Aplicar os princípios de equivalência na resolução de equações do primeiro grau.
Resolver problemas utilizando equações do primeiro grau.

Operações e propriedades dos números racionais
Operações de adição e multiplicação de termos algébricos.
Definição e terminologia das equações.

São quatro as dimensões da álgebra indicadas nos PCN (SEF/MEC, 1998), a saber: aritmética generalizada, funcional, equações e estrutural. Tinoco, 2008 salienta que tais dimensões não são excludentes, nem há hierarquia entre elas.
Nesta aula, abordaremos as equações, que usam letras como incógnitas.

Para trabalhar o princípio de equivalência, aborde uma situação que envolva os pratos de uma balança em equilíbrio, como na figura abaixo.

Pergunte como ficarão os pratos da balança, se for colocado em um deles um peso de 100 gramas. Assim que os alunos perceberem que a balança ficou desequilibrada, ilustre a situação e pergunte o que deve ser feito para que a balança volte à posição de equilíbrio, sem que o peso de 100 gramas seja retirado.

A turma deve perceber que no outro prato deve ser colocado também um peso de 100 gramas, ou uma quantidade de pesos que somados dêem 100 gramas.

Faça o mesmo questionamento para a colocação de, por exemplo, um peso de 3 kg em um dos pratos.
Se achar necessário ilustre também essa situação.

Mais uma vez, a turma deve perceber que no outro prato deve ser colocado um peso de 3 kg, ou uma quantidade de pesos que somados dêem 3 kg.

Depois que a turma tiver assimilado o mecanismo do princípio, peça para os alunos registrarem em seus cadernos que:

“Para a balança manter o equilíbrio, ao acrescentarmos um peso em um dos pratos, o mesmo deve ser feito no outro prato.”

Seguindo a mesma ideia do acréscimo de peso, proponha agora a retirada de peso de um dos pratos. Professor, caso haja necessidade, ilustre as situações propostas.

Após o entendimento da turma, mais uma vez peça para os alunos registrarem que:

“Para a balança manter o equilíbrio, ao retirarmos um peso de um dos pratos, o mesmo deve ser feito no outro prato.”

Utilize a atividade a seguir, para introduzir os mecanismos da resolução de equações. É importante que o desenvolvimento seja feito com a participação dos alunos.

Atividade: Para a balança ficar em equilíbrio, qual deve ser o valor de x?

A equação (igualdade) correspondente ao equilíbrio da balança é: 3 + x = 9

Retirando-se 3 unidades de cada lado, pelo princípio da equivalência, a igualdade é mantida.
3 + x – 3 = 9 – 3
Pela comutatividade da adição, podemos reescrever o primeiro membro da igualdade da seguinte forma:
x + 3 – 3 = 9 – 3
Fazendo os cálculos, obtém-se,
x + 0 = 6
x = 6

O valor da incógnita x é 6.

Proponha a resolução da atividade 1 da lista de exercícios do link.

Considerando que a turma já aprendeu a linguagem algébrica, faça uma analogia entre a balança e uma equação algébrica, apresentando, então, as representações correspondentes:

Importante: Explique que a igualdade corresponde ao equilíbrio entre os pratos da balança, a e b correspondem aos pesos dos pratos e m, corresponde ao outro peso adicionado ou subtraído.

Dê exemplos como:

1. Se x = 5 então x + 6 = 5 + 6

2. Se x = 8 então x – 3 = 8 – 4

Peça para os alunos resolverem a atividade 2 da lista de exercícios do link.

2. Usando o equil íbrio das igualdades, proceda como nos exemplos abaixo, para determinar o valor de x.

Obs: Faça os exemplos com a participação dos alunos, mostrando que, se o objetivo é encontrar o valor de x, devemos usar o conceito de oposto convenientemente!

Exemplos:

Nesse momento, propõe-se que os alunos resolvam a atividade 3 da lista de exercícios do link.

Importante: Valorize também o raciocínio mental do aluno. A determinação do valo de x, não requer, necessariamente, a manipulação algébrica.

Caro professor, considerando que os alunos já compreenderam todo o procedimento visto até aqui, mostre que:

Como a multiplicação é uma adição de parcelas iguais, podemos então afirmar que:

Assim como, sendo a divisão o inverso da multiplicação, tem-se:

Dê exemplos como:

Usando o equilíbrio das igualdades, proceda como nos exemplos abaixo, para determinar o valor de x.
Obs: Faça os exemplos com a participação dos alunos, mostrando que, se o objetivo é encontrar o valor de x, devemos usar os conceitos de oposto e inverso convenientemente!

Exemplos:

Mais uma vez, propõe-se que os alunos resolvam a atividade 4 da lista de exercícios do link.

Importante: Novamente, valorize o raciocínio mental do aluno. A determinação do valor de x, não requer, necessariamente, a manipulação algébrica.

Exemplifique, agora, a resolução de equações que envolvam todos os conceitos vistos até aqui. Aproveite para recordar a propriedade distributiva em relação à adição e à subtração.

Determine os valores de x:

a. 3(x + 5) = 2(x – 5)
Aplicando a propriedade distributiva: 3x + 15 = 2x – 10
Pelo princípio de equivalência: 3x + 15 – 15 = 2x – 10 – 15
Somando os termos algébricos e novamente utilizando o princípio:
3x = 2x – 25
3x – 2x = 2x – 2x – 25
Somando os termos algébricos: x = – 25

b. 4x + 2(x + 5) + x + 1 = –11
Aplicando a propriedade distributiva: 4x + 2x + 10 + x + 1 = –11
Utilizando a propriedade comutativa da adição e somando os termos algébricos:
4x + 2x + x + 10 + 1 = –11
7x + 11 = –11
Pelo princípio de equivalência:
7x + 11 –11 = –11–11
7x = –22
Pelo princípio de equivalência:

c. 7 – 2 (–y – 3) = 8 – 4 (y – 1)
Aplicando a propriedade distributiva: 7 + 2y + 6 = 8 – 4y + 4
Utilizando a propriedade comutativa da adição e somando os termos algébricos: 2y + 13 = – 4y + 12
Pelo princípio de equivalência:
2y + 13 – 13 = – 4y + 12 – 13
Somando os termos algébricos e utilizando o princípio mais duas vezes:
2y = – 4y – 1
2y + 4y = – 4y + 4y – 1
6y = –1

Importante:
1. Caso haja alunos que, erroneamente, transformaram a equação original em: 5(–y – 3) = 8 – 4 (y – 1), ou seja, inicialmente efetuaram a subtração (7 – 2), chame a atenção para a ordem de resolução das operações.

2. Observe e discuta também o fato de, erroneamente, algum aluno ter feito a distributividade da seguinte forma: – 2 (–y – 3) = 2y – 6 e/ou – 4 (y – 1) = – 4y – 4

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Agora, peça para os alunos resolverem a atividade 5 da lista de exercícios do link.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/equacoes/ExercPrincEquiv.pdf

Link a lista de exercícios.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/equacoes/ExercPrincEquiv.pdf

A avaliação do aluno pode ser feita levando em consideração:
– participação em aula
– resolução de atividades em aula
– trabalhos em grupo ou individuais
– questões desafio para serem desenvolvidas em aula