Nesta aula, o estudante aprenderá a deduzir a fórmula para o cálculo da área de um Círculo, tomando como base o Método da Exaustão e algumas noções intuitivas de Limites, conceito fundamental no estudo do Cálculo Diferencial e Integral.

1 hora/aula

O aluno pode não dominar os conceitos matemáticos ( Inscrição de polígonos na circunferência e áreas de figuras planas ) relacionados à aula, prejudicando, assim, o bom andamento da mesma. Assim sendo, caso haja necessidade, o professor deve fazer uma breve revisão sobre os seguintes tópicos geométricos: Polígonos inscritos na Circunferência e Áreas de Figuras Planas.

Para o desenvolvimento da presente Sessão Didática, utilizaremos o seguinte software: A área do Círculo como um limite (http://faraday.physics.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/AreaOfCircle/AreaOfCircle.html)

OBS 1: O software acima mencionado consiste em 7 etapas, as quais são alcançadas clicando num ' botão verde ' que aparece na tela do computador. Para cada uma destas etapas ( ou, em outras palavras, para cada uma das telas ) , o docente deve seguir as orientações listadas na Sequência Fedathi abaixo.

OBS 2: O docente deve atentar para o idioma do software, evitando, assim, possíveis dificuldades em relação à compreensão do mesmo.
Sugestão de gestão da aula pelo professor utilizando a Seqüência Fedathi nos seguintes momentos:

O texto a seguir ressalta algumas notas históricas relacionadas ao tema desta aula, as quais podem ser aproveitadas pelo docente no intuito de tornar esta Sessão Didática mais atrativa e interessante.

NOTAS HISTÓRICAS

    Os antigos matemáticos gregos dedicavam-se intensamente ao estudo da Teoria dos Números. Para Pitágoras, por exemplo, os números não eram simplesmente abstrações matemáticas: eram, também, entidades dotadas de um aspecto místico. Pitágoras defendia arduamente a comensurabilidade, isto é, existiam apenas os inteiros e as razões entre eles. Porém, num dado momento histórico, ficou patente a existência de grandezas incomensuráveis, ou, equivalentemente, dos Números Irracionais: foi a chamada ' crise dos incomensuráveis '. Eudoxo, um outro matemático grego, passou a estudar os novos bizarros entes matemáticos,elaborando um novo modelo de proporções e criando o chamado Método da Exaustão, que, entre outras coisas, permite calcular a área de figuras planas. Arquimedes, tido por muitos estudiosos como o maior matemático da antiguidade, aplicou com extrema excelência o Método da Exaustão, obtendo resultados significativos, como, por exemplo, a medida de um Círculo, isto é, a área de um Círculo.

1-Tomada de posição :

No laboratório de informática da escola, o professor deve orientar os alunos de modo que em cada computador permaneça um par de estudantes. Em seguida, os estudantes devem acessar o software, o qual consiste nas seguintes etapas :

ETAPA 1 : O professor deve fazer comentários breves sobre os principais elementos de um triângulo : lados, ângulos, como calcular sua área, etc.

ETAPA 2 : Realizando explanações gerais sobre inscrição de polígonos na circunferência, o docente deve apresentar um método prático para o cálculo da área de um quadrado inscrito numa circunferência.

ETAPA 3 : Aqui, o processo acima é repetido, sendo que o número de lados do polígono inscrito passa a ser 8 – isto é, o polígono em questão é um octógono regular.

ETAPA 4 : Mais uma vez, o processo é repetido; aqui , o número de lados do polígono inscrito pa ssa a ser 16.

ET APA 5 : O professor d eve atuar de modo que o aluno compreenda, intuitivamente, que, à medida que o número de lados do polígono tende ao infinito, a altura de cada triângulo – resultantes da decomposição do polígono – tende ao raio da circunferência, e o perímetro do polígono tende ao cumprimento da circunferência.

ETAPAS 6 E 7 : Efetuando os cálculos, o professor deve mostrar que a área de um Círculo de raio r é dada por : π vezes o quadrado de r.

Apresentadas as etapas acima, o professor deve, em seguida, introduzir os conceitos de setor circular, segmento circular e coroa circular; além disso, propor aos alunos os seguintes problemas :Como calcular a área de um setor circular? E de um segment o circular? E de uma coroa circular?

2-Maturação:

      -O professor deve sugerir que os a lunos construam figuras de acordo com os conce itos trabalhados acima.
      -Os alunos devem, com base nas figuras construídas , elaborar as soluções para os problemas propostos acima.     

3-Solução:

      Os alunos apresentam as suas soluções e o professor deve atuar no sentido de promover a análise e a discussão das mesmas.   

4-Prova :

      O professor deve apresentar a melhor solução apresentadas pelos alunos, utilizando, se conveniente for, o rigor dos axiomas geométricos.

Comentários gerais e sugestões para pesquisa

Com o intuito de sugerir trabalhos de pesquisa, estimulando, assim, uma aprendizagem constante, o docente deve levantar os seguintes questionamentos :

1. Existem outras aplicações para o Método da Exaustão?

2. Como calcular a área de uma região plana sob o gráfico de uma função?

Em seguida, o professor pode esclarecer alguns detalhes relacionados às perguntas lançadas; o docente deve, também, mencionar livros e sites nos quais o estudante poderá pesquisar sobre o assunto.

Sugestões de sites : http://pt.wikipedia.org/wiki/Método_da_exaustão

Leitura complementar sobre Sequência Fedathi : http://www.multimeios.ufc.br/fedathi.php

Sugere-se que o docente observe, com o intuito de avaliar os alunos, os seguintes critérios: participação (questionamentos, apresentação de soluções,etc.) e índice de acertos nas resoluções dos problemas propostos no decorrer desta aula.