Portal do Governo Brasileiro
Início do Conteúdo
VISUALIZAR AULA
 


Outras civilizações, outros sistemas de numeração

 

19/12/2008

Autor e Coautor(es)
Enio Freire de Paula
imagem do usuário

PRESIDENTE PRUDENTE - SP PLACIDIO BRAGA NOGUEIRA PROF

Marcelo Lopes, Profa Dra Raquel Gomes de Oliveira.

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Inicial Matemática Números e operações
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
Compreender o Sistema de Numeração Decimal em sua formação; Identificar outros sistemas de numeração com bases e construções diferentes;
Duração das atividades
Duas aulas de 50 minutos cada
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
Estratégias e recursos da aula

Etapa I
Professor nossa proposta de aula se inicia com a exibição do filme “A Origem do número 1”, encontrado no endereço:

http://br.youtube.com/watch?v=ArWNZlTLVHA

O filme mostra o surgimento da necessidade humana da contagem, e a criação de diversos sistemas de numeração, em meio à história, até a nossa base decimal. É importante neste momento que pause o filme nos momentos mais importantes para nosso objetivo, para questionar seus alunos ou realizar algum comentário que considerar necessário.

 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1338/imagens/sistemanum_evolucao.jpg

Imagem, encontrada em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm22/origemdozero.htm ,

representando a evoluçao da escrita do sistema decimal

 

Etapa II

O texto abaixo, do escritor Malba Tahan, deve complementar o filme assistido, pois possibilita utilizar o ábaco como material didático manipulável, além de mostrar outras bases diferentes do nosso sistema de numeração decimal.

O Homem que calculava, Malba Tahan, capítulo XX

Ignoramos, [...] quando a atenção do homem foi despertada pela idéia do número. Às investigações feitas pelos filósofos remontam aos tempos que já não mais se percebem através da neblina do passado. Aqueles que estudam a evolução do número demonstram que, mesmo entre os homens primitivos, já era a inteligência humana dotada de faculdade especial a que chamaremos o “sentido do número”. Essa faculdade permite reconhecer, de forma puramente visual, se uma reunião de objetos foi aumentada ou diminuída, isto é, se sofreu modificações numéricas.
Não se deve confundir o sentido do número com a faculdade de contar. Só a inteligência humana pode atingir o grau de abstração capaz de permitir a conta, ao passo que o sentido do número é observado entre muitos animais. Alguns pássaros, por exemplo, na contagem dos ovos que deixam no ninho, podem distinguir 2 de 3. Certas vespas chegam a reconhecer os números 5 e 10.
Os selvagens de uma tribo do norte africano conheciam todas as cores do arco-íris e designavam cada cor por um nome. Pois bem, essa tribo não conhecia palavra correspondente a cor. Assim, também, muitos idiomas primitivos apresentam palavras para designar 1, 2, 3, etc, e não encontramos, nesses idiomas, um vocábulo especial para designar números, de modo geral.
Mas qual é a origem do número?
Não sabemos, [...], responder a essa pergunta.
Caminhando pelo deserto, o beduíno avista, ao longe, uma caravana. A caravana desfila vagarosamente. Os camelos caminham transportando homens e mercadorias. Quantos camelos são? Para atender a essa dúvida ele é levado a empregar o número. São 40? São 100? Para chegar ao resultado, precisa o beduíno pôr em exercício uma certa atividade, isto é, o beduíno precisa contar. Para contar, ele relaciona cada objeto da coleção com um certo símbolo: 1, 2, 3, 4...
Para dar um resultado da conta, ou melhor, o número, ele precisa inventar um sistema de numeração. O mais antigo sistema de numeração é o quinário, isto é, sistema em que as unidades se agrupam de cinco em cinco.
Uma vez contadas 5 unidades, obtínhamos uma coleção denominada quina. Assim, 8 unidades seriam 1 quina e mais 3, e escreveríamos 13. Importa, pois dizer que nesse sistema o segundo algarismo à esquerda valia cinco vezes mais do que se estivesse na primeira casa. O matemático diz, por isso, que a base desse sistema era 5.
Desse sistema ainda se encontram vestígios nos poemas antigos. Adotavam os caldeus um sistema de numeração cuja base era o número 60.



