Resolver equações do 2º grau utilizando o completamento de trinômios quadrados perfeitos.
Deduzir a fórmula de resolução de equações do 2º grau.

Fatoração de trinômio quadrado perfeito
Operação com radicais

O objetivo dessa aula é manipular equações do segundo grau, obtendo equações equivalentes, de forma a resolvê-las utilizando a fatoração de trinômios quadrados perfeitos. Em seguida, aplica-se esse processo na dedução da fórmula de resolução de equações do 2º grau.

Professor, propomos que a aula seja iniciada com uma breve revisão sobre fatoração de trinômios quadrados perfeitos.

Trinômios quadrados perfeitos:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Proponha a fatoração dos trinômios a seguir, questionando sobre a relação dos termos do trinômio e os da forma fatorada, ou seja, os valores de a e b.

1. x² + 6x + 9 = (x + 3)2

2. x² – 10x + 25 = (x – 5)²

Caso haja necessidade, elabore mais alguns exemplos.

Resolvendo as equações dos exemplos dados.
1. x² + 6x + 9 = 0
(x + 3)² = 0
x + 3 = 0, então x = –3.
S = {–3}

2. x² – 10x + 25 = 0
(x – 5)² = 0
x – 5 = 0, então x = 5.
S = {5}

Questione então sobre a possibilidade de utilizar o mesmo processo para resolver, por exemplo, a equação: x² – 4x + 3 = 0

Espera-se que os alunos digam que não é possível, pois o trinômio da equação não é quadrado perfeito!

Obs: Caso os alunos já tenham visto equações do tipo: x² – Sx + P = 0, proponha, então, a resolução:

x² – 4x + 3 = 0
S = 4
P = 3
Se o produto das raízes é positivo e a soma positiva, então as raízes são positivas e iguais a 1 e 3.
S = {3, 1}

Mostre uma nova forma para resolução da equação, perguntando se é possível obter uma equação equivalente à equação inicial, na qual apareça um trinômio quadrado perfeito. Como dica, peça para os alunos observarem os dois primeiros termos: x² – 4x e pergunte qual termo que deve ser adicionado a esta expressão para que ela se torne um trinômio quadrado perfeito.

Deixe-os trocar ideias até chegarem ao termo correto: x² – 4x + 4.

O que fazer então para obter a equação equivalente? Basta utilizarmos o princípio de equivalência, ou seja:

x² – 4x + 4 + 3 = 0 + 4 (adicionando 4 aos dois membros da equação)

Substituindo x² – 4x + 4, por (x – 2)²:

(x – 2)² + 3 = 4 (adicionando –3 aos dois membros da equação), temos: (x – 2)² = 1

Nota: Lembre-os de que,

Daí: x – 2 = 1 ou x – 2 = –1
Concluindo então que: x = 3 ou x = 1
S = {3, 1}

Para fixação deste tipo de resolução, sempre com a participação da turma, proponha mais equações.

1) 4x² + 12x – 7 = 0

Completando o quadrado perfeito em 4x² + 12x, obtemos o trinômio: 4x² + 12x + 9.
Adicionando 9 aos dois membros da equação e, em seguida, fatorando o trinômio quadrado perfeito:
4x² + 12x + 9 – 7 = 0 + 9
(2x + 3)² – 7 = 9 (adicionando 7 aos dois membros da equação) temos:
(2x + 3)² = 16
2x + 3 = 4 ou 2x + 3 = –4
Concluindo então que: x = 1/2 ou x = –7/2

2) – x² + 14x + 20 = 9

Nota: Para facilitar a manipulação das equações, crie, no aluno, o hábito de multiplicar os dois membros da equação por (–1) sempre que o coeficiente de x² for negativo.

No caso, (–1) (– x² + 14x + 20) = (–1) x 9, obtendo:
x² – 14x – 20 = –9
Completando o trinômio, temos: x² – 14x + 49
Usando o princípio de equivalência e fatorando, temos:
x² – 14x + 49 – 20 = –9 + 49
(x – 7)² = 60

3) 9x² + 6x = –5
Completando o trinômio, temos: 9x² + 6x + 1
Usando o princípio de equivalência e fatorando, temos:
9x² + 6x + 1 = –5 + 1
(3x + 1)² = –4

Obs: Neste caso, a equação não tem solução real visto que é preciso extrair a raiz quadrada de –4.
Logo, S = { }

4) x² + x = 6

x = 2 ou x = –3
S= {– 3, 2}

Professor, é importante que o próprio aluno deduza a fórmula de resolução de equações do 2º grau, pois, deste modo, não só irá entendê-la, como também poderá fazer a opção de empregá-la ou de resolver uma equação usando o completamento de trinômios.

Para tanto, comece a introduzir letras para representar números. Neste primeiro momento, represente pela letra c o termo independente de x.

Faça-os perceber que o procedimento é o mesmo dos exemplos anteriores.

Exemplo:
Resolver a equação: x² + x + c = 0

Insira agora a letra b no lugar do coeficiente de x.

Exemplo:
x² + bx + c = 0

Finalmente, represente o coeficiente de x² pela letra a, ou seja, considere a equação: ax² + bx + c = 0

Para garantir que o termo em x² é um quadrado perfeito, dividiremos ambos os membros da equação por a.

Obs: Informe aos alunos e peça para que registrem em seus cadernos que, para simplificação da representação da equação, costuma-se representar o radicando pela letra grega delta e nomeá-la como sendo o discriminante da equação. Passamos, assim, a representar a fórmula, como abaixo.

Resolva, com os alunos, algumas equações com o uso da fórmula.

1) –2x² + 10x – 8 = 0
Dividindo ambos os membros da equação por –2, temos:
x² – 5x + 4 = 0

Obs: É claro que dividir por (–2) não é necessário, mas facilita, pois trabalha-se com números menores!
Inicie com o cálculo de delta, identificando os valores de a, b e c.

x = 4 ou x = 1
S = {1, 4}

2) x² – 16x + 64 = 0

x = 8

S = {8}

3) x² + 2x = –7
Some 7 aos dois membros da equação, obtendo:
x² + 2x + 7 = 0

Como o discriminante é negativo, não existe x real. A equação não tem solução.

S = { }

Observando a quantidade de raízes de cada uma das equações resolvidas, peça para os alunos relacionarem essa quant idade com o discriminante das mesmas. Depois que a turma perceber essas relações, solicite que registrem em seus cadernos que:

Lista de exercícios complementares:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/equacoes/ExercEquacoesGrau2.pdf

Link a lista de exercícios.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/equacoes/ExercEquacoesGrau2.pdf

A avaliação do aluno pode ser feita levando em consideração:
– participação em aula
– resolução de listas de exercícios
– trabalhos em grupo ou individuais
– resolução, em sala de aula, de questões desafio
– realização da atividade proposta no link