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Equação do segundo grau com Bhaskara

 

25/02/2009

Autor e Coautor(es)
CARLOS ALBERTO JESUS DE OLIVEIRA
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BRASILIA - DF CEM PAULO FREIRE

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Inicial Matemática Números e operações
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
Resolver equações do 2º grau utilizando a fórmula de Bhaskara.
Duração das atividades
3 aulas de 50 minutos cada.
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
•Resolução de equações do 1º grau •Raiz quadrada
Estratégias e recursos da aula

               Professor, nesta aula abordaremos o assunto resolução de equações do 2º grau. Apresente situações que utilizem o assunto, tais como:

                    • Uma sala comercial quadrada tem 81 m2 de área. Quanto mede, em metros, cada lado dessa sala?
                    • Encontre o número inteiro cujo dobro de seu quadrado adicionado ao seu triplo seja igual a zero.

               Professor, geralmente o ensino de resolução de equações do 2º grau é feito de uma forma direta. Nesta aula propomos inicialmente que seja abordado o aspecto histórico, para isto, leve seus alunos ao laboratório de informática e peça a eles que leiam o documento localizado em www.bibvirt.futuro.usp.br/content/download/2373/13519/file/rpm43_04.pdf. O documento em questão trata da abordagem aritmética e geométrica da resolução de equações do 2º grau. 
               No século IX, o matemático árabe Al-Khowarizmi, escreveu a grande obra matemática chamada “Hisab al-jabr w’al-muqabalah”
 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1696/imagens/Aula_48-Fig05.jpg
               

                Nesta obra Al-Khowarizmi descreveu métodos para a solução de equações do 2º grau. Acompanhe a seguinte tradução de um fragmento do livro:
               “Os números que aparecem nos cálculos pela restauração e pela redução são de três classes: as raízes, os quadrados e os números simples, que não se referem nem às raízes nem aos quadrados [...] Um número que pertence a uma destas três classes pode ser igual a um dos números das outras duas classes, por exemplo: quadrados iguais a raízes; quadrados iguais a números; raízes iguais a números.”, Al-Khowarizmi refere-se aqui a três de equações incompletas. Ele justificou os resultados geometricamente, representado os termos da equação utilizando áreas de retângulos e quadrados, procedimento conhecido por método de completar quadrados. Observe como se resolve geometricamente, utilizando o método de completar quadrados, a equação x2 + 12x = 64, (x2 + bx = c).

Passo 1) Primeiro, desenhe um quadrado de lado "x" para representar o termo x2. Depois, represente o termo 12x por quatro retângulos de lados 3 e "x", como mostra a figura abaixo:
 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1696/imagens/Aula_48-Fig06.jpg


Comentário para os alunos:
                • No centro termos um quadrado de lado "x", portanto sua área será x2.
               • Em cada retângulo um dos lados mede "x" e o outro a quarta parte do valor do coeficiente "b", (b/4) . Neste caso como o coeficiente "b" é 12, teremos retângulos de medidas "x" e 3, com área 3x.
               • A soma das áreas do quadrado e dos quatro retângulos é igual ao coeficiente “c” (termo independente da equação), neste exemplo o valor será 64.

 

Passo 2) Para completar um quadrado, acrescente quatro quadrados de lado 3.

 http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1696/imagens/Aula_48-Fig08.jpg

Comentário para os alunos:
                • Professor faça alguns questionamentos aos seus alunos como:
                        * Para completar um quadrado, que figuras devem ser adicionadas à figura anterior?
                        * Quais são as medidas dessas figuras?

 

Passo 3) A figura do “Passo 1” tem área de 64. Na figura do “Passo 2” foram acrescentados 4 quadrados de área 9 cada um, totalizando 36, formando um quadrado de área 64 + 36 = 100, portanto um quadrado de lado 10.
 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1696/imagens/Aula_48-Fig09.jpg


Comentário para os alunos:
               • Professor faça alguns questionamentos aos seus alunos como:
                        * Antes de adicionar essas figuras, a área era de 64, qual será a área depois de se completar o quadrado?
                        * Como podemos determinar a medida do lado desse quadrado?
                        * Determinando a medida do lado do quadrado, como podemos determinar a medida x ?

 

Passo 4) Sendo assim o lado do quadrado formado tem medida 3 + x + 3 = 10 http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1696/imagens/Aula2_Fig1.jpg x = 4.