0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0

No primitivo sistema quinário, o número de discos acima seria 32. E assim, na antiga Babilônia, o símbolo 1.5 indicaria o número 65. O sistema de base 20 também teve a referência de vários povos. No sistema de base 20, o número 90 seria indicado pela notação 4.10 que seria lido: quatro vinte e mais dez 1.
Surgiu, depois, senhora, o sistema de base 10, que se apresentava melhor para a expressão os grandes números. A origem desse sistema é explicada pelo número total de dedos das duas mãos. Em certas classes de mercadores encontramos decidida preferência pela base doze, isto é, a contagem pela dúzia, meia dúzia, quarto de dúzia, etc.
1 Observe o que ocorre no francês: quatre-vingt-dix e no inglês: one score, two score, etc. (B. A. B.)
A dúzia apresenta, sobre a dezena, uma grande vantagem: o número 12 tem mais divisores do que o número 101. O sistema decimal é, entretanto, universalmente adotado. Desde o Tuaregue2 , que conta com os dedos, até o matemático, que maneja instrumentos de cálculo, todos contamos de dez em dez. Dadas as divergências profundas entre os povos, semelhante universalidade é surpreendente: não se pode jactar de outro tanto nenhuma religião, código moral, forma de governo, sistema econômico, princípio filosófico, artístico, nem a linguagem, nem mesmo alfabeto algum.
Contar é um dos poucos assuntos em torno do qual os homens não divergem, pois o têm como a coisa mais simples e natural. Observando, as tribos selvagens e a forma de agir das crianças, é óbvio que os dedos são base de nosso sistema numérico. Por serem 10 os dedos de ambas as mãos, começamos a contar até esse número e baseamos todo o nosso sistema em grupos de 10. Um pastor, que necessitava estar seguro de que tinha as suas ovelhas ao anoitecer, teve que exceder, ao contar o rebanho, a sua primeira dezena. Numerava as ovelhas que desfilavam por sua frente, dobrando para cada uma um dedo, e quando já tinha dobrado os 10 dedos, atirava um calhau no chão limpo. Terminada a tarefa, os calhaus3 representavam o número de “mãos completas” (dezenas) de ovelhas do rebanho. No dia seguinte, podia refazer a conta comparando os montinhos de calhaus. Logo ocorreu a algum cérebro propenso ao abstrato que se podia aplicar aquele processo a outras coisas úteis, como as tâmaras, o trigo, os dias, as distâncias e as estrelas. E se, em vez de atirar calhaus, fazia marcas diferentes e duradouras, então já se tinha um sistema de numeração escrita.
Todos os povos adotaram na sua linguagem falada o sistema decimal; os outros sistemas foram abolidos e rejeitados. Mas a adaptação de tal sistema à numeração escrita só se fez muito lentamente. Foi necessário o esforço de vários séculos para que a humanidade descobrisse uma solução perfeita para o problema de representação gráfica dos números.
Para representá-los, imaginou o homem caracteres especiais chamados algarismos, representando cada um desses sinais os vocábulos: um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito e nove. Outros sinais auxiliares tais como d, c, m, etc, indicavam que o algarismo que acompanhava representava dezena, centena, milhar, etc. Assim, um matemático antigo representava o número 9765 pela notação 9m7c6d5. Os fenícios que foram os grandes mercadores da Antigüidade, em vez de letras, usavam acentos: 9”‘7”6’5.
Os gregos, a princípio, não adotaram esse sistema. A cada letra do alfabeto, acrescida de um acento, atribuíam um valor: assim, a primeira letra (alfa) era 1; a segunda letra (beta) era 2; a terceira (gama) era 3, e assim por diante, até o número 19. O 6 fazia exceção; esse número era representado por um sinal especial (estigma)4.

1 Os divisores de 12 são seis, a saber: 12, 6, 4, 3,2 e 1. Os divisarei de 10 são apenas quatro: 10, 5, 2 e 1.
2 Nômade do norte da África.
3 “Calhau”, em latim, é “calculus”.
4 Os gregos criaram dois outros sinais além do estigma. Para representar o número 90 empregavam o copa e para representar o
número 900, o sampi.


