• Equivalência de Capitais.

• Juros Compostos.

O objetivo desta aula é fazer com que os alunos percebam que, por conta dos juros, o valor do dinheiro muda a cada dia. Por este motivo, se faz necessário trabalhar com equivalência de capitais, uma vez que para compará-los eles devem estar relacionados à mesma data.

Para relacionar capitais equivalentes, basta saber trabalhar com juros compostos. O raciocínio utilizado é similar ao utilizado para realizar equivalência de taxas.

Devido à incidência de juros, se você toma uma quantia emprestada hoje, daqui a 1 mês deverá devolver uma outra quantia de valor maior. Da mesma forma, se você faz uma aplicação hoje, daqui a 1 ano deverá receber, a princípio, um montante diferente. Mas como estabelecer esta equivalência entre valores atuais e valores futuros?

Sugere-se a análise da seguinte situação. É conveniente providenciar calculadoras para os alunos.

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Luís tomou uma quantia emprestada em janeiro, a juros de 8% ao mês. Para seu espanto, sua dívida em abril era de R$ 1 889,57. Sabendo que não efetuou nenhum pagamento da dívida neste período, qual foi o valor do empréstimo realizado em Janeiro? Preencha a tabela abaixo com os valores devidos também nos outros meses.

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Não é esperado que os alunos percebam intuitivamente o procedimento necessário para o preenchimento da tabela. Porém, como eles já lidam com juros compostos, devem conseguir relacionar os valores devidos em dois meses distintos, por exemplo:

• Seja x o valor devido em fevereiro, sabe-se que x . 1,08² = 1 889,57
• Seja y o valor devido em maio, sabe-se que 1 889,57 . 1,08 = y

Por este motivo, deve-se encaminhar o raciocínio dos mesmos através de perguntas, tais como:

• Como saber o valor devido em fevereiro?
• Como saber o valor devido em maio?

A partir daí, espera-se que os alunos observem que para encontrar um valor futuro, se faz necessário multiplicar, neste caso, por 1,08 um determinado número de vezes. Ao passo que para encontrar um valor anterior, deve-se dividir por 1,08 de forma análoga.

Uma vez tiradas estas conclusões, as mesmas devem ser registradas.

Num regime de juros compostos de taxa i, um capital inicial C transforma-se, após n períodos, em um montante igual a C(1 + i)ⁿ. Isto é, uma quantia cujo valor atual é A, equivalerá no futuro, depois de n períodos de tempo, a uma quantia F = A(1 + i)ⁿ.

Desta forma:

Para obter o valor futuro (após n períodos), basta multiplicar o atual por (1 + i)ⁿ.
Para obter o valor atual (n períodos antes), basta dividir o futuro por (1 + i)ⁿ.

Observe que o fato de este registro ser feito de forma literal, não implica numa valorização de fórmulas matemáticas. É de extrema importância que os alunos entendam o raciocínio utilizado para não ficarem dependentes de fórmula alguma.

ATENÇÃO!

Não é coerente operar com capitais em momentos distintos (referências distintas), pois neste caso o tempo da operação financeira também é diferente, o que faz com que a incidência de juros ocorra de forma desigual. Por este motivo, devemos ter a preocupação de fazer a e quivalência de cap itais e trabalhar semp re na mesma referênc ia.

Uma aplicação bastante us ual do que foi desta cado acima, é quando se sabe o valor das prestações do financiamento de um produto e se deseja saber o valor à v ista deste mesmo pro duto. Por exemplo, se o pagamento está sendo feito em 3 prestações de R$ 50,00, não quer dizer que o valor à vista do produto é R$ 150,00. Como as prestações são pagas em momentos diferentes, não se pode somá-las desta maneira. Deve-se utilizar a equivalência de capitais e calcular o valor de cada prestação no ato da compra, ou seja, na referência zero. Feito isto, pode-se, então, somá-las e obter o respectivo valor à vista.

Especial atenção deve ser dada a este conteúdo, pois este raciocínio não é habitual e as pessoas, em geral, costumam comparar valores sem se preocupar com a referência utilizada. Porém, se a mesma não for levada em consideração, toda a comparação estará baseada em argumentos falsos o que levará a conclusões erradas. Para que se faça um bom uso da Matemática Financeira e para que a mesma seja plenamente entendida, a equivalência de capitais deve ser perfeitamente assimilada.

A seguir, tem-se alguns exercícios que podem ser realizados com os alunos para fixação do conteúdo estudado.

1) Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de R$ 74,20. Ou seja, o capital de R$ 70,00 hoje equivale ao capital de R$ 74,20 daqui a 1 mês. Sabendo disto, qual a taxa de juros cobrada?

2) O preço de certo produto é, hoje, igual a P e aumenta 2% ao mês. Qual será o preço desse produto daqui a n meses? Ou seja, o capital P hoje equivale a quanto daqui a n meses?

3) Laura quer comprar um teclado em duas prestações mensais de R$ 150,00, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Sendo a taxa de juros cobrada igual a 3% ao mês, determine o valor do teclado para pagamento à vista.

4) João irá comprar uma televisão em duas prestações mensais de R$ 1 170,00, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a taxa de juros mensal praticada pela loja é de 5%, qual o valor da televisão à vista?

5) Uma rede de lojas cobra uma taxa de juros mensal de 10%. Certa mercadoria, cujo preço à vista é P, será vendida de acordo com o seguinte plano de pagamento: R$ 100,00 de entrada, uma prestação de R$ 240,00 a ser paga em 30 dias e outra de R$ 220,00 a ser paga em 60 dias. Determine P, o valor da venda à vista dessa mercadoria.

A atividade proposta para os alunos está disponível para download no link:

www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/matfinanceira/equiv_cap.pdf

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Introdução
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Taxas
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Prestações
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Taxa de Juros
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Sistemas de Amortização
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Tabela Price e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: SAC e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Análise Financeira

A avaliação deve ser feita ao longo de toda a aula baseada tanto na participação, quanto no desempenho dos alunos nas atividades propostas. É importante que eles debatam, critiquem e tirem suas próprias conclusões. Outros exercícios também podem ser feitos para complementar a avaliação.