                Professor, para aprofundamento do assunto, peça aos seus alunos que resolvam as seguintes equações baixo, utilizando o método de completar quadrados:

                        a) x2 + 8x = 9
                        b) x2 + 28x = 60
                        c) x2 + 20x = 69

                Na antiga Babilônia, os escribas conheciam métodos de resolução de problemas equivalentes a certos tipos de equações do tipo x2 – bx = c. Para resolver tais problemas, seguiam regras equivalentes à fórmula:
 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1696/imagens/Aula_48-Fig10.jpg

                 Professor seria interessante que fizesse juntos com os alunos a dedução da fórmula de Bhaskara. Você pode utilizar alguns exemplos em sítios especificados nos recursos complementares desta aula.

            Professor, peça a seus alunos leiam um pouco mais sobre o assunto no sítio http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm#m111a03. Para resolução de equações do 2º grau, utilizado a fórmula de Bhaskara, é muito importante que seus alunos saibam identificar quais são os coeficientes da equação, classificar em completa ou incompleta, calcular o valor do discriminante e em seguida identificar a quantidade de raízes, para isto seria interessante eles montassem uma tabela do tipo:

 http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1696/imagens/Aula_48-Fig01.jpg

                Esta tabela pode ser produzida em um software de planilha eletrônica, como por exemplo BrOffice, http://www.broffice.org/. Professor utilize os diversos tipos de equações incompletas e completas.

               Agora vamos calcular as raízes das equações proposta na tabela anterior, para isto peça aos seus alunos que calculem os valores das raízes das equações e em seguida verifiquem o resultado no aplicativo “Raízes”, instalado previamente nos computadores e com download em http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/mec/4838/1/raizes.zip.

 http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1696/imagens/Aula_48-Fig04.jpg 


                  O manuseio do aplicativo é bem simples, basta informar os valores dos coeficientes e em seguida clicar no botão “CALCULAR”. Professor, explore com o aplicativo o estudo do discriminante. Apresente equações onde o valor do discriminante seja:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1696/imagens/Aula_48-Fig03.jpg

               Caso seja necessário reforçar com atividades on-line em http://www.alunosonline.com.br/barra/index.htm?url=http://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes2.php.

               Professor, para finalizar a aula. Leve seus alunos ao pátio e organize-os em grupos de no máximo 5 pessoas. Coloque para eles a seguinte situação: “Vamos fazer uma horta em um terreno de forma retangular. Nesse terreno, a medida do comprimento é o dobro da medida da largura, mais 4 metros. Quais são as dimensões do terreno, sabendo–se que sua área é 70 m2 ?”. Peça a cada grupo que resolva o problema, identifique as dimensões, calcule a área do retângulo estabelecido e por último, com uma fita métrica, faça no terreno a delimitação do retângulo proposto. Seria interessante ressaltar que com estes cálculos pode-se determinar a quantidade de adubo, fertilizantes e outros produtos a serem aplicados no terreno para a construção da horta.
 

Recursos Complementares
Professor veja o sítio: * http://www.ipv.pt/millenium/16_ect1.htm * http://www.exatas.mat.br/equacao2.htm * http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_4.php * http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm * http://www.infoescola.com/matematica/equacoes-de-2o-grau-quadratica/
Avaliação
A avaliação poderá ser feita observando os grupos realizando a atividade final. Observe a postura dos grupos em relação ao problema apresentado. Também poderão ser utilizados outros instrumentos de avaliação, como: lista de exercícios e provas.
Opinião de quem acessou

Quatro estrelas 16 classificações

  • Cinco estrelas 6/16 - 37.5%
  • Quatro estrelas 9/16 - 56.25%
  • Três estrelas 1/16 - 6.25%
  • Duas estrelas 0/16 - 0%
  • Uma estrela 0/16 - 0%

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Opiniões

  • ada.pavanato, toledo barbosa , São Paulo - disse:
    ada.pavanato@gmail.com

    14/05/2013

    Cinco estrelas

    Aula bem elaborada. A tabela organiza as informações de forma clara e objetiva. Parabéns!


  • adriano, polo federal do tocantins , Tocantins - disse:
    adriano.007gato@hotmail.com

    22/06/2011

    Cinco estrelas

    gostei muito legal deveria ter uma todo dia


  • Nelson Diniz, Japão - disse:
    nerlsir@globo.com

    19/03/2011

    Cinco estrelas

    Quando estava na escola, fiz a seguinte pergunta para o professor. Em qual situacao da minha vida irei usar a equacao do segundo grau? Ele ficou todo irritado e nao me deu a resposta. Diga la professor aos que nao sabem, onde se usa essa equacao, no dia a dia?