Combinando, depois, as letras duas a duas, representavam 20, 21, 22, etc. O número 4004 era representado, no sistema grego, por dois algarismos; o número 2022, por três algarismos diferentes; o número 3333 era representado por 4 algarismos que diferiam por completo uns dos outros!
Menor prova de imaginação deram os romanos, contentando-se com três caracteres, I, V e X, para formarem os dez primeiros números e com os caracteres L (cinqüenta), C (cem), D (quinhentos), M (mil), que combinavam, a seguir, com os primeiros.
Os números escritos em algarismos romanos eram, assim, de uma complicação absurda e prestavam-se tão mal às operações mais elementares da aritmética, que uma simples adição era um tormento. Com a escrita púnica, a adição podia, na verdade, fazer-se no papel (ou antes, no papiro, porque não se inventara ainda o papel), mas era preciso dispor os números uns debaixo de outros, de tal sorte que os algarismos com o mesmo final ficassem na mesma coluna, o que obrigava a manter entre os algarismos os intervalos necessários
para levar em conta a ausência de qualquer ordem que faltasse. Estava a ciência dos números neste pé havia quatrocentos anos, quando um hindu, do qual a ciência não conservou nome, imaginou empregar um caráter especial, o zero1 para marcar, num número escrito, a falta de toda unidade de ordem decimal, não efetivamente representada por algarismos. Graças a esta invenção, todos os sinais, índices e letras tornaram-se inúteis; ficaram apenas os nove algarismos e o zero. A possibilidade de escrever um número qualquer por meio de dez caracteres somente foi o primeiro milagre do zero.
Os geômetras árabes apoderaram-se da invenção do hindu e notaram que, acrescentando um zero à direita de um número, se elevava, automaticamente, a ordem decimal a que pertenciam seus diferentes algarismos. Fizeram do zero um operador, que efetua, instantaneamente, toda multiplicação por dez.
E ao caminhar, senhora, pela longa e luminosa estrada da ciência, devemos ter sempre, diante de nós, o sábio conselho do poeta e astrônomo Omar Khayyam (que Allah o tenha em sua glória!). Eis o que ensinava Omar Khayyam:

“Que a tua sabedoria não seja humilhação para o teu próximo. Guarda domínio sobre ti mesmo e nunca te abandones à tua cólera. Se esperas a paz definitiva, sorri ao destino que te fere; não firas a ninguém”2

O seguinte endereço mostra a origem do zero, muito importante em nossa civilização,

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm22/origemdozero.htm


O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...) que podem fazer-se deslizar livremente.

 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1338/imagens/Lig-Lig-Abaco-5colunas.bmp
Construção do Ábaco


Caso sua escola não tenha ábacos à disposição, podemos construí-los utilizando para isso diversos materiais. A construção de um ábaco simplificado é muito fácil e barata, podendo ser feita pelos próprios alunos. A base do ábaco pode ser um pedaço de isopor, ou de qualquer material semelhante, como, por exemplo, uma caixa de ovos. As casas do ábaco podem ser varetas, espetinhos de churrasco ou pedaços de arame grosso, que serão espetados na base.
Os discos do ábaco podem ser arruelas, tampas de garrafa de refrigerante furadas no meio, ou mesmo macarrão do tipo "argolinha".
É interessante que cada aluno possa construir o seu ábaco para, em seguida, participar de atividades que envolvam contagens e a representação escrita dessas contagens.
Podemos propor dois tipos inversos de exercícios: a uma quantidade representada no ábaco, o aluno deverá fazer corresponder sua respectiva escrita e, a um número representado por escrito, mostrar a situação correspondente no ábaco.

