24/11/2009
Fernando Celso Villar Marinho, Ivail Muniz Júnior
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
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Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Vendas |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Transações Imobiliárias |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Operações Financeiras |
Ensino Médio | Matemática | Álgebra |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Operações Comerciais |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Contabilidade |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Cooperativismo |
• Equivalência de Taxas.
• Juros Compostos.
O objetivo desta aula é permitir que os alunos calculem taxas de juros equivalentes, tendo assim condições de avaliar uma operação financeira.
Para relacionar taxas equivalentes, basta saber trabalhar com juros compostos. O raciocínio utilizado é similar ao utilizado para realizar equivalência de capitais.
Seja i a taxa de juros mensal utilizada em um empréstimo bancário, por exemplo. Para saber a taxa de juros anual, basta saber que esta taxa foi aplicada na forma de juros compostos mês a mês, ou seja:
1 + Taxa_Anual = (1 + Taxa_Mensal)12
Taxa_Anual = (1 + Taxa_Mensal)12 – 1
Deve-se observar que a aplicação da taxa de juros mensal se repete 12 vezes, já que 1 ano tem 12 meses.
Se quisermos relacionar uma taxa trimestral com a taxa anual equivalente, teremos:
1 + Taxa_Anual = (1 + Taxa_Trimestral)4
Taxa_Anual = (1 + Taxa_Trimestral)4 – 1
Já que 1 ano é composto de 4 trimestres.
O raciocínio é o mesmo se, sabendo a taxa anual, desejarmos obter a taxa mensal. Porém, a manipulação algébrica é diferente, observe:
1 + Taxa_Anual = (1 + Taxa_Mensal)12
1 + Taxa_Mensal = (1 + Taxa_Anual)1/12
Taxa_Mensal = (1 + Taxa_Anual)1/12 – 1
Da mesma forma, se temos a taxa anual, podemos obter a taxa semestral, por exemplo:
1 + Taxa_Anual = (1 + Taxa_Semestral)2
1 + Taxa_Semestral = (1 + Taxa_Anual)1/2
Taxa_Semestral = (1 + Taxa_Anual)1/2 – 1
Para concluir, é importante registrar a relação obtida, mesmo que não seja valorizada a fórmula, mas sim o raciocínio por trás da mesma.
Se a taxa de juros relativa a um período de tempo é igual a i, a taxa de juros relativa a n períodos de tempo será I = (1 + i)n – 1.
Sugere-se que o exercício abaixo seja proposto para fixação. É conveniente providenciar calculadoras para os alunos.
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Os encartes das lojas geralmente trazem, por uma questão legal, a taxa de juros mensal e a taxa anual equivalente. Considere que no rodapé da última folha de um encarte de uma loja, apareçam em letras microscópicas, as seguintes informações:
0 + 11 — juros de 3,51% a.m. ou 51,28% a.a;
1 + 12 — juros de 5,49% a.m. ou 65,88% a.a.
a) Juros de 3,51% a.m., equivalem a juros de 51,28% a.a.? Por quê?
b) Na segunda informação, a equivalência de taxas está correta? Se incorreta, encontre a equivalência correta. Justifique sua resposta.
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Para enriquecer a discussão, pode-se perguntar aos alunos como a taxa de 65,88% foi encontrada no exercício proposto. Caso necessário, deve-se induzi-los a perceber que a mesma foi calculada através de uma proporção direta.
Baseado nesta observação, pode-se perguntar aos alunos qual seria a diferença entre “Taxas Equivalentes” e “Taxas Proporcionais”. Em seguida, questioná-los sobre como é possível se beneficiar usando o termo “Taxas Proporcionais” e perceber o porquê da necessidade legal das lojas apresentarem a taxa de juros mensal e a taxa de juros anual equivalente.
Espera-se que os alunos concluam que as taxas proporcionais são menores do que as taxas equivalentes, pois não consideram juros sobre juros. Logo, dão a falsa impressão de q ue o cliente não est á sendo tão prejudic ado com taxas de juros abu sivas.
A segui r, tem-se alguns exe rcícios que po dem ser trabalhados com o s alunos para fixação do conteúdo estudado.
1) Qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros de 12% ao mês?
2) Juros de 12% ao mês equivalem a juros anuais de 144%? Po r que estas taxas de juro s são chamadas de proporc ionais?
3) 144% ao ano com capita lização mensal (isto é, regime de juros compostos) equivale a quantos por cento ao mês?
4) Determine as taxas mensais equivalentes a 100% ao ano e a 39% ao trimestre.
5) Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao mês e a 12% ao trimestre.
A atividade proposta para os alunos está disponível para download no link:
http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/matfinanceira/equiv_tax.pdf
Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Introdução
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Capitais
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Prestações
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Taxa de Juros
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Sistemas de Amortização
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Tabela Price e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: SAC e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Análise Financeira
A avaliação deve ser feita ao longo de toda a aula baseada tanto na participação, quanto no desempenho dos alunos nas atividades propostas. É importante que eles debatam, critiquem e tirem suas próprias conclusões. Outros exercícios também podem ser feitos para complementar a avaliação.
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