  • Jura, escola , Mato Grosso do Sul - disse:
    juraqf@hotmail.com

    08/09/2010

    Quatro estrelas

    Gostei muito, pois aborda a equação do 2º grau de maneira clara para os aluno, mas quem achou que não está bom, porque ainda não postou nenhum trabalho desse tipo.


  • DIEGO DE JESUS FERREIRA, Universidade Federal de Sergipe , Sergipe - disse:
    FERREIRAJDIEGO@HOTMAIL.COM

    26/08/2010

    Quatro estrelas

    muito clássico, porém legal!!!


  • Robson, E.M. Profª Mª Frca. Tavolaro , São Paulo - disse:
    robsongpessoa@ig.com.br

    23/06/2010

    Três estrelas

    Acho que poderia ter abordado outros exemplos de equações, como x^2 + 2x + 143 = 0 Mas mesmo assim a abordagem foi muito bem elaborada..... Parabéns.


  • luis felipe, choab , Espírito Santo - disse:
    chulapa@hotmail.com

    14/06/2010

    Cinco estrelas

    muito bom.


  • Alana , colégio da policia militar , Bahia - disse:
    lanalovelinda@hotmail.com

    12/06/2010

    Cinco estrelas

    otima , mas naun entendi uma coizinha que acho que deve ser besteira ... Mas amei muito obirgada !!


  • Clodoaldo, Ufvjm , Minas Gerais - disse:
    teoemaria@hotmail.com

    24/03/2010

    Cinco estrelas

    Muito bom um resgate da história da matemática.vale a pena salientar esses aspectos, assim o aluno vê como surgiu aquilo que ele estuda na sala de aula


  • Maria Elizabete Ribeiro Pinto, NAZARE GUERRA EEFM , Ceará - disse:
    elizabeteribeiropinto@yahoo.com.br

    24/03/2010

    Quatro estrelas

    A sugestão de aula do colega professor é muito interessante, pois com essa metodologia os alunos irão adiquirir um melhor aprendizado. Gostei muito dessa metodologia e irei utilizar na minha sala de aula.


  • Sirlaine, Escola Estadual Joaquina Cerqueira Caldas , Mato Grosso - disse:
    elai_almeida@hotmail.com

    24/03/2010

    Quatro estrelas

    Gostei muito da sugestão do colega pois além de destacar a importancia da história das equações, e também é claro para melhor compreensão de como surgiu e porque dos termos da equação fazendo com que o aluno tenha um melhor aprendizado. Parabéns.


  • Eliano Paiva, NAZARE GUERRA EEFM , Ceará - disse:
    elianopaiva@yahoo.com,br

    24/03/2010

    Quatro estrelas

    Gostei da aula do colega, pois dá ênfase a História da matemática que torna a aula interessante e facilita a compreensão. Não resta dúvida que a utilização das tecnologias melhora o desempenho do aluno e a idéia da planilha é riquíssima é muito louvável.


  • Sirlaine, Escola Estadual Joaquina Cerqueira Caldas , Mato Grosso - disse:
    elai_almeida@hotmail.com

    24/03/2010

    Quatro estrelas

    Gostei muito da sugestão do colega pois além de destacar a importancia da história das equações, e também é claro para melhor compreensão de como surgiu e porque dos termos da equação fazendo com que o aluno tenha um melhor aprendizado. Parabéns.


  • ANTONIO ADEGILDO VIANA NUNES, NAZARE GUERRA EEFM , Ceará - disse:
    adgildo_viana@hotmail.com

    24/03/2010

    Quatro estrelas

    Gostei muito da sugestão apresentada pelo colega sobre a resolução das equações do 2° grau. Destaco a importância da técnica de completar quadrados para o entendimento do assunto. Aja vista, que é indispensável o uso desse recurso para a compreender a dedução da fórmula de Bhaskara. Elogio, ainda, a sugestão da utilização de planilhas para a construção de gráficos. Acrescento apenas a maior exploração da curva (parábola) dentro da dinâmica da aula.


  • Célio de Jesus Ferreira, ESC MUL PROF FRANCISCO JOAQUIM DE PAIVA , Goiás - disse:
    celiorv2008@gmail.com

    24/03/2010

    Quatro estrelas

    Ótimo, Parabéns


  • Vera, CEEJA - Ignês de Lamônica Guimarães , Mato Grosso do Sul - disse:
    verbakov@hotmail.com

    24/03/2010

    Quatro estrelas

    Gostei muito da sugestão do colega pois além de destacar a importancia da história da matemática, tudo está bem claro para melhor compreensão e aprendizado do aluno. Parabéns.


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