir as fichas entre os alunos;
- Apresentar cada palavra que será trabalhada pedindo para que eles encontrem o número de palavras que poderá ser formada com as letras dessa. É importante que o professor deixe claro aos alunos que as palavras formadas com as letras da palavra original, não precisam ter significado.

Como estará trabalhando com o número possibilidades de se montar palavras com algumas letras, é interessante que seja apresentado aos alunos o termo “Anagrama”, bem como o seu significado, para que eles se familiarizem com o uso desse.

DICA: O professor pode começar trabalhando com letras “soltas”, como as vogais ou as cinco primeiras letras do alfabeto, pedindo aos alunos que encontrem o número de possibilidades de ordenar as letras dadas. Ao trabalhar com palavras, pode-se utilizar o nome dos alunos ou palavras formadas por eles mesmos.

No primeiro momento é importante que seja realizado um trabalho apenas com palavras ou nomes que não contenham letras repetidas, ou seja, casos de Permutação Simples, mostrando que nessas situações todos os elementos são distintos. Vale ressaltar que nesses primeiros exemplos o professor poderá optar por palavras menores, com três ou quatro letras, para que posteriormente, ao utilizar a fórmula, possa justificar o uso dessa como forma de diminuir o trabalho em situações onde se peça, por exemplo, para encontrar o número de permutações das letras de uma palavra com 10 ou 12 letras. Após finalizar essa primeira etapa pode-se formalizar o conceito de Permutação e apresentar a fórmula: Pn = n!, mostrando aos alunos que ao utilizá-la eles poderão encontrar os números de permutações de forma mais rápida e simples.

Dando seqüência, o professor poderá retomar o trabalho com as fichas apresentando agora situações em que seja fixada a posição de determinadas letras. Podemos citar como exemplo a palavra CABELO, onde o professor poderá pedir aos alunos que encontrem o número de anagramas que se pode formar com ela; em seguida o número de anagramas que se pode formar sendo estes iniciados pela letra A ou terminados com a letra B; posteriormente quantos anagramas iniciados por uma vogal e terminados por uma consoante é possível encontrar; entre outros. Neste tipo de atividade, é interessante recorrer às representações das permutações através de desenhos na lousa, fixando as letras que não deverão ser permutadas, como no exemplo: A □ □ □ □ B.

Em seguida, após explicar como resolver os problemas propostos pode-se dar início ao trabalho com palavras onde existam letras repetidas, principiando o estudo de Permutação com Elementos Repetidos. O professor terá nesse momento a oportunidade de formalizar esse conceito tendo como base os exemplos trabalhados e será possível ainda apresentar a fórmula: , para a resolução desse tipo de Permutação. É importante que, através de questionamentos, o professor leve os alunos a compreenderem o porquê de na permutação com elementos repetidos, ser necessário dividir pelo produto do fatorial de cada elemento repetido, através do desenvolvimento de anagramas de palavras como ama, por exemplo.

DICA: No decorrer de toda a atividade é importante que os alunos anotem os métodos utilizados para encontrar as respostas dos exercícios propostos. Esse registro se constitui como instrumento de avaliação para o professor.

DICA: Além de trabalhar com palavras o professor pode selecionar alguns alunos e posicionar cadeiras em uma fileira, trabalhando com as possibilidades que existem de se formar filas distintas entre os alunos, ou outras situações que envolvam as características de cada um dos tipos de permutação.

Dando seqüência à aula, indicamos a utilização do software “Permutação” que se encontra em:

rived.mec.gov.br/atividades/matematica/permutacao/permutacao.swf

Nesse objeto são apresentados problemas que envolvem o trabalho com Permutação em situações do cotidiano de uma cidade, onde o aluno deverá encontrar, por exemplo, o número de possibilidades de se arrumar os livros de uma estante ou de organizar as pessoas que estão em uma fila.

Essa parte da aula, como já citado, deverá ser realizada na SAI e como os alunos já terão conhecimento sobre o conteúdo não será necessário o trabalho em lousa.
Como os alunos já estarão familiarizados com as fórmulas necessárias para o trabalho com Permutação, eles poderão resolver os trabalhos com mais facilidade, no entanto é sempre importante que o professor peça à turma que descreva os métodos utilizados no caderno ou até mesmo em um editor de textos do computador, para aproveitar ainda mais as facilidades que essa tecnologia proporciona, podendo utilizar as descrições como forma de analisar o conhecimento adquirido pela turma no desenvolvimento da aula.

 

O aluno poderá ser avaliado a partir das suas produções feitas nas aulas, sendo exemplos dessas os cálculos e anotações realizados durante as atividades. O professor pode ainda, aplicar outros instrumentos de avaliação, tais como: lista de exercícios ou provas, que primem pela utilização de problemas sobre Análise Combinatória e Permutação, presentes no cotidiano do aluno.