§  Perceber como funciona o sistema binário de numeração.

§  Resolver problemas do sistema binário com o auxílio da calculadora.

Conhecimentos de matemática básica.

Conhecimentos de informática básica.

Problematização

Passar o vídeo “História dos Números“, disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=Qh6wS2MWXLU, acesso em 07 de agosto de 2010. 

Explorar com os alunos que em nosso cotidiano utilizamos muitos números. Quase sempre estamos usando o sistema decimal, ou seja, números formados por dígitos de zero a nove. Porém existem outros sistemas numéricos, os quais são usados para os mais variados propósitos: A duração de um dia: 0 hora, 1 hora, 2 horas, 3 horas, ..., 23 horas, 1 dia e assim por diante. Ou seja, a base utilizada é 24, pois a cada 24 horas nós temos um dia. Outro exemplo é quando nós contamos horas, a base é 60, pois a cada hora temos 60 minutos e cada minuto 60 segundos...  

Por exemplo:

--> O número 1221 (sistema decimal = base 10):

• Para este número, o valor do primeiro algarismo 1 é diferente do valor do último algarismo 1 no número decimal 1221. O primeiro indica 1 mil e o último indica 1 unidade. O mesmo acontece com o algarismo 2. O primeiro indica 2 centenas, enquanto o segundo indica 2 dezenas.

Atividade 1

Desenvolver a atividade proposta na animação Ábaco, disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10855, que proporciona ao aluno compreender o sistema posicional decimal por meio da generalização e representação em outras bases.

Ábaco 

--> Para o algarismo romano XXXVII (37):

• No número romano, cada um dos X vale 10, independentemente de sua posição. O mesmo acontece com o V e com o I.

Atividade 2

Recordar a aplicação e história dos números romanos por meio da animação La numeración romana, disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12169.

Repaso: la numeración romana [Unidades didácticas] 

Nos dois exemplos podemos concluir que no primeiro exemplo (sistema decimal) o valor de um determinado símbolo depende de sua posição, ou seja, chamamos este sistema de sistema posicional. O mesmo não acontece com o segundo exemplo (sistema romano) e, portanto, o sistema romano não é posicional.

O sistema decimal é provavelmente o sistema mais antigo que conhecemos. Surgiu na Índia e, aos poucos, foi substituindo os demais sistemas numéricos existentes. Hoje é quase universal. Para representá-lo usamos 10 símbolos e portanto sua base é 10.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

O sistema binário foi elaborado para atender a necessidade de máquinas, como o computador, que precisavam que os dados fossem interpretados usando-se o estado da corrente elétrica (ligada/desligada, alta/baixa, ou algo parecido). Para resolver este impasse foi elaborado o sistema de numeração binária, que usa os dígitos ZERO e UM em sua representação, os quais correspondem aos estados desligado e ligado, respectivamente. O uso de dois símbolos determina que este é um sistema de base 2. No sistema binário o valor de um símbolo (zero ou um) depende de sua posição, o que significa que este também é um sistema posicional. Embora o sistema binário resolva o problema das máquinas, para nós o sistema decimal é o preferido. Então como fazer para que possamos conviver em harmonia com os dois sistemas numéricos?

Atividade 3 

a)     Representar o número 37 em binário.

Resposta: Para obtermos a representação binária, tomamos os restos das divisões na ordem inversa (lembre-se, ordem inversa). Observe a tabela...

Assim, temos 100101, que a representação binária do número 37.

b)     Representar o número 129 em binário.

Assim, temos o número 10000001, que é a representação binária do número 129.   

Agora que aprendemos a converter de decimal para binário, vamos aprender a conversão inversa, ou seja, de binário para decimal. Para fazer esta conversão precisamos calcular o valor posicional de cada símbolo do número dado. Então usaremos a fórmula valor posicional: V = S * B ^ P 

Explicando a fórmula:

Obs.Para visualizar melhor a explicação, clique na figura.
Fonte: Sistemas Numéricos, disponível em: http://www.tecnobyte.com.br/sisnum1.htm, acesso em 07 de agosto de 2010.  