Segue uma situação problema muito interessante que pode, utilizando a ábaco, ser feita em sala de aula como uma atividade investigativa:

Existem ruínas de uma civilização antiga na América do Sul que geram muito interesse aos historiadores e outros pesquisadores. Entre muitas outras de suas características que diverge da nossa cultura, é seu sistema de numeração.
Artefatos encontrados indicam que este seu sistema de numeração utiliza o valor posicional dos algarismos e possui base cinco, talvez devido aos cinco dedos de nossa mão, com quatro símbolos para representar os algarismos, e para nossa surpresa, mais um símbolo para a representação do zero.
Um dos artefatos encontrados mostra os números em ordem crescente, tal como é mostrado abaixo:

 

−     ׀       X       •        *          ׀         − ׀ X        ׀       • ׀*         X−       ...

 


Discuta com seus colegas o processo como é formado tal sistema numérico. Em outros artefatos encontramos números, indicando talvez preços/valores de determinados objetos, tal como um vaso cm a inscrição:

 

 ׀ X − X


Qual seria a representação equivalente deste número em nossa base decimal? Qual o procedimento que você utilizou para realizar esta descoberta?
Como representar sua idade através do sistema numérico desta civilização? Como podemos proceder para descobri-la?


Etapa III

A terceira etapa deste plano de aula acontecerá na Sala Ambiente de Informática, com a utilização do recurso “Calculadora de números romanos”, disponível no Portal do Professor em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/11369/calcromanos.zip

Este é uma ferramenta que possibilita a conversão de números romanos para números indo-arábicos e vice-versa, e ainda realiza contas com números romanos.

 http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1338/imagens/calculadora_romana.bmp

 

 Os números romanos ainda continuam presentes em nossa sociedade como para datar séculos, ou em relógios, daí a necessidade de compreender sua construção.
 

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Recursos Complementares
-No endereço http://66.102.1.104/scholar?hl=pt-BR&lr=&q=cache:-ADxT-k-XYkJ:clubematematica.incubadora.fapesp.br/portal/graduacao/edm615-noturno/contagem.doc+objetivos+sistemas+de+numeracao+civilizacoes podemos encontrar curiosidades e diferentes tipos de sistemas de numeração de diferentes civilizações. -Os endereços http://www.icea.gov.br/ead/anexo/21201.htm e http://nautilus.fis.uc.pt/mocho/forum/index.php?oid=3825729 oferecem explicações e mostra aplicações do sistema binário e outros sistemas numéricos respectivamente.
Avaliação
No endereço abaixo podemos encontrar uma atividade bastante interessante que pode até mesmo ser usada como atividade avaliativa. http://www.atividadeseducativas.com.br/php/atividade.php?nrati=1180 Os alunos deverão entender o conceito de base, e principalmente a construção da base decimal, assim como a construção de outros sistemas utilizados em outras civilizações.
Opinião de quem acessou

Cinco estrelas 4 classificações

  • Cinco estrelas 4/4 - 100%
  • Quatro estrelas 0/4 - 0%
  • Três estrelas 0/4 - 0%
  • Duas estrelas 0/4 - 0%
  • Uma estrela 0/4 - 0%

Denuncie opiniões ou materiais indevidos!

Opiniões

  • larissa, abaco , Bahia - disse:
    laryferreira13@hotmail.com

    07/02/2011

    Cinco estrelas

    eu achei muito legal faz parte da nossa matematica isso e muito bom mais nao gosto de matematica!!!!


  • Ana Silva, CE PADRE FABIO BERTAGNOLLI , Maranhão - disse:
    ana_risil@hotmail.com

    24/03/2010

    Cinco estrelas

    O Planejamento da aula está muito bom, muitas estratégias e principalmente muita pesquisa.


  • loanny, colegio municipal octavio mangabeira filho , Bahia - disse:
    loanny_10@hotmail.com

    24/03/2010

    Cinco estrelas

    exelente


  • Rosa Auxiliadora, Leontina Luciana da silva , Mato Grosso do Sul - disse:
    rosanjynho@yahoo.com.br

    24/03/2010

    Cinco estrelas

    gostei muito do planejamento e do desenvolvimento da aula parabéns.


Sem classificação.
REPORTAR ERROS
Encontrou algum erro? Descreva-o aqui e contribua para que as informações do Portal estejam sempre corretas.
CONTATO
Deixe sua mensagem para o Portal. Dúvidas, críticas e sugestões são sempre bem-vindas.