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Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Taxas

 

24/11/2009

Autor e Coautor(es)
PRISCILA MARQUES DIAS CORREA
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RIO DE JANEIRO - RJ COL DE APLIC DA UNIV FED DO RIO DE JANEIRO

Fernando Celso Villar Marinho, Ivail Muniz Júnior

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Vendas
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Transações Imobiliárias
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Operações Financeiras
Ensino Médio Matemática Álgebra
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Operações Comerciais
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Contabilidade
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Cooperativismo
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

• Equivalência de Taxas.

Duração das atividades
50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

• Juros Compostos.

Estratégias e recursos da aula

O objetivo desta aula é permitir que os alunos calculem taxas de juros equivalentes, tendo assim condições de avaliar uma operação financeira.

Para relacionar taxas equivalentes, basta saber trabalhar com juros compostos. O raciocínio utilizado é similar ao utilizado para realizar equivalência de capitais.

Seja i a taxa de juros mensal utilizada em um empréstimo bancário, por exemplo. Para saber a taxa de juros anual, basta saber que esta taxa foi aplicada na forma de juros compostos mês a mês, ou seja:

1 + Taxa_Anual = (1 + Taxa_Mensal)12
Taxa_Anual = (1 + Taxa_Mensal)12 – 1

Deve-se observar que a aplicação da taxa de juros mensal se repete 12 vezes, já que 1 ano tem 12 meses.

Se quisermos relacionar uma taxa trimestral com a taxa anual equivalente, teremos:

1 + Taxa_Anual = (1 + Taxa_Trimestral)4
Taxa_Anual = (1 + Taxa_Trimestral)4 – 1

Já que 1 ano é composto de 4 trimestres.

O raciocínio é o mesmo se, sabendo a taxa anual, desejarmos obter a taxa mensal. Porém, a manipulação algébrica é diferente, observe:

1 + Taxa_Anual = (1 + Taxa_Mensal)12
1 + Taxa_Mensal = (1 + Taxa_Anual)1/12
Taxa_Mensal = (1 + Taxa_Anual)1/12 – 1

Da mesma forma, se temos a taxa anual, podemos obter a taxa semestral, por exemplo:

1 + Taxa_Anual = (1 + Taxa_Semestral)2
1 + Taxa_Semestral = (1 + Taxa_Anual)1/2
Taxa_Semestral = (1 + Taxa_Anual)1/2 – 1

Para concluir, é importante registrar a relação obtida, mesmo que não seja valorizada a fórmula, mas sim o raciocínio por trás da mesma.

Se a taxa de juros relativa a um período de tempo é igual a i, a taxa de juros relativa a n períodos de tempo será I = (1 + i)n – 1.

Sugere-se que o exercício abaixo seja proposto para fixação. É conveniente providenciar calculadoras para os alunos.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Os encartes das lojas geralmente trazem, por uma questão legal, a taxa de juros mensal e a taxa anual equivalente. Considere que no rodapé da última folha de um encarte de uma loja, apareçam em letras microscópicas, as seguintes informações:

0 + 11 — juros de 3,51% a.m. ou 51,28% a.a;
1 + 12 — juros de 5,49% a.m. ou 65,88% a.a.

a) Juros de 3,51% a.m., equivalem a juros de 51,28% a.a.? Por quê?
b) Na segunda informação, a equivalência de taxas está correta? Se incorreta, encontre a equivalência correta. Justifique sua resposta.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para enriquecer a discussão, pode-se perguntar aos alunos como a taxa de 65,88% foi encontrada no exercício proposto. Caso necessário, deve-se induzi-los a perceber que a mesma foi calculada através de uma proporção direta.

Baseado nesta observação, pode-se perguntar aos alunos qual seria a diferença entre “Taxas Equivalentes” e “Taxas Proporcionais”. Em seguida, questioná-los sobre como é possível se beneficiar usando o termo “Taxas Proporcionais” e perceber o porquê da necessidade legal das lojas apresentarem a taxa de juros mensal e a taxa de juros anual equivalente.

Espera-se que os alunos concluam que as taxas proporcionais são menores do que as taxas equivalentes, pois não consideram juros sobre juros. Logo, dão a falsa impressão de q ue o cliente não est á sendo tão prejudic ado com taxas de juros abu sivas.

A segui r, tem-se alguns exe rcícios que po dem ser trabalhados com o s alunos para fixação do conteúdo estudado.

1) Qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros de 12% ao mês?

2) Juros de 12% ao mês equivalem a juros anuais de 144%? Po r que estas taxas de juro s são chamadas de proporc ionais?

3) 144% ao ano com capita lização mensal (isto é, regime de juros compostos) equivale a quantos por cento ao mês?

4) Determine as taxas mensais equivalentes a 100% ao ano e a 39% ao trimestre.

5) Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao mês e a 12% ao trimestre.

A atividade proposta para os alunos está disponível para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/matfinanceira/equiv_tax.pdf

Recursos Complementares

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Introdução
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Capitais
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Prestações
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Taxa de Juros
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Sistemas de Amortização
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Tabela Price e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: SAC e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Análise Financeira

Avaliação

A avaliação deve ser feita ao longo de toda a aula baseada tanto na participação, quanto no desempenho dos alunos nas atividades propostas. É importante que eles debatam, critiquem e tirem suas próprias conclusões. Outros exercícios também podem ser feitos para complementar a avaliação.

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