Aplicando a fórmula no número 345, temos:

Obs.Para visualizar melhor a explicação, clique na figura.
Fonte: Sistemas Numéricos, disponível em: http://www.tecnobyte.com.br/sisnum1.htm,   acesso em 07 de agosto de 2010.  

Somando os valores encontrados temos: 300 + 40 + 5 = 345.

Óbvio, confirmamos que 345 = 345, mas foi apenas um exemplo didático para explicar a utilização da fórmula.   

Atividade 4

a)     Façamos agora, a conversão do número binário 100101 para o sistema decimal.

Resolução:

Obs.Para visualizar melhor a explicação, clique na figura.
Fonte: Sistemas Numéricos, disponível em: http://www.tecnobyte.com.br/sisnum1.htm, acesso em 07 de agosto de 2010.  

Somando os valores dos dígitos (32 + 0 + 0 + 4 + 0 +1) teremos o total 37, que é a representação decimal do número binário 100101.  

 b)     Converta o número binário 11001 para o sistema decimal.

Resolução: 25

Continuando... O sistema hexadecimal é outro sistema de numeração posicional bastante usado na informática. Este sistema de numeração a base é 16. Dessa forma, dispomos de 16 símbolos conforme mostra a tabela abaixo:

Atividade 5

Converter o número decimal 23870 para hexadecimal. Lembre-se que a base agora é 16.

Resolução:

Obs.Para visualizar melhor a explicação, clique na figura.
Fonte: Sistemas Numéricos, disponível em: http://www.tecnobyte.com.br/sisnum1.htm, acesso em 07 de agosto de 2010.

Assim o número decimal 23870 convertido para hexadecimal é: 5D3E.   

Da mesma forma, para conversão inversa, utilizamos a fórmula do valor posicional.  

Atividade 6

Converter o número hexadecimal 5C3FA para decimal.

Resolução:

Obs.Para visualizar melhor a explicação, clique na figura.
Fonte: Sistemas Numéricos, disponível em: http://www.tecnobyte.com.br/sisnum1.htm, acesso em 07 de agosto de 2010.

Somando-se os valores posicionais, temos:

327680 + 49152 + 768 + 240 + 10 = 377850

Assim, o número hexadecimal 5C3FA convertido para decimal é: 377850.   

Atividade 7

No laboratório de informática, clicar na opção calculadora.

No menu exibir, escolher a opção programador.

O menu programador, apresenta a calculadora com os diferentes sistemas de numeração para informática: hexadecimal, decimal, octal e binário. Basta escrever na tela o número desejado (lembrado de deixar clicada opção decimal), depois clicar em hex, oct ou bin para verificar a conversão.   

Verificar na calculadora a conversão do decimal  256 para hexadecimal e binário.

Da mesma forma, pode se fazer os mesmos cálculos utilizando o sítio Calculadora Online, disponível em: http://www.calculadoraonline.com.br/view/conversao-binario.php, acesso em 07 de agosto de 2010. 

Obs. No caso da escola não possuir laboratório de informática, sugere-se que o professor prepare slides que mostrem o funcionamento da calculadora.

Possiveis relações interdisciplinares:

Solicitar ao professor de Física explorar como se dá o funcionamento do computador para que se processem os "zeros" e "uns". Da mesma forma, pode-se fazer um resgate histórico do computador e sua evolução com o passar do tempo. Destacando que o computador sofreu uma evolução muito breve em relação as outras mídias.

Sistemas Numéricos, disponível em: http://www.tecnobyte.com.br/sisnum1.htm, acesso em 07 de agosto de 2010.    

ConvertWorld.Com. Disponível em: http://www.convertworld.com/pt/numerais/Sistema+binário.html, acesso em 07 de agosto de 2010.   

Sistemas Númericos e Códigos. Disponível em: http://www.icea.gov.br/ead/anexo/21201.htm, acesso em 07 de agosto de 2010.   

A avaliação deverá ser diagnóstica, processual e continua, ou seja, realizada ao longo de todas as aulas.

Critérios a serem observados:

- Participação no desenvolvimento das atividades. Respondeu? Raciocínio adequado? Interagiu?

- Participação no desenvolvimento do contexto geral da aula.

- Na atividade do laboratório? Participou? Produziu?