Conceituar e definir condições de existência de logaritmo.
Aplicar os conceitos de logaritmo.
Ler, identificar, interpretar e elaborar gráficos das funções logarítmicas.
Duração das atividades
2 a 3 aulas (50 minutos cada).
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
Conhecimentos básicos de potenciação, equações e equação exponencial.
Estratégias e recursos da aula
Para iniciar esta aula professor, divida os alunos em grupos (3 a 4 alunos). Distribua dicionários sobre as mesas e solicite que discutam entre eles e anotem no caderno suas observações e entendimento sobre a definição da palavra:
"Logaritmo"
Dê aos grupos uns 8 a 10 minutos e então proponha uma rodada de apresentação das respostas. Permita que os alunos se expressem sem fazer intervenções.
Após a audição, converse com os grupos sobre suas definições, permita que os alunos refaçam suas definições e só então formalize:
Definição:
Dados dois números reais positivos a e b, onde a > 0 e a é diferente de 1 e b > 0, existe somente um número real x, tal que ax = b ou ainda log ab = x
Onde:
a = base do logaritmo
b = logaritmando
c = logaritmo
O logaritmo de um número, pode ser entendido de forma simplificada como sendo o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência.
Por exemplo:
log 2 8 = 3, pois 23 = 8
log 3 9 = 2, pois 32 = 9
log 5 125 = 3, pois 53 = 125
Propriedades:
A base do logaritmo sempre dever ser um número positivo e diferente de 1.
O logaritmando sempre deve ser positivo.
Assim:
1a. propriedade: O logaritmo de 1 em qualquer base é zero.
loga 1 = 0
2a. propriedade: O logaritmo da base, qualquer que seja a base é 1.
log a a= 1
3a. propriedade: O logaritmo de uma potência a é igual ao expoente m.
log aam = m
4a. propriedade: Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também serão iguais.
log ab = log a c => b = c
5a. propriedade: A potência de base a e expoente log ab é igual a b.
a log ab = b
Atividade 1
Para reforçar a definição, proponha aos grupos o recurso Logaritmo. Animação que aborda esse tema usando o cálculo de um logaritmo por meio da equivalência com uma potência. Num primeiro momento é formalizado o conceito e logo após, surgem fatos históricos relacionando a invenção dos logaritmos às grandes navegações dos séculos XV e XVI, e segue apresentando uma tábua de logaritmos. Para finalizar, apresenta a construção de gráficos e com a proposta de alguns exercícios nos quais os alunos podem aplicar os conhecimentos assimilados durante a explicação. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10438.
Após a animação, continue orientando que vale lembrar, que pela definição a função logarítmica é a operação inversa da função exponencial.
Apresente o gráfico a seguir, onde é possível visualizar essa afirmação, pois ambas as funções são simétricas em relação a reta y=x.
Figura 1: Gráfico das funções
f (x) = 10x (em azul),
g x = log (10x) em vermelho e reta
y = x tracejada no meio em cinza.
Atividade 2
Após a explicação, proponha aos grupos de alunos os seguintes problemas:
Quantos por cento é 1161 de 30000?
Some 0,04% com 99,96%.
Esboce o gráfico da parábola y = 1/x no primeiro quadrante e marque a área entre 1 e um ponto x qualquer.
Obs. Para a realização desta atividade é necessário dispor de uma tábua de logaritmos.
Permita que os grupos discutam e encontrem os resultados (em torno de 8 a 10 minutos). Se conseguem imaginar como os cálculos eram feitos antigamente. Então apresente o áudio
A Criação dos Logaritmos - Parte 1, que apresenta a história do surgimento dos logaritmos a partir de questões como estas propostas na atividade e também da sua importância no auxílio de resolução para cálculos. Disponível em:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/19103
.
Após a audição, formalize a resposta com os alunos.
Resp. 1 - Hoje, com uma simples regra de 3 podemos obter a solução da primeira parte do problema. Do enunciado temos que 30000 representa 100% e queremos saber quantos por cento representa 1161, assim:
30000 - 100%
1161 - x
Temos então que a resposta é x = 3,87 ou aproximadamente 4%.
Resp. 2 - Antigamente, para calcular 1161/300, era feito:
1161
log
10 (---------) = log
10 1161 - log
10 300
300
Por meio da tábua de logaritmos, temos que log
10 1161 = 3,0648 e log
10 300 = 2, 47771.
Portanto:
1161
log
10 (---------) = 0,5877
300
Por meio da tabela dos antilogaritmos, temos que a função inversa, 10
0,5877 será 3,87 ou, aproximadamente os 4 que encontramos no cálculo anterior.
Resp. 3 - Gráfico
Por meio de uma tabela (x,y) a partir de x=1/2, temos:
O valor área sob a curva de x=1 até x=10 é igual ao valor do logaritmo natural de 10, isto é log (10) ou ln (10).
Retome com os alunos, que conforme eles puderam perceber no áudio, Lorde Napier foi quem inventou os logaritmos.
Logos significa razão ou relação e
arithmos significa número. E por isso o termo
logaritmo.
Pergunte se os alunos conseguem imaginar como seria a conversa de Napier quando fez sua descoberta? Converse sobre a época que o fato ocorreu e como as invenções eram divulgadas, que não existia calculadora.
Só então, proponha o áudio
A Criação dos Logaritmos - Parte 2, que
mostra como teria sido a conversa entre o John Napier e Henry Briggs, a respeito da criação dos logaritmos. Disponível em:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/19104.
Após a audição, deixe alguns minutos para que os grupos apresentem suas conclusões. O que entenderam sobre o diálogo entre Napier e Briggs? As ideias dos pensadores eram similares ou antagônicas?
Atividade 3
Conforme os alunos puderam perceber no áudio, John Napier interessava-se por resolver problemas de sua época. Muitos matemáticos já haviam tentado achar um processo que permitisse reduzir operações de multiplicação e divisão ou de potenciação e radiciação em operações mais simples como a adição e a subtração.
Para efetuar a multiplicações: 8 x 128, Napier construiu um quadro de potências de base 2, conforme o que se encontra abaixo.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2 n
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
Pela tabela Napier pode perceber que 10 é o expoente que devemos elevar a base 2 para obter 1024.
Segundo as ideias de Napier, para multiplicar dois termos da segunda sequência, basta somar os seus correspondentes na primeira sequência e ver qual termo da segunda sequência corresponde a essa soma. Que para realizar o produto de 8 x 128, basta somar 3 + 7 = 10 e encontrar o termo da segunda sequência que corresponde ao 10, nesse caso o 1024.
Assim, o número 10 é o logaritmo de 1024 na base 2, ou seja, log
2 1024 = 10.
Após a explanação, solicite que os grupos:
a) Construam a tabela de potências naturais do número 3, definindo qual será o logaritmo desta base para encontrarmos 19683.
Resp.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3 n
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
177147
O número 9 é o logaritmo de 19683 na base 3, ou seja, log
3 19683 = 9.
b) Segundo as ideias de Napier efetue o produto de 27 por 2187. Qual o logaritmo do número obtido? Justifiquem a resposta.
Resp.
Seguindo as ideias de Napier, para efetuar 27 x 2187 basta somar 3 + 7=10. Assim, o número 10 é o logaritmo de 59049 na base 3, ou seja, log
3 59049 = 10.
c) Com base no método de Napier, efetue a divisão de 19683 por 2187. Determinem o logaritmo do número obtido. Justifiquem sua resposta.
Resp.
Se para efetuar a multiplicação fizemos a soma dos elementos, na divisão vamos efetuar a subtração. Portanto 19683/2187 é 9 - 7 = 2. Assim, o número 2 é o logaritmo de 9 na base 3, ou seja, log
3 9 = 2.
Atividade 4
No laboratório de informática, proponha aos grupos de alunos pesquisarem uma situação prática de utilização dos logaritmos em seu cotidiano. Solicite que expliquem sua aplicação e apresentem um problema que deverá ser resolvido pelos demais grupos. Para a pesquisa, deixe uns 20 a 25 minutos para que os grupos concluam suas buscas.
Após a audição, explique aos alunos que a Geologia é uma das aplicações mais simples de logaritmos. A
Escala de Richter é usada para a medição da intensidade de terremotos, determinando sua intensidade.
Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte fórmula:
I = (2/3) log10(E/E0), onde I: varia de 0 a 9, E: energia liberada em kW/h e E0: 7 x 10-3 kW/h.
Por exemplo a energia liberada por um terremoto de intensidade 6 na escala Richter, será:
No vídeo, um documentarista solicita informações a respeito de abalos sísmicos a um geólogo. No desenrolar da conversa, o rapaz acaba aprendendo como se mede a magnitude dos tremores, e qual é a escala usual adotada para tal medição, apresentando a escala logarítmica apropriada para medir intensidades relativas de terremotos.
Após a explanação e o vídeo, proponha a rodada de apresentação, que os grupos tragam suas pesquisas indicando onde mais os logaritmos podem ser usados, bem como, sua aplicação prática de utilização.
Observação: Durante o desenvolvimento de todas as atividades desta aula, é importante que o professor acompanhe os grupos durante a resolução das atividades, que estratégias utilizaram no desenvolvimento, levando os grupos a relacionarem seus conhecimentos anteriores com a definição de logaritmo.
Cabe destacar que contemplar a história do surgimento dos logaritmos de uma maneira natural, aproveitando e explorando atividades relacionadas com as ideias que deram origem aos logaritmos, permite que os alunos possam entender a necessidade da simplificação de cálculos numéricos, em uma época que não existia calculadora.
A avaliação deverá ser realizada ao longo das aulas, observando os alunos nos seguintes critérios:
1. Desenvolvimento e socialização no grupo nas atividades. Se concentrou no desenvolvimento das atividades? Contribuiu na discussão?
2. No desenvolvimento do raciocínio lógico? O aluno foi argumentativo? A produção no grupo foi pertinente?
3. Durante a apresentação dos áudios, o grupo do aluno formulou conceitos? Auxiliou ou solicitou auxílio dos colegas.
4. Participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.
Um meio que pode contribuir para a verificação de aprendizagem dos alunos é sempre solicitar aos alunos que realizem anotações no caderno referente ao contexto da aula para registro de suas aprendizagens. Que diariamente relatem o que aprenderam e como aprenderam. Esses relatos podem contribuir para que o professor perceba os caminhos que os alunos vêm fazendo, bem como avaliar suas aprendizagens.