07/12/2012
Diego de Sousa Rodrigues
Modalidad / Nivel de Enseñanza | Disciplina | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Álgebra |
- Definir funções trigonométricas e conhecer a importância de sua utilização;
- Compreender o papel das constantes envolvidas no cálculo da função trigonométrica;
- Modelar fenômenos através das funções trigonométricas.
- Definição de seno e cosseno;
- Círculo trigonométrico.
ATIVIDADE 1: CONHECENDO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Essa atividade ocorrerá na sala de aula ou sala de vídeo, ou ainda no Laboratório de Informática Educativa (LIE), conforme as condições da escola.
1.1. Apresentando o tema da aula: com o intuito de introduzir o tema da aula, o professor deverá exibir aos seus alunos o vídeo “Desenhando Ondas”, disponível no seguinte endereço: http://www.youtube.com/watch?v=YI5isg4p1Wc. Este vídeo mostra funções periódicas em um contexto musical. Os alunos deverão observar, principalmente: o “comportamento” de uma função periódica, como também o seu período e frequência.
1.2. Debate: o professor deverá discutir com seus alunos o vídeo apresentado e perguntar se eles podem dar exemplos de outros fenômenos periódicos. O docente poderá auxiliar os alunos nessa etapa, enumerando alguns fenômenos, tais como a altura das marés durante o dia, a pressão arterial, o movimento de um pêndulo, as fases da lua, etc. (ver recursos complementares).
1.3. Aprofundamento: o professor irá introduzir os conceitos de funções trigonométricas, neste caso, a função seno e a função cosseno. O docente deverá abordar, principalmente, os conceitos de período, imagem e amplitude.
ATIVIDADE 2: O PAPEL DAS CONSTANTES EM FUNÇÕES PERIÓDICAS
PREPARAÇÃO DO AMBIENTE
Essa aula deverá ocorrer no laboratório de informática educativa (LIE). Os recursos utilizados serão folhas de papel, lápis e o software GeoGebra, disponível no Banco Internacional de Objetos Educacionais através do seguinte endereço: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17984.
Recomenda-se que o professor, estabeleça juntamente com os alunos algumas regras para o desenvolvimento dessa atividade:
- Participação na atividade;
- A turma será dividida em duplas;
- Respeitar a opinião do colega.
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE
ETAPA1: CONSTRUINDO A FUNÇÃO
Cada dupla deverá iniciar o software GeoGebra e realizar os seguintes passos:
1) Clicar no botão Seletor, que é representado pelo ícone;
2) Clicar com o mouse na janela de visualização;
3) Clicar no botão “aplicar” da janela que foi aberta;
4) Repetir os passos 2) e 3) mais três vezes, assim,várias barras de rolagens foram criadas, estas serão úteis para o estudo da variação da função seno;
5) Digitar a seguinte fórmula na barra de entrada: “f(x)=a+b*sin(c*x+d)” , ou seja,
.
Neste momento os alunos estarão visualizando a seguinte imagem:
IMAGEM 1 – Função no GeoGebra
Fonte: Criação do autor
ETAPA 2: ESTUDANDO AS CONSTANTES
Com o software ainda aberto, o professor deverá solicitar que os alunos realizem os seguintes passos:
A) Clicar no botão “Mover”, representado pelo ícone ;
B) Em seguida, variar as constantes a, b, c e d que estão presentes nas respectivas barras de rolagem;
C) Solicitar que os alunos associem os parâmetros a, b, c e d com suas respectivas ações sobre a função seno, escrevendo em uma folha de papel os valores ou características relacionados aos seguintes aspectos:
- Período da função;
- Amplitude da curva (altura da curva);
- Deslocamento vertical da curva;
- Deslocamento horizontal da curva.Observação: a amplitude de uma função trigonométrica pode ser calculada de forma mais geral da seguinte maneira:
MOMENTO DO ALUNO:
Neste momento, os alunos buscarão realizar a atividade proposta.
DISCUSSÃO:
As duplas irão comparar seus resultados, buscando associar os movimentos realizados no software com os valores obtidos. Após essa comparação, com o intuito de estimular uma discussão sobre este tipo de função com seus alunos, o professor deverá propor as seguintes questões:
1. Qual a imagem da função obtida?
2. O que acontece se a, b, c, ou d forem nulos? Em algum desses casos, ainda temos uma função trigonométrica?
SISTEMATIZAÇÃO:
O professor deverá solicitar aos alunos a realização das ações propostas nas etapas anteriores dessa atividade, só que, agora, utilizando o cosseno ao invés do seno, comparando as duas funções. Nesse caso, os alunos deverão inserir a seguinte fórmula na barra de entrada: “f(x)=a+b*cos(c*x+d)”, ou seja, . Após a análise dessas funções, o docente deverá propor o seguinte questionamento para os alunos: “Podemos descrever a mesma curva com uma função que utiliza seno e outra que utiliza o cosseno?”. Espera-se que os alunos utilizem o GeoGebra e variem o valor das constantes para perceberem que a mesma curva pode ser representada por duas funções distintas.
ATIVIDADE 3: ESTUDANDO FENÔMENOS PERIÓDICOS
Após a conclusão das atividades 1 e 2, será abordada a modelagem de fenômenos periódicos. Para isso, o docente deverá resolver, juntamente com seus alunos, o seguinte problema:
Um estudante de oceanografia decidiu descobrir a função que modela a altura da maré em certa praia, para isso, ele se utilizou dos instrumentos de medição necessários e anotou os seguintes resultados:
· As marés altas ocorriam às 0h e às 12h com altura de 0,8m.
· As marés baixas ocorriam às 6h e às 18h com altura de 0,2 m.
Baseado nesses dados, qual a função trigonométrica que modela a altura das marés?
Os seguintes passos deverão orientar o processo de modelagem:
1) Escolher a função seno ou cosseno
Notar que a escolha da função cosseno é mais adequada, pois o valor máximo da função ocorrerá no ponto x=0. Logo, será escolhida a função do tipo .
2) Calcular a amplitude da função.
Será calculada da seguinte forma:
Portanto, .
3) Calcular o período:
Notar que às 0h a altura da maré era 0,8 m e volta a essa altura às 12h, e assim, a cada 12h a maré volta à altura de 0,8 m. Lembrando que o período da função cosseno é dado por:
Temos , logo .
3.1 Substituindo os valores encontrados para b e c em tem-se:
Como é um valor máximo e , então devemos escolher . Assim,
3.2 Às 0h a altura da maré era de 0,8m, ou seja, , substituindo esses valores na função, tem-se:
4) Escrever a função que modela o fenômeno:
No exemplo em questão, a função que modela a altura da maré em determinada hora do dia será:
Segue abaixo o gráfico dessa função:
IMAGEM 2 – Função modeladora das marés
Fonte: Criação do autor
Após a modelagem da situação proposta, os alunos deverão se reunir em grupos (quantidade de alunos a ser definida pelo professor) e modelar um fenômeno periódico observado na escola ou no bairro, por exemplo, o comprimento da sombra de um objeto no decorrer do dia. Os alunos deverão seguir o roteiro acima e modelar este fenômeno, e os resultados da atividade deverão ser apresentados em sala de aula. Os outros alunos, como também o professor, deverão avaliar a situação encontrada pelo proponente e verificar a existência de possibilidades alternativas de análise do fenômeno.
Nome | Tipo |
---|---|
Geogebra.Br | Software Educacional |
RECURSOS COMPLEMENTARES:
Sugestão de links para alunos:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15898 (Atividade3) (acessado em 05/07/2012)
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=21944 (Nesse endereço o aluno poderá explorar as função seno) (Acessado em 07/11/2012)
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=38216 (Nesse endereço o aluno poderá explorar as função cosseno) (Acessado em 07/11/2012)
Sugestão de links para professores:
http://www1.folha.uol.com.br/fsp/fovest/fo0910200706.htm (Nesse endereço o professor irá encontrar um exemplo da aplicação da função trigonométrica na pressão sanguínea) (Acessado em 05/07/2012)
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=35359 (Nesse endereço o professor poderá entender melhor o uso das funções trigonométricas no cotidiano) (Acesso 08/11/2012)
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=35360 (Nesse endereço o professor poderá entender melhor o uso das funções trigonométricas no cotidiano) (Acesso 08/11/2012)
Links do portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=32908 (Nesse endereço o professor encontrará um software que aborda o assunto desta aula) (Acessado em 08/11/2012)
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=32867 (Nesse endereço o professor poderá encontrar mais uma aplicação para o uso das funções trigonométricas) (Acessado em 08/11/2012)
Na atividade 1, o professor poderá verificar se os alunos compreenderam a definição e importância do uso das funções trigonométricas para descrever fenômenos periódicos a partir dos exemplos enunciados pelos discentes. Na atividade 2, o docente poderá averiguar se os alunos entenderam o papel das constantes na função a partir das análises baseadas nas simulações de troca de valores, como também das opiniões emitidas no momento da discussão. Na atividade 3, o professor deverá verificar se os alunos compreenderam o processo de modelagem de um fenômeno a partir do seu desempenho na realização das ações propostas no roteiro para esse processo, como também, na indicação e análise das situações determinadas por eles mesmos para um processo de modelagem.
Quatro estrelas 6 calificaciones
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07/09/2014
Quatro estrelasGostei muito deste trabalho, eu estava realmente perdida quando me deparei com este assunto não sabia por onde começa. realmente me salvou!!!
07/09/2014
Quatro estrelasMuito bom este conteúdo. Eu estava realmente perdida sem saber por onde começar com este assunto acessando estes conteúdo conseguir ter uma excelente aula.
13/03/2014
Cinco estrelasAula maravilhosa!!! Introdução perfeita ,a interdisciplinaridade com biologia e física é fantástico tornando assim uma aula mais próxima da realidade do aluno.
09/02/2013
Cinco estrelasMuito bom! Parabéns, já baixei o Geogebra para utilizar com meus alunos.
20/12/2012
Cinco estrelasMuita interessannte, a pratica do desenvolvimento da abordagem assim aplicada, adorei mesmo a forma inteligente, muito obrigado um abraço.
14/12/2012
Quatro estrelasAdorei a sugestão da aula, preciso me organizar direitinho mas pode ter certeza que irei aplicar esta aula com meus alunos do ensino médio. Muito obrigado pela opurtunidade.