• Identificar a representação dos números complexos
• Identificar números complexos com pontos num plano

·    Operações com o conjunto dos números reais.

               Professor para motivar seus para o estudo do assunto “Números complexos” apresente a eles o seguinte problema:

Em 1545, o matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576) publicou o livro “Ars Magna” (A grande arte), que tratava das regras da Álgebra. Nesta obra, um problema simples originou uma interminável discussão sobre um novo tipo de número: “Dividir o número 10 em duas partes, de modo que seu produto seja 40”.

Professor, peça aos seus alunos que tentem resolver o problema. Em seguida questione, - É possível encontrar uma solução dentro do conjunto dos números reais? – Peça a eles que utilizem o resultado encontrado e verifique se satisfaz o problema.

               Professor, peça aos seus alunos que pesquisem sobre o assunto “números complexos”. Oriente-os para enfoque em:

• Aspectos históricos;
• Necessidades para criação deste conjunto numérico;
• Tipos de aplicação para os números complexos.
• Formas de representação, inicialmente a forma algébrica e a geométrica;
• Parte imaginária.

Como exemplo, citamos alguns sítios:

• http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-complexos.htm
• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/ncomplex/ncomplex.htm
• http://www.mundovestibular.com.br/articles/4619/1/NUMEROS-COMPLEXOS/Paacutegina1.html

               Professor, comente com seus alunos que a geometria fractal, além de produzir belas imagens, é também importante no estudo de sistemas dinâmicos, ou sistemas em movimento, que são imprevisíveis sob certas condições. O conhecimento de fractais é usado em várias soluções, como, por exemplo, na previsão do clima, no estudo do movimento das estrelas e galáxias do sistema solar, no estudo das bolsas de valores. Alguns dos fractais mais importantes são obtidos pela repetição de funções envolvendo números complexos.

               Procure reforçar que da mesma forma que a cada número real pode-se associar um único ponto da reta real, assume-se que a cada elemento z = a + bi do conjunto dos números complexos corresponde um único ponto P(a,b) do plano cartesiano e vice-versa. A parte real de z é representada no eixo das abscissas, que é chamado de eixo real, e a parte imaginária, no eixo das ordenadas, que é o eixo imaginário.

               Professor, m ostre aos seus alunos que existem alguns rec ursos para trabalhar c om os números complexo s. O mais simples é a calculadora científica , que existem diversos modelos e marcas. Den tre os diversos mode los, utilizarem a K enko 105B, mas qualquer calculadora científica pode ser utilizada, basta seguir as orientações do manual.

               Por exemplo, para efet uar (2 + 1i) - (1 – 2i ), faça:

O resultado da conta é 1+3i.

               Outro recurso é o GeoGebra. Ele reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Esta disponível em http://www.geogebra.org/ em versão para download gratuito ou para ser executado via web (WebStart).

No caso desta atividade, tenha instalado previamente o GeoGebra em todos os computadores do laboratório de informática. Como documentação do software, temos:

• O manual disponível em http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf e outro http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf, este em português de Portugal, mas um pouco mais completo;
• Uma apostila sobre a utilização esta disponível em http://www.tinaeducacao.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostilageogebra_2007.pdf, nesta apostila temos várias atividades utilizando o software, e
• Um guia rápido de comandos, disponível em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.

O GeoGebra não suporta números complexos diretamente, mas pode usar pontos para simular operações com números complexos.

Exemplo: Se inserirmos 3+4i na Entrada de Comandos, obtém o ponto (3, 4) na Zona Gráfica. As coordenadas deste ponto são mostradas na Zona Algébrica como 3+4i.

Podemos repres entar qualquer ponto como número complexo na Zona Algébrica. Abra o Diálogo de Propriedades para o ponto e, no separador ‘Álgebra’, selecione ‘Número complexo’ na lista de formatos de Coordenadas. Se a unidade imaginária i ainda não estiver definida, ela será reconhecida como o par ordenado i = (0, 1) ou o número complexo 0 + 1i. Portanto, podemos usar a letra i para inserir números complexos na Entrada de Comandos.

Exemplos de adição e subtração:

• (2 + 1i) + (1 – 2i) dá-lhe o número complexo 3 – 1i.

• (2 + 1i) - (1 – 2i) e dá-lhe o número comple xo 1 + 3i.

Exemplos de multiplicação e divisão:

• (2 + 1i) * (1 – 2i) dá-lhe o número complexo 4 – 3i.

• (2 + 1i) / (1 – 2i) e dá-lhe o número complex o 0 + 1i.

Observação:

Parte teórica:

• http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/numeroscomplexos.htm
• http://gabaritocerto2.googlepages.com/numeros-complexos.pdf
• http://www.dmat.ufrr.br/~gentil/images/stories/Artigos/complexos.pdf

Vídeos:

• Parte 1, http://www.youtube.com/watch?v=oZHb6A-Ot2o&feature=related
• Parte 2, http://www.youtube.com/watch?v=IscYm-Wmz1k&feature=related
• Parte 3, http://www.youtube.com/watch?v=ojTlHIKtcNU&feature=related
• Parte 4, http://www.youtube.com/watch?v=ImsGOfqiFsQ
• Parte 5, http://www.youtube.com/watch?v=Ff05zPEO37U&feature=related
• Parte 6, http://www.youtube.com/watch?v=XFBt6p96V-Y&feature=related

Números complexos nas calculadoras científicas:

• http://minerva.ufpel.edu.br/~egcneves/Textos/elger/num_complex_calc.pdf

Atividades on-line com números complexos:

• http://www.ies.co.jp/math/java/comp/index.html

Como criar uma Webquest, http://pt.wikipedia.org/wiki/WebQuest:

• Parte 1, http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/webquest--como-construir---parte-1-04023362CCA94366?types=A&
• Parte 2, http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/webquest--como-construir---parte-2-04023672CCA94366?types=A&

A avaliação (1 aula) poderá ser da seguinte forma:

• Atividades em sala.
• Listas de exercícios envolvendo aplicações do assunto no cotidiano.
• Durante as aulas observando o interesse e a participação do aluno.
• Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog já existente, sugerimos o seguinte http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090524071642AA4lSNr.
• Fóruns, http://www.ajudamatematica.com/search.php?keywords=complexo+complexos&terms=any&sid=f1eee5fd07a2efe3e38db074ad28ca0b#start_here

•       Webquest, http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=14493&id_pagina=1

• Competição entre grupos, de no máximo quatro alunos, onde cada grupo apresenta um problema outro grupo caso consiga resolvê-lo, continua na competição, caso erre, será eliminado.
• Seminários sobre as atividades indicadas na aula.
• Professor experimente criar um ambiente virtual onde você e os professores poderão criar blogs, webquest, fóruns, exercícios virtuais. Acesse http://www4.escola24h.com.